Описание движений твердого тела

Следующей по сложности моделью после частицы является абсолютно твердое тело - в нем расстояние между любыми двумя точками не меняется в процессе движения.

Описание движения твердого тела кроме самостоятельного значения имеет большое значение и в применении к описаниям других видов движения. Система отсчета, служащая для пространственно-временного описания различных движений может быть связана только с твердым телом. Поэтому изучение движения твердых тел равносильно изучению движений систем отсчета. Результаты этого раздела будут неоднократно использоваться в дальнейшем.

Имеется пять видов движения твердого тела:

1) поступательное, если прямая, соединяющая любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному положению, например движение трамвая на прямом участке пути;

2) вращательно е, если все точки лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, остаются неподвижными, например движение двери при открывании и закрывании;

3) плоское, если все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой плоскости, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, например качение колеса на прямом участке пути;

4) сферическое, если одна из точек тела остается все время неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, например движение гироскопа с тремя степенями свободы в карданном подвесе;

5) свободное, если нет перечисленных выше четырех ограничений, например движение свободного произвольного брошенного тела вблизи поверхности Земли.

Первые два движения являются основными движениями твердого тела. Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному из основных движений или к их совокупности (это будет показано на примере плоского движения).

В этом разделе рассмотрим первые три вида движения и вопрос сложения угловых скоростей.

При поступательном движении все точки твердого тела совершают равные перемещения за один и тот же промежуток времени. Поэтому скорости и ускорения всех точек тела в данный момент времени одинаковы. Этот факт позволяет свести изучение поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной частицы тела, т. е. к задаче кинематики частицы. Таким образом, поступательное движение твердого тела может быть полностью описано, если известны зависимость от времени радиус-вектора любой точки этого тела и его положение в начальный момент, как это было описано в предыдущем разделе

2.3 Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (плоским) движением (ППД) твердого тела называется такое движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости (рисунок 2.11).

 

При таком движении точки, лежащие в разных плоскостях на одном отрезке, перпендикулярном неподвижной плоскости (например M₁M₂) совершают одинаковые движения.

 

Рисунок 2.11

 

Рисунок 2.12

 

Отрезок M₁M₂ движется поступательно. Поэтому изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению движения плоской фигуры в какой-то плоскости.

На рисунке 2.12 показано перемещение пластинки в плоской системе отсчета xOy из одного положения в другое. Такое перемещение можно осуществить двигая пластину поступательно с траекторией точки A с последующим поворотом на угол φ вокруг точки A₁. Это же перемещение можно выполнить иначе.

 

Например, перемещая пластинку поступательно с траекторией точки B, с последующим поворотом вокруг B₁ на угол φ. Траектории точек A и B различны, а угол поворота в обоих случаях одинаков.

 

Положение пластинки вполне определяется положением скрепленного с ней отрезка (например AB), закон движения которого можно задать в виде:

x_A=x_A(t), y_A=y_A(t), φ=φ(t).

Точка A в этом случае называется полюсом. Если принять за полюс точку B, то получим уравнения:

x _B =xB(t), y_B=yB(t), φ=φ(t)

 

За полюс выбирается точка, закон движения которой известен.

Мгновенный центр скоростей

3.2.3 Мгновенный центр скоростей (МЦС)   Теорема Эйлера-Шаля доказывает, что любое непоступательное перемещение фигуры в плоскости можно осуществить поворотом вокруг некоторого неподвижного центра. В соответствии с этим легко доказывается, что при плоско-параллельном движении в каждый момент времени существует точка, неизменно связанная с плоской фигурой, скорость которой в этот момент равна нолю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (МЦС). В учебниках эту точку пишут с индексом V, например PV, CV.   При определении положения МЦС скорость любой точки может быть записана: VM=VCV+VMCV, где точка СV выбрана за полюс. Поскольку это МЦС и VCV=0, то скорость любой точки определяется как скорость вращении вокруг мгновенного центра скоростей.     Из рис. 1.5 видно, что мгновенный центр скоростей лежит в точке пересечения перпендикуляров, проведенных к скоростям точек, при этом всегда справедливо соотношение         Рис. 1.5   На нижеприведенных рисунках показаны примеры определения положения мгновенного центра скоростей и приведены формулы для расчета скоростей точек.   Для рисунка 1.6: 1. СV совпадает с точкой В VB=0. Шатун АВ вращается вокруг точки В 2.   3. МЦС лежит в «бесконечности»   22. Теорема сложение скоростей

 

Аксиомы динамики

Первая аксиома динамики. Существуют системы отсчета, в которых материальная точка покоится, либо движется прямолинейно и равномерно, если она не подвергается воздействиям. Такие системы отсчета называют инерциальными. Инерциальные системы отсчета эквивалентны в том смысле, что в них одинаково соблюдаются все законы механики. Воздействие на материальную точку со стороны какого-либо объекта характеризуется силой.

Вторая аксиома динамики. Если в инерциальной системе отсчета материальная точка движется с ускорением (рис. 1), то на нее действует сила, пропорциональная ускорению. Коэффициентом пропорциональности является масса точки.
Вторая аксиома динамики дает единицу измерения силы – ньютон (Н). Сила в один ньютон обеспечивает ускорение один метр в секунду за секунду точке массой один килограмм. Таким образом, 21Н 1кг м с. Практический опыт показывает, что сила развивается только тогда, когда есть сопротивление или противодействие движению. Например, можно нажать рукой на стол, но нельзя с той же силой нажать рукой на воздух, так как воздух не оказывает существенного сопротивления движению руки.

Третья аксиома динамики. Силовое воздействие всегда сопровождается таким же по величине силовым противодействием. Из третьей аксиомы следует, что материальная точка всегда противодействует ускоряющему ее объекту. Согласно второй аксиоме, сила такого противодействия.

Методы кинематики

Кинема́тика (0%93%D1%80%D0%B5%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA"греч. κινειν — двигаться) в физике — раздел 0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0"механики, изучающий математическое описание (средствами 0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F"геометрии, 0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0"алгебры, 0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7"математического анализа…) движения идеализированных тел (0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0"материальная точка, 0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%BE_%D1%82%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%B4%D0%BE%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BE"абсолютно твердое тело, 0%98%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"идеальная HYPERLINK "http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B6%D0%B8%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"жидкость), без рассмотрения причин движения (0%9C%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B0"массы, 0%A1%D0%B8%D0%BB%D0%B0"сил и т. д.). Исходные понятия кинематики — 0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE_%D0%B2_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B5"пространство и 0%92%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F"время. Например, если тело движется по окружности, то кинематика предсказывает необходимость существования 0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"центростремительного ускорения без уточнения того, какую природу имеет сила, его порождающая. Причинами возникновения 0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"механического движения занимается другой раздел механики — 0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0_(%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"динамика.

Различают классическую кинематику, в которой пространственные (длины отрезков) и временные (промежутки времени) характеристики движения считаются абсолютными, то есть не зависящими от выбора системы отсчёта, и 0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8"релятивистскую. В последней длины отрезков и промежутки времени между двумя 0%A2%D0%BE%D1%87%D0%B5%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B5"событиями могут изменяться при переходе от одной системы отсчёта к другой. Относительной становится также одновременность. В релятивистской механике вместо отдельных понятий пространство и 0%92%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F"время вводится понятие 0%9F%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE-%D0%B2%D1%80%D0%B5%D0%BC%D1%8F"пространства-времени, в котором 0%98%D0%BD%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82_(%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0)"инвариантным относительно 0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B0"преобразований Лоренца является величина, называемая 0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8)"интервалом.