Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

 

Момент силы характеризует ее вращательное действие. Различают момент силы относительно точки и относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно точкиО называется векторная величина равная векторному произведению радиус - вектора , проведенного из точки О в точку прило- жения силы, на вектор силы:

. (1.36)

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы , а его направление определяется также прави- лом правого винта (рис.1.9).

Модуль момента силы равен

M = F r sina = F l, (1.37)

где a – угол между , l = r sina – плечо силы , определяемое длиной перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Мz, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О, принадлежащей этой оси. Значение Мz не зависит от выбора положения точки О на оси Z (рис.1.10). Действительно, разложим вектор силы на три составляющие: – параллель- ную оси z, – перпендикулярную оси z, – касательную к окружности радиуса R с центром на оси z. Вращательное действие оказывает только составляющая , поэтому момент силы относительно оси будет равен

= r F_t cos a = R F_t. (1.38)

 

 

 

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Скорость изменения момента импульсачастицы со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу:

. (1.39)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z, скорость изменения момента импульса тела Lz определяется действием результирующего момента всех внеш- них сил, относительно данной оси, т.е.

, (1.40)

учитывая, что, получим

, (1.41)

или

. (1.42)

Уравнения (1.40) - (1.42) представляют собой уравнения динамики вращательного движения твердого тела относи- тельно неподвижной оси.

Из последней формулы видно, что чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием одного и того же момента внешних сил.

В самом общем случае, движение свободного твердого тела удовлетворяет следующим двум дифференциальным уравнениям:

Здесь m – масса тела, I_c – момент инерции тела относительно центра масс, - главный вектор внешних сил, - главный момент внешних сил относительно точки С.

Первое уравнение описывает поступательное движение свободного тела со скоростью его центра масс. Второе уравнение описывает вращение твердого тела вокруг его центра масс.

 

Примеры решения задач по динамике поступательного и вращательного движения тел

Пример 1. В системе, показанной на рисунке, массы тел равны , трения нет, массы блоков пренебрежимо малы. Найти ускорение тела массой относительно стола и ускорения грузов m₁ и m₂ относительно подвижного блока.

 

 

Решение

Укажем все силы, действующие на грузы. Если считать нити, связывающие грузы, невесомыми и нерастяжимыми, а также пренебречь массой блоков, то силы натяжения нити с обеих сторон от каждого блока равны, в частности, , . Выберем положительные направления координатных осей х и y, запишем в скалярном виде уравнения движения груза и системы грузов в соответствии со вторым законом Ньютона:

; (1)

. (2)

Выразим из уравнения (2) силу Т, получим

. (3)

 

Приравняв правые части выражений (1) и (3), найдём

.

Откуда

. (4)

Запишем уравнения движения грузов m₁ и m₂ в проекциях на ось oy:

Решая систему уравнений с учётом (4), получим

.

 

Пример 2. Моторная лодка массой m = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги мотора F = 0,2 кН. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости, определить скорость лодки через t = 20 с после начала её движения. Коэффициент сопротивления = 20 кг/с.

Решение

На лодку в горизонтальном направлении действуют две силы: сила тяги мотора и сила сопротивления, величина которой пропорциональна скорости, т.е. . Уравнение движения лодки имеет вид:

.

Для решения данного дифференциального уравнения разделим переменные

и выполним интегрирование:

.

Подставив пределы интегрирования, проведём преобразование

или

.

Окончательно получим

.

Произведя вычисления, найдем υ = 6.3 м /с.

Пример 3. Через блок в виде диска массой m₀ перекинута нить, к концам которой прикреплены грузы массами m₁ и m₂ (m₂ > m₁). Найти ускорение грузов. Трением пренебречь.

Решение

m0

Применим к решению задачи основные законы динамики поступательного и вращательного движения. С этой целью, покажем силы, действующие на тела данной системы, напишем уравнения движения для каждого из тел в отдельности.

На каждый из движущихся грузов действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити (см. рис.).

Уравнения движения этих тел в проекции на ось y имеют вид

-m₁a = m₁g-T₁, (1)

m₂a = m₂g-T₂. (2)

Вращение блока вызывается действием сил натяжения нити, поскольку моменты сил тяжести блока и реакции оси равны нулю. Тогда основное уравнение динамики вращатель- ного движения для блока имеет вид

, (3)

где R - радиус блока, - его момент инерции, ε - угловое ускорение.

Учтено также, что по третьему закону Ньютона силы натяжения нити с каждой из сторон блока одинаковы по модулю, т.е.

.

Если нить не проскальзывает относительно блока, то касательное ускорение его точек, соприкасающихся с нитью, равно ускорению нити в любой её точке, а следовательно

а =εR.

Решение системы полученных уравнений дает искомый результат

 

Пример 4. Однородный шар скатывается без скольже- ния с наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол . Найдите ускорение центра инерции шара.

Решение

На шар действует сила тяжести , сила реакции и сила трения . Последняя является силой трения покоя, которая и создает вращающий момент относительно мгновен- ной оси, проходящей через центр инерции. Под действием этих сил шар участвует в двух движениях (поступательном и вращательном), уравнения которых имеют следующий вид

х

α

, (1)

, (2)

где а – ускорение центра масс шара, - момент инерции шара относительно его центра масс, - угловое ускорение.

Учитывая, что , и , преобразуем уравнение (2) к виду

. (3)

Решая уравнения (1) и (3) совместно, получим

. (4)