Основная формула в расчетах на прочность при изгибе. Форма эпюр нормальных и касательных напряжений

формула: σ= ЕУ = - опредедляет напряжения в любой точке сечения. Из этой формулы следует: 1. Норм.напряж. max в точках наиб. Удаленных от нейтр.линии при y=ymax. 2. Норм.напр.=0 на нейтр.л. при у=0. 3. Норм. Напр. Одинаковы в точках равноудаленных от нейтральной линии. Обозначим σ= , Wz - момент сопротивления, а эта формула определения напряжений в наиб.удаленных точках от н.л. Это основная формула в расчетах на прочность

 

Осевые и полярные моменты сопротивления

Осевыми моментами сопротивления относительно осей y и z называются величины:

, y_max, z_max – расстояние от осей до наиболее удаленных точек сечения

 

Полярными моментами сопротивления называется величина: , Ρ_max – расстояние от полюса до наиболее удаленных точек сечения

 

Моменты сопротивления прямоугольного поперечного сечения

 

Моменты сопротивления кругового сечения

, а полярный момент инерций равен Wp= =

 

Момент сопротивления кольцевого сечения

 

Нормальные напряжения при поперечном изгибе

Основные гипотезы:

1) Поперечное сечение бруса, плоские до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса после деформации (гипотеза Бернулли)

2) Продольные волокна бруса не давят друг на друга

 

При поперечном изгибе поперечные сечения искажаются под действием поперечной силы, а продольные волокна давят друг на друга, но это не оказывает заметного влияния на величину и характер распределения нормальных напряжений.

Поэтому при поперечном изгибе нормальные напряжения определяются по тем же формулам, что и при чистом изгибе

Максимальные напряжения (σ max)

При поперечном изгибе нормальные напряжения изменяются по длине балки пропорционально изгибающему моменту

 

Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского

Qy –поперечная сила, Sz – статический момент полусечения относительно Oz

Iz – момент инерции; b(y) – ширина сечения, на уровне которого вычисляется напряжение.

 

Распределение касательных напряжений по высоте различных сечений

A = hb прямоугольное

 

круговое

 

A = A^D-A^d кольцевое

 

Главные напряжения при изгибе

Для плоского напряженного состояния главные напряжения вычисляются по формуле:

 

Положение площадок, по которым действуют главные напряжения вычисляются по формуле:

 

Т.к. напряжения τ и σ пропорциональны M и Q, то максимальные главные напряжения возникают в сечениях, где М и Q одновременно имеют максимальные значения

 

Расчет на прочность при изгибе

Подавляющим в большинстве случаев нормальные напряжения больше касательных, поэтому основная проверка на прочность – проверка по нормальным напряжениям.

1) Проверка прочности

основная формула при расчете на прочность при изгибе

 

Если материал не одинаково сопротивляется растяжению (сжатию) то, проверку прочности следует производить отдельно для каждой зоны

при растяжении

при сжатии

 

2) Подбор сечения

зная момент сопротивления и форму поперечного сечения можно определить его размеры

 

3) Определение нагрузки

Если в балке пролет незначителен, то следует провести дополнительную проверку по касательным и главным напряжениям.

 

4) Проверка прочности по касательным напряжениям

 

5) Проверка прочности по главным напряжениям

Проверка по главным напряжениям делается в сечении, где Qy и Mz имеют одинаково большие значения

 

Дифференциальное уравнение упругой линии

Перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном оси балки называется прогибом и обозначается υ_max

Изогнутая ось балки – это стрела прогиба, называется упругой линией

Углом поворота сечения (θ) называется угол на который поворачивается сечение относительно первоначального положения

 

Система координат принимается следующая: начало координат находится в крайнем левом сечении, ось иксов направлена вдоль оси стержня, ось у перпендикулярна ей.

Прогиб балки положителен, если перемещение происходит вверх вдоль оси стержня.

основное дифференциальное уравнение упругой линии при малых перемещениях