Третья гипотеза прочности – наибольших касательных напряжений

Согласно третьей гипотезе прочности наибольших касательных напряжений, причиной разрушения материала являются наибольшие Касательные напряжения. Максимальное касательное напряжение для заданного объемного напряженного состояния и эквивалентного ему линейного напряженного состояния одинаковы: .

Формула наибольшего касательного напряжения при объемном напряженном состоянии: . Эквивалентное напряжение при одноосном растяжении: .

Условие прочности по третьей гипотезе прочности:

Третья гипотеза прочности не учитывает второго главного напряжения (). Однако, опыты показывают, что для пластичных материалов гипотеза наибольших касательных напряжений дает удовлетворительные результаты. Ошибка от пренебрежения влиянием не превышает 10 – 15 %.

ЧЕТВЕРТАЯ ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ - ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ

Четвертая (энергетическая) гипотеза прочности: количество удельной потенциальной энергии изменения формы, накопленной к моменту наступления предельного состояния материала, одинаково как при сложном напряженном состоянии, так и при простом одноосном растяжении.

В четвертой гипотезе прочности речь идет не обо всей удельной потенциальной энергии деформации, а лишь ее части, которая накапливается за счет изменения формы кубика с ребром равным единице.

В общем случае полная удельная потенциальная энергия деформации может быть представлена как сумма энергий, связанных с изменением объема кубика и изменением его формы.

Условие прочности по четвертой гипотезе прочности:

Достоинство четвертой гипотезы прочности: эквивалентное напряжение определяется значениями всех трех главных напряжений.

Энергетическая гипотеза прочности согласуется с опытными данными для пластичных материалов.

ГИПОТЕЗА ПРОЧНОСТИ МОРА

Согласно гипотезе прочности Мора, предложенной Отто Мором, два напряженных состояния равноопасны, если для соответствующих главных напряжений и соблюдается соотношение: .

Условие прочности по гипотезе прочности Мора:

Гипотеза прочности Мора не учитывает влияния второго главного напряжения ().

Коэффициент представляет собой отношение предельных напряжений, соответствующих одноосным растяжению и сжатию, который равен для хрупких материалов: , для пластичных: .

Гипотеза прочности Мора рекомендуется для хрупких материалов. Для пластичных материалов гипотеза прочности Мора тождественна третьей гипотезе прочности.

 

Критическая сила для сжатие стержней

Критическая сила

Рассмотрим стержень с шарнирно-закрепленными концами (рис. 2.24, а), нагруженный осевой силой .Пусть при достижении силы критического значения стержень сохраняет изогнутую форму и находится в равновесии (рис.2.24, б). В сечении, отстоящем на расстоянии от начала координат, действует изгибающий момент . Если предположить, что потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности , и что имеют место лишь малые отклонения от прямолинейной формы, то дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня принимает вид (см. п. 2.5.5):   .   При потере устойчивости стержень изгибается в плоскости наименьшей жесткости, т.е. поперечные сечения стержня будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции имеет минимальное значение. Поэтому следует считать . Поскольку прогиб и вторая производная от него всегда имеют разные знаки, то и также будут противоположны по знаку при любом направлении оси , а дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:   .

Рис. 2.24. Устойчивость сжатых стержней

Проинтегрировав это выражение и учитывая при этом граничные условия, Л. Эйлером получено уравнение для определения критической силы:

,

 

где – длина стержня; – любое целое число (n =1; 2; 3 и т.д.). При n =1 (рис. 2.24, в) стержень изгибается по одной полуволне синусоиды (устойчивое равновесие), а при всех последующих значениях n число полуволн равно номеру соответствующей критической силы (равновесие неустойчивое). Для практических расчетов интерес представляет наименьшая критическая сила:

. (2.71)

 

При изменении условий закрепления стержня величина критической силы изменяется. На схеме (рис. 2.24, г) изображен стержень длиной , защемленный одним концом, и его зеркальное отображение. Очевидно, что критическую силу для этого случая можно определить по формуле (2.71), приняв вместо . В общем случае способа закрепления стержня (рис. 2.25) для определения критической силы пользуются обобщенной формулой Эйлера:

 

, (2.72)

 

где () – приведенная длина стержня; – коэффициент приведения, показывающий, во сколько раз следует изменить длину шарнирно-закрепленного стержня, чтобы значение критической силы для него было бы равно критической силе в данных условиях закрепления.

 

 

Рис. 2.25. Способы закрепления стержня