Динамика вращательного движения.

ВВЕДЕНИЕ

 

Физика принадлежит к числу фундаментальных наук, и без знания её основ невозможна успешная инженерная деятельность ни в одной области современной техники. Изуче- ние физики позволяет также формировать интеллектуальные качества, необходимые специалисту для самостоятельной творческой работы. Однако освоение курса физики требует от студента – заочника огромных усилий, длительной и кропотливой работы с различными учебниками и пособиями. Для оказания помощи в изучении первой части курса физики и написано данное пособие, включающее основы механики, молекулярную физику и термодинамику, электродинамику и законы постоянного тока.

Теоретический материал представлен в кратком изложе- нии и доступной форме, основное внимание при этом обращается на физическую сущность основных понятий и законов. Наряду с теоретическими основами в пособии рассматриваются практические приёмы решения типовых задач. В конце пособия представлен фонд контрольных зада- ний с таблицами вариантов контрольных работ. В приложе- ниях даются некоторые сведения из математики, а также основные справочные данные.

 

Выписка из типовой программы дисциплины

Физика за 2011 год

(1 семестр)

Введение

Физика в системе естественных наук. Общая структура и задачи дисциплины «Физика». Экспериментальная и теоретическая физика. Физические величины, их измерение и оценка погрешностей. Системы единиц физических величин. Краткая история физических идей, концепций и открытий. Физика и научно-технический прогресс.

Механика.

Кинематика.

Основные кинематические характеристики криволиней- ного движения: скорость и ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Кинематика вращательного движения: угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейной скоростью и ускорением.

Динамика.

Инерциальные системы отсчета и первый закон Ньютона. Второй закон Ньютона. Масса, импульс, сила. Уравнение движения материальной точки. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса. Закон всемирного тяготения. Силы сопротивления.

Момент импульса. Момент импульса материальной точки и механической системы. Момент силы. Уравнение моментов. Закон сохранения момента импульса механической системы.

Энергия. Сила, работа и потенциальная энергия. Консервативные и неконсервативные силы. Работа и кинетическая энергия. Закон сохранения полной механической энергии в поле потенциальных сил.

Динамика вращательного движения.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела с закрепленной осью вращения. Момент импульса тела. Момент инерции. Формула Штейнера. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

Элементы механики сплошных сред.

Общие свойства жидкостей и газов. Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли. Идеально упругое тело. Упругие напряжения и деформации. Закон Гука. Модуль Юнга. Коэффициент Пуассона.

Релятивистская механика.

Принцип относительности и преобразования Галилея. Экспериментальные обоснования специальной теории относи- тельности. Постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна. Относительность одновременности и преобразования Лоренца. Сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета. Релятивистский импульс. Взаимосвязь массы и энергии. СТО и ядерная энергетика.

1. Термодинамика и статистическая физика.

Термодинамическое равновесие и температура. Нулевое начало термодинамики. Эмпирическая температурная шкала. Квазистатические процессы. Уравнение состояния в термодинамике. Обратимые и необратимые процессы. Первое начало термодинамики. Теплоемкость. Уравнение Майера. Изохорический, изобарический, изотермический, адиабати- ческий процессы в идеальных газах. Преобразование теплоты в механическую работу. Цикл Карно и его коэффициент полезного действия. Энтропия.

Молекулярно-кинетическая теория.

Давление газа с точки зрения МКТ. Теплоемкость и число степеней свободы молекул газа. Распределение Максвелла для модуля и проекций скорости молекул идеального газа. Экспериментальное обоснование распреде- ления Максвелла. Распределение Больцмана и барометри- ческая формула.

Элементы физической кинетики.

Явления переноса. Диффузия, теплопроводность, внутреннее трение. Броуновское движение.

1. Электричество и магнетизм.

Электростатика.

Закон Кулона. Напряженность и потенциал электростатического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме и ее применение для расчета электрических полей.

Проводники в электрическом поле.

Равновесие зарядов в проводнике. Основная задача электростатики проводников. Эквипотенциальные поверх- ности и силовые линии электростатического поля между проводниками. Электростатическая защита. Емкость провод- ников и конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора.

Диэлектрики в электрическом поле.

Электрическое поле диполя. Диполь во внешнем электри- ческом поле. Поляризация диэлектриков. Ориентационный и деформационный механизмы поляризации. Вектор электри- ческого смещения (электрической индукции). Диэлектричес- кая проницаемость вещества. Электрическое поле в однород- ном диэлектрике.

Постоянный электрический ток.

Сила и плотность тока. Уравнение непрерывности для плотности тока. Закон Ома в интегральной и дифференциаль- ной формах. Закон Джоуля-Ленца. Закон Видемана-Франца. Электродвижущая сила источника тока. Правила Кирхгофа.

 

Методические указания

 

Студенту заочнику рекомендуется:

1. Прослушать курс установочных лекций по физике. На основании полученных рекомендаций продолжить самостоя- тельное изучение теоретического материала, соответствую- щего рабочей программе по физике для данной специальности. В качестве основной литературы целесообразно использовать один из рекомендуемых учебников (см. список литературы). В качестве дополнительного материала можно использовать теоретическое введение в настоящем пособии.

2. После изучения очередного раздела теории внимательно ознакомиться с примерами решения типовых задач, представленных в данном пособии. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, закрепляет в памяти основные формулы, прививает навыки практического применения теоретических знаний. Типовые задачи в пособии подобраны так, что содержат элементы задач, предлагаемых для контрольных работ. Разбор их решения несомненно поможет при выполнении контрольного задания.

3. Решение контрольных задач должно сопровож- даться исчерпывающими, но краткими объяснениями. Прежде всего необходимо сделать чертёж, поясняющий содержание задачи. Затем указать основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи. Числовые значения подставляются только в окончательную формулу, выражающую искомую величину. При этом все вычисления следует проводить в системе СИ, руководствуясь правилом приближённых вычислений. Наконец, при записи ответа численные значения следует представить в стандартном виде, т.е. как произведение десятичной дроби с одной значащей цифрой перед запятой на соответствующую степень при основании десять. Например, вместо 1350 надо записать 1,35·10³, вместо 0, 0386 записать 3,86·10^-2 и т.д.

4. Студент должен решить контрольные задачи того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой его зачетки (шифра). Контрольные работы выполняются в обыч- ной школьной тетради, (каждую работу в отдельной тетради), на обложке которой приводятся сведения об исполнителе по следующему образцу:

Контрольная работа по физике №1

студента группы РК-001

Шифр 257320

Иванова Петра Ивановича

Контрольные работы, представленные без соблюдения указанных правил, а также работы, выполненные не по своему варианту, зачитываться не будут.

Если контрольная работа не зачтена, студент обязан представить её на повторную рецензию, включив в неё те задачи, решение которых оказалось неверным. Зачтённые контрольные работы предъявляются экзаменатору. Студент должен быть готов дать во время экзамена пояснения по существу решения задач, входящих в его контрольные работы.

МЕХАНИКА

Механика изучает законы движения материальных объектов и те причины, которые вызывают или изменяют это движение. Основные законы механики установлены для физических моделей, к которым относятся материальная точка и абсолютно твердое тело. Материальная точка– это тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело – это тело, деформа- цией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, жестко связанных между собой.

Примеры решения задач по кинематике

Пример 1. Движение частицы в плоскости ХУ описы- вается кинематическими уравнениями: ; , где А и В – константы. Определить: 1) уравнение траектории 2) векторы скорости, ускорения и их численные значения; 3) вектор средней скорости за первые t секунд движения и его модуль.

Решение

1) Для нахождения уравнения траектории движения частицы необходимо исключить параметр из кинематиче- ских уравнений:

.

Полученное уравнение представляет собой уравнение параболы.

2) Вектор скорости частицы в момент времени определяется выражением:

,

где - единичные векторы вдоль осей Х и У, а и - проекции вектора скорости на соответствующие оси.

Дифференцируя уравнения по времени, получим:

;

и, следовательно, .

Модуль вектора скорости равен

.

Вектор ускорения представляет собой первую производ- ную от вектора скорости

где

Следовательно, .

Знак «-» в полученном выражении свидетельствует о том, что ускорение направлено в сторону, противоположную оси У.

 

Модуль ускорения равен

.

3) Вектор средней скорости определяется выражением

где поскольку ,

.

Окончательно,

.

 

Пример 2. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении со скоростью υ = 30 м/c. Определить скорость, тангенциальное и нормальное ускорение камня в конце третьей секунды после начала движения.

Решение

Движение горизонтально брошенного тела под действием силы тяжести состоит из равномерного движения в горизон- тальном направлении со скоростью υ_x и свободного падения в вертикальном направлении со скоростью . Мгновенная скорость движения тела определяется сложением векторов и . Модуль скорости определим в соответ- ствии с теоремой Пифагора

. (1)

Вектор полного ускорения тела (ускорение свобод- ного падения) равен векторной сумме тангенциального и нормального ускорений.

.

x

y

φ

 

 

 

Как следует из рисунка, модуль нормального ускорения a_n тела равен: , где φ угол между векторами и , следовательно .

Тогда с учётом (1) получим

. (2)

Модуль тангенциального ускорения определим в соответствии с теоремой Пифагора:

. (3)

Выполняя вычисления, получим

 

Пример 3. Маховик, вращающийся с постоянной частотой , при торможении начал вращаться равно- замедленно. Когда торможение прекратилось, частота враще- ния оказалась равной . Определить угловое ускоре- ние e маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал .

Решение

При равнозамедленном вращательном движении уравнения угловой скорости и углового пути имеют вид:

, (1)

. (2)

Решение этой системы уравнений дает соотношение, связывающее угловое ускорение с начальной и конечной угловыми скоростями

,

или . (3)

Но так как и , то

. (4)

Подставив числовые значения в выражение (4), найдём

.

Угловое ускорение получилось отрицательным, так как маховик вращался замедленно. Продолжительность торможения определяем из уравнения (1):

.

С учетом (4) окончательно получим

.

Подставив числовые значения, найдем:

Твердого тела

Основными динамическими характеристиками абсолют- но твердого тела при вращательном движении являются момент инерции и момент импульса.

Примеры решения задач по динамике поступательного и вращательного движения тел

Пример 1. В системе, показанной на рисунке, массы тел равны , трения нет, массы блоков пренебрежимо малы. Найти ускорение тела массой относительно стола и ускорения грузов m₁ и m₂ относительно подвижного блока.

 

 

Решение

Укажем все силы, действующие на грузы. Если считать нити, связывающие грузы, невесомыми и нерастяжимыми, а также пренебречь массой блоков, то силы натяжения нити с обеих сторон от каждого блока равны, в частности, , . Выберем положительные направления координатных осей х и y, запишем в скалярном виде уравнения движения груза и системы грузов в соответствии со вторым законом Ньютона:

; (1)

. (2)

Выразим из уравнения (2) силу Т, получим

. (3)

 

Приравняв правые части выражений (1) и (3), найдём

.

Откуда

. (4)

Запишем уравнения движения грузов m₁ и m₂ в проекциях на ось oy:

Решая систему уравнений с учётом (4), получим

.

 

Пример 2. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора F = 0,2 кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить скорость лодки через t = 20 с после начала её движения. Коэффициент сопротивления = 20 кг/с.

Решение

На лодку в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги мотора и сила сопротивления, величина которой пропорциональна скорости, т.е. . Уравнение движения лодки имеет вид:

.

Для решения данного дифференциального уравнения разделим переменные

и выполним интегрирование:

.

Подставив пределы интегрирования, проведём преобразование

или

.

Окончательно получим

.

Произведя вычисления, найдем υ = 6.3 м /с.

Пример 3. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂ (m₂ > m₁). Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

m0

Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения. С этой целью, покажем силы, действующие на тела данной системы, напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности.

На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (см. рис.).

Уравнения движения этих тел в проекции на ось y имеют вид

-m₁a = m₁g-T₁, (1)

m₂a = m₂g-T₂. (2)

Вращение блока вызывается действием сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращатель- ного движения для блока имеет вид

, (3)

где R - радиус блока, - его момент инерции, ε - угловое ускорение.

Учтено также, что по третьему закону Ньютона силы натяжения нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

.

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой её точке, а следовательно

а =εR.

Решение системы полученных уравнений дает искомый результат

 

Пример 4. Однородный шар скатывается без скольже- ния с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найдите ускорение центра инерции шара.

Решение

На шар действует сила тяжести , сила реакции и сила трения . Последняя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновен- ной оси, проходящей через центр инерции. Под действием этих сил шар участвует в двух движениях (поступательном и вращательном), уравнения которых имеют следующий вид

х

α

, (1)

, (2)

где а – ускорение центра масс шара, - момент инерции шара относительно его центра масс, - угловое ускорение.

Учитывая, что , и , преобразуем уравнение (2) к виду

. (3)

Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим

. (4)

Примеры решения задач на работу и мощность

Пример 1. Потенциальная энергия частицы имеет вид

, где а – константа. Найти: а) силу , действую- щую на частицу; б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при её перемещении из точки М (1,1,1,) в точку N (2,2,3).

Решение

Используя выражение, связывающее потенциальную энергию частицы с силой, действующей на неё, получим

.

Работа сил потенциального поля равна убыли потенциальной энергии

.

По известным координатам точек M и N находим

, , .

 

Пример 2. Частица совершает перемещение в плоско- сти ХУ из точки с координатами (1,2) м в точку с координатами (2,3) м под действием силы Н. Определить работу данной силы.

Решение

Элементарная работа, совершаемая силой при перемещении , равна скалярному произведению этих векторов

.

Работа при перемещении частицы из точки 1 в точку 2 определится интегрированием

.

Подставляя числовые значения, получим

.

Пример 3. Тело массой m =1,0 кг падает с высоты h =20 м. Пренебрегая сопротивлением воздуха найти среднюю мощность, развиваемую силой тяжести на пути h, и мгновен- ную мощность на высоте h/ 2.

Решение

Средняя мощность N_{ср ,} развиваемая силой тяжести на пути h, определяется выражением

Запишем выражение координаты y(t) тела от времени при свободном падении с высоты h с нулевой начальной скоростью:

,

где g – ускорение свободного падения.

Полное время t падения тела с высоты h определим из этого выражения при условии y = 0: , откуда

Среднее значение скорости равно

,

тогда

.

Мгновенная мощность, развиваемая силой тяжести на высоте h/ 2, равна

Расстояние, пройденное телом за промежуток времени t₁, равно

,

откуда

Мгновенная скорость υ₁ тела на высоте h /2, равна

Тогда

 

Выполняя вычисления, получим

 

Пример 4. Маховиквращается по закону, выражаемому уравнением , где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = -4 рад/с². Найти среднюю мощность , развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если момент инерции I = 100 кг·м^2.

Решение

Средняя мощность по определению

, (1)

где t- время торможения до полной остановки, А- работа, совершаемая за это время.

Работа при вращательном движении

.

С учётом основного уравнения динамики вращательного движения M=Iε, получим

, (2)

где - угловое ускорение, - углы поворота при t = 0 и в момент остановки.

Время торможения до остановки найдём из условия .

,

откуда

С учётом значений t, найдём

После интегрирования (2) получим абсолютное значение работы сил торможения

(3)

Подставляя (3) в (1) найдём

 

 

Законы сохранения

 

Любое тело (или совокупность тел) представляет собой, по существу, систему материальных точек. Состояние системы характеризуется одновременным заданием координат и скоро- стей всех ее частиц.При движении системы ее состояние изменяется со временем. Существуют, однако, такие функции координат и скоростей, образующих систему частиц, которые способны сохраняться во времени. К ним относятся энергия, импульс и момент импульса.

В соответствии с этим имеют место три закона сохране- ния – закон сохранения энергии, закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, которые выполняются в замкнутых системах.

Система называется замкнутой, если она не обменивается с другими телами, не входящими в эту систему, соответ- ственно энергией, импульсом, моментом импульса. Законы сохранения энергии, импульса и момента импульса можно получить исходя из основных уравнений динамики, однако, следует иметь в виду, что эти законы обладают гораздо большей общностью, чем законы Ньютона, и должны рас- сматриваться как самостоятельные фундаментальные принци- пы физики, относящиеся к основным законам природы.

Законы сохранения являются эффективным инструмен- том исследования. С помощью законов сохранения можно без решения уравнения движения получить ряд важнейших данных о протекании механических процессов.

 

Закон сохранения импульса

 

Импульс системы равен векторной сумме импульсов ее отдельных частиц, т.е.

, (1.60) где - импульс i -й частицы.

Изменение импульса системы, согласно законам динамики, равно результирующему вектору импульса внешних сил:

. (1.61)

В соответствии с этим уравнением, импульс системы может изменяться под действием только импульса внешних сил. Импульсы внутренних сил не могут изменить импульс системы. Отсюда непосредственно вытекает условие замкнутости системы и закон сохранения импульса: импульс замкнутой механической системы остается постоянным:

. (1.62)

Примеры решения задач на законы сохранения

Пример 1. Пуля массой m =15 г, летящая с горизон- тальной скоростью =500 м/с, попадает в баллистический маятник M = 6 кг и застревает в нем. Определить высоту h, на которую поднимется маятник после удара.

Решение

При неупругом ударе выполняется только закон сохранения импульса, в соответствии с которым

.

После удара, пренебрегая силами сопротивления воздуха, можно воспользо- ваться законом сохранения механической энергии

.

Решая совместно полученные уравнения, найдем

; h = 7,9 см.

 

Пример 2. Шар массой m ₁= 8 кг движется со скоро- стью υ₁ = 2 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 4 кг, который движется ему навстречу со скоростью υ₂ = 5 м/с. Найти скорость шаров после прямого центрального удара. Удар считать абсолютно упругим.

Решение

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

где u₁ и u ₂ скорости шаров после упругого удара.

 

m2

m1

x

m2

m1

x

 

Направления векторов скоростей шаров послу удара выберем произвольно и проведем ось x параллельно векторам скорости. В проекциях на ось x закон сохранения импульса примет вид:

или

(1)

Закон сохранения механической энергии можно представить в виде ,

или

Из этого уравнения с учётом (1) получим:

откуда

(2)

Подставляя полученное выражение (2) в (1), получим:

Далее найдём

(3)

Подставим полученное выражение (3) в (2):

после преобразования найдём

.

Выполним вычисления:

 

Пример 3. Из орудия, не имеющего противооткатного устройства, производилась стрельба в горизонтальном направ- лении. Когда орудие было неподвижно закреплено, снаряд вылетел со скоростью υ₁ = 600 м/с, а когда орудию дали возможность свободно откатываться назад, снаряд вылетел со скоростью υ₂ = 580 м/с. С какой скоростью откатилось при этом орудие?

Решение

Система “орудие - снаряд” является замкнутой, поэтому можно применить закон сохранения импульса. Так как в начальный момент система покоилась, то импульс системы в процессе взаимодействия должен быть равен нулю.

Пусть υ₁ – скорость снаряда без отката орудия, υ₂ – скорость снаряда с откатом орудия, u – скорость отката орудия, m₁ – масса снаряда, m₂ – масса орудия, тогда закон сохранения импульса имеет вид:

m₁υ₂ – m₂u = 0,

откуда

(1)