Нормальные напряжения при чистом изгибе

 

Выше (см. зависимости (5.1)) было установлено, что при отсутствии в балке продольных сил нормальные напряжения в поперечных сечениях зависят от изгибающего момента, а касательные – лишь от поперечной силы.

Это позволяет упростить вычисление , а именно провести его для случая, когда . Такой случай, как уже было установлено выше, называется чистым изгибом.

Кроме того, полагаем, что балка симметрична относительно плоскости внешних сил, поэтому обе ее половинки деформируются симметрично относительно этой плоскости, т.е. рассматриваем случай плоского изгиба.

Уравнения статики (5.1) в таком случае имеют вид

и . (5.9)

Однако найти из этих уравнений нельзя, т.к. мы не знаем закона распределения по ординате у.

Для решения задачи необходимо привлечь условия деформации, которые можно сформулировать только на основании экспериментальных наблюдений. Так, например, если на боковую поверхность бруса нанести сетку в виде продольных и поперечных прямых и загрузить брус по концам положительными изгибающими моментами, то после деформации продольные линии примут криволинейное очертание, а поперечные линии останутся прямыми. Этот факт и другие экспериментальные исследования изгиба балок дают основания для ряда допущений, положенных в основу дальнейших выводов:

1. При чистом изгибе поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза Бернулли);

2. Продольные волокна друг на друга не давят и испытывают простое линейное растяжение или сжатие;

3. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

Рис.5.7

Рассмотрим эле-мент бруса длиной , который после дефор-мации искривляется (рис. 5.7). Два смежных сечения, согласно при-нятой гипотезе Бернул-ли, останутся плоскими, но наклонятся друг к другу, образовав между собой угол . При этом верхние волокна окажутся сжатыми, а нижние растянутыми.

На каком-то уровне по высоте балки волокна останутся недеформированными, назовем их нейтральными. На поперечном сечении (рис. 5.7б) поверхность, в которой лежат нейтральные волокна, образует след – нейтральную линию ОХ. Радиус кривизны нейтрального волокна обозначим .

Найдем удлинение какого-либо волокна АВ, расположенного на расстоянии у от нейтрального слоя и растянутого напряжением . Первоначальная длина этого волокна равна . После деформации его длина стала равной . Абсолютное удлинение . Относительное удлинение равно

.

На основании второго и третьего допущений для вычисления напряжений можно воспользоваться законом Гука при растяжении

или . (5.10)

Из выражения (5.10) видно, что напряжения распределены по высоте сечения по линейному закону. Однако вычислить их значения еще нельзя, т.к. неизвестно, следовательно, неизвестно расположение нейтрального слоя по высоте сечения.

Подставим зависимость (5.10) в первое уравнение статики (5.9)

.

Так как , то

.

Полученный интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось должна проходить через центр тяжести сечения.

Подставим теперь зависимость (5.10) во второе уравнение (5.9)

Как известно, интеграл, входящий в это выражение, представляет собой момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси Х, т.е.

,

поэтому

,

откуда находим кривизну нейтрального слоя:

. (5.11)

Подставив это выражение в формулу (5.10), получим

. (5.12)

Примечание: Если главная центральная ось у сечения не является осью симметрии сечения (например, швеллер), то для плоского изгиба необходимо, чтобы внешняя нагрузка и опорные реакции лежали в плоскости, параллельной плоскости и проходящей через центр жесткости сечения.