Экстремальные напряжения. Момент

Сопротивления сечения

Из формулы (5.12) видно, что экстремальные (max) напряжения (растягивающие (р) и сжимающие (сж)) будут в точках сечения балки, наиболее удаленных от нейтральной оси х:

.

Здесь и координаты надо подставлять со своими знаками, при этом автоматически получается знак . Это важно для балок, изготовленных из хрупких материалов (чугун, бетон), которые хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Балки из пластичных материалов (стали) одинаково сопротивляются растяжению и сжатию, поэтому обычно их поперечные сечения симметричны относительно оси х (двутавр), для них

и .

Обозначим

– момент сопротивления симметричного сечения. (5.13)

Тогда

. (5.14)

Здесь знак напряжений для расчетов на прочность роли не имеет и определяется по физическому смыслу (в растянутой зоне сечения «»).

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой h:

.

Для круглого сечения радиуса

.

Для кольцевого сечения с и

Значения для стандартных двутавров и швеллеров приводятся в таблицах ГОСТа.

Балки из хрупких материалов обычно изготавливают несимметричными относительно оси х. При этом для равнопрочности их желательно, чтобы расстояния до крайних точек сечения от оси х были пропорциональны допускаемым напряжениям на растяжение и сжатие.

Нормальные и касательные напряжения в

Прямоугольном сечении балки при поперечном

Плоском изгибе

 

В отличие от чистого изгиба при поперечном изгибе в сечениях балки, наряду с нормальными напряжениями, появляются также и касательные напряжения, параллельные равнодействующей им силе

.

На основании закона парности касательных напряжений, последние возникают также и в продольных сечениях и вызывают сдвиги отдельных волокон относительно друг друга. Касательные напряжения в продольных сечениях обращаются в нуль на верхний и нижний поверхностях бруса и возрастают по какому-то закону к нейтральной оси.

Следовательно, поперечные сечения балки, плоские до деформации, при поперечном изгибе от , оставаясь плоскими, поворачиваются, а под действием касательных напряжений, возникающих от , искривляются. Это искривление, в соответствии с характером изменения величины касательных напряжений, возрастает от краев балки к нейтральной оси (рис. 5.8). Следовательно, гипотеза плоских сечений при поперечном изгибе нарушается.

Рис.5.8

1) Рассмотрим случай, когда = const по длине балки. Так как в двух соседних сечениях одинаковы, значит, искривления сечений будут одинаковыми и продольные волокна между этими сечения-

ми не получат дополнительных деформаций по сравнению с деформациями от изгиба сечения. Поэтому в этом случае для определения нормальных напряжений можно пользоваться формулой (5.12), полученной для чистого изгиба

2) const, т.е. меняется по длине балки.

В этом случае абсолютные сдвиги неодинаковы и, следовательно, за счет сдвига продольные волокна получают дополнительные деформации и, значит, будет добавка в нормальных напряжениях. Однако теоретические и экспериментальные исследования показали, что влияние указанного эффекта на величину нормальных напряжений невелико и им обычно на практике пренебрегают.

Таким образом, гипотеза плоских сечений условно распространяется

также и на поперечный изгиб.

Следовательно, при поперечном изгибе нормальные напряжения определяются по той же формуле чистого изгиба

.

Относительно распределения касательных напряжений Д.И.Журавским были сделаны следующие допущения:

1. Касательные напряжения в любой точке сечения направлены параллельно поперечной силе ;

2. Касательные напряжения, действующие на одном и том же расстоянии от нейтральной оси х, равны между собой, т.е. по ширине сечения касательные напряжения распределяются равномерно.

Исследования показывают, что оба допущения оказываются достаточно правильными для балок прямоугольного сечения, если высота балки больше ширины.

С учетом этих допущений и была получена формула Журавского в виде*

. (5.15)

Здесь: ширина сечения, где определяются ; статический момент относительно оси х отсеченной части сечения.

Выясним характер распределения по высоте прямоугольного сечения балки (рис. 5.9), в котором действуют (вниз).

Рис.5.9

 

* Вывод этой формулы приводится во многих учебниках по Сопротивлению материалов, например [1,4,11,22 и др.].

Найдем в произвольном сечении с-с на расстоянии у от оси х. Ниже сечения с-с будет отсеченная площадь (заштрихована на рис. 5.9). Расстояние от оси х до центра тяжести обозначим . Тогда

.

Из рис. 5.9 видно:

.

Подставим в формулу (5.15):

. (5.15а)

Видно, что по высоте сечения (координате у) меняется по закону квадратной параболы. Для построения эпюры поэтому надо не менее трех точек подсчитать по формуле (5.15а):

1) (точка на оси х) ;

2) ;

3) .

По этим точкам строим нижнюю половину эпюры на рис. 5.9. Ввиду симметрии прямоугольника относительно оси х и эпюра симметрична относительно х. Напряжения распределены по сечению и направлены, как и , вниз.