Вращательное движение твердого тела

Вращательным называют такое движение твердого тела, при котором две какие-нибудь точки принадлежащие телу, остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения. Все точки лежащие на оси так же неподвижны.

Чтобы определить положение вращающегося тела, введем две плоскости, проходящие через ось вращения (рис. 50 ) А - плоскость неподвижная; В - плоскость связанная с телом и вращающаяся с ним; DE - ось вращения, совпадающая с осью z.

Теперь в любой момент времени положение тела будет определяться углом между плоскостями А и В или углом поворота тела, положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Закон вращательного движения

Угол поворота обычно измеряют в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то средняя угловая скорость будет численно равна

Угловой скоростью тела в данный момент t называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость , если стремится к нулю.

Угловая скорость твердого тела является первой производной от угла поворота по времени.

Размерность: [радиан/время]; [1/время]; [1/сек = ].

Угловую скорость можно изображать вектором. Вектор угловой скорости направляют по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки.

Если угловая скорость не является постоянной величиной, то вводят еще одну характеристику вращения - угловое ускорение.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости тела с течением времени.

Если за промежуток времени угловая скорость получает приращение , то среднее угловое ускорение равно

Угловая скорость.19Угловое ускорение

Угловая скорость

Угловая скорость и угловое ускорение   Скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени называется угловой скоростью.     Быстрота изменения угла φ – это угловая скорость: ω=dφ/dt=φ', рад/с; с^-1. (2.3) Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.   Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением:   Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном - противоположны.   Для некоторых частных случаев вращательного движения могут быть использованы формулы: - равномерное вращение (ω - const)   φ=φ0+ωt; (2.5)   - равнопеременное вращение (ε - const) ω=ω0+εt; φ=φ0+ω0t+εt^2/2. (2.6)   В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n[об/мин]. Один оборот – это 2π радиан: ω=n⋅2π/60=nπ/30 рад/с; с^-1.

Углова́я ско́рость — векторная величина, являющаяся 0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80"псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость 0%92%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"вращения 0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0"материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен 0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB"углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

,

Углово́е ускоре́ние — 0%9F%D1%81%D0%B5%D0%B2%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80"псевдовекторная 0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0"физическая величина, характеризующая быстроту изменения 0%A3%D0%B3%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C"угловой скорости 0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0"материальной точки.

При 0%92%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"вращении точки вокруг неподвижной 0%9E%D1%81%D1%8C_%D0%B2%D1%80%D0%B0%D1%89%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F"оси, угловое ускорение по модулю равно0^%A3^%D0^%B3^%D0^%BB%D0^%BE%D0^%B2^%D0^%BE%D0^%B5^_%D1^%83%D1^%81%D0^%BA%D0^%BE%D1^%80%D0^%B5^%D0^%BD%D0^%B8^%D0^%B5^"[1]:

Вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости по времени0^%A3^%D0^%B3^%D0^%BB%D0^%BE%D0^%B2^%D0^%BE%D0^%B5^_%D1^%83%D1^%81%D0^%BA%D0^%BE%D1^%80%D0^%B5^%D0^%BD%D0^%B8^%D0^%B5^"[2], то есть

,

и направлен по касательной к 0%93%D0%BE%D0%B4%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84"годографу вектора в соответствующей его точке.

Существует связь между 0%A2%D0%B0%D0%BD%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5"тангенциальным и угловым ускорениями:

,

где R — 0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D1%83%D1%81_%D0%BA%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D1%8B"радиус кривизны 0%A2%D1%80%D0%B0%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%82%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8"траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени или первой производной от угловой скорости по времени.

Угловое ускорение измеряется в рад/с².