Определение момента инерции относительно произвольной оси

 

Цель работы: определение модуля кручения, момента инерции

относительно произвольной оси.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер, набор

исследуемых тел.

 

Краткая теория

Основное уравнение динамики вращательного движения и методы расчета момента инерции твердых тел.

При вращательном движении вводят динамические характеристики: момент силы и момент инерции.

Вращательным моментом или моментом силы называется векторная величина , равная векторному произведению радиуса вектора , проведенного из начала координат до данной точки приложения силы F, на вектор этой силы

 

. (1)

Модуль момента силы равен:

, (2)

где – называют плечом силы.

Плечом силы называют кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила (рис.1).

Направление вектора выбирается в соответствии с правилом буравчика (если буравчик вращать так, как вращается тело, то поступательное движение буравчика совпадает с направлением момента силы).

Тогда из (2) величина вращающего момента определится как величина, численно равная произведению действующей силы на плечо h.

Вектор момента силы направлен вдоль оси и совпадает с направлением углового ускорения.

С другой стороны, угловое ускорение пропорционально моменту силы.

 

или . (3)

Коэффициент пропорциональности J называют моментом инерции тела относительно оси вращения.

Выражение (3) является основным уравнением динамики вращательного движения.

Величину – называют моментом инерции материальной точки относительно данной оси.

Для неравномерного движения: (угловое ускорение можно представить как вторую производную ).

Сравнивая (3) со вторым законом Ньютона, можно провести аналогию между J и m, следовательно, момент инерции является физической величиной, характеризующей инертность тела при изменении им угловой скорости под действием вращающего момента.

Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен сумме моментов инерции материальных точек тела относительно этой оси.

.

В случае сплошных тел момент инерции определяется по формуле:

 

.

 

Крутильные колебания

Крутильными колебаниями называются такие колебания, при которых твердое тело, подвешенное на невесомой вертикальной нити, совершает колебания в горизонтальной плоскости.

В случае малых углов j при крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент

М = –D j,

где D – модуль кручения нити подвеса.

Учитывая выражение (3), запишем уравнение движения при крутильных колебаниях:

, (4)

 

где , а J – суммарный момент инерции, который включает момент инерции исследуемого тела и подвеса крутильного маятника.

Период крутильных колебаний определиться как:

. (5)

 

 

Теория метода

Для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси необходимо знать момент инерции подвеса крутильного маятника и модуль кручения. Для определения этих величин измеряют период крутильных колебаний для двух случаев:

1) без дополнительного груза T ₁;

2) с дополнительным грузом Т ₂ (цилиндром), момент инерции которого легко рассчитать теоретически (например цилиндра):

, (6)

где m–масса цилиндра, r–радиус цилиндра.

Запишем период крутильных колебаний для этих случаев:

(7)

где J _ц – момент инерции цилиндра, D – модуль кручения, J – момент инерции подвеса крутильного маятника.

Возведем оба уравнения в квадрат и разделим друг на друга:

. (8)

Подставим (8) в первое уравнение системы (7) и разрешим относительно D

. (9)

Рассчитав модуль кручения и момент инерции подвеса можно преобразить вторую формулу в системе (7), в которой вместо J _ц уже стоит искомый момент инерции тела J _x.

:

. (10)

 

Порядок выполнения работы

 

1. Установите исследуемое тело. Для этого отверните цанговые зажимы 2 (рис.2) и установите планку 3 на необходимую высоту, закрутите цанговые зажимы 2 винтом 4, закрепите исследуемое тело вдоль заданной оси.

2. Включите секундомер и обнулите индикаторы, для чего нажмите последовательно кнопки "стоп" и "сброс" (кнопка "пуск" отжата).

3. Подведите к электромагниту маятник.

4. Нажмите кнопку "пуск". Отсчитайте заданное преподавателем количество колебаний N (кнопку "стоп" нажать, когда произойдет N – 1 колебаний). По формуле рассчитайте период колебаний (t – время, N – число колебаний).

5. Определите момент инерции твердого тела относительно произвольной оси по формуле (10).

 

№	N	t	T	J	D J		Jист
Среднее значение

 

Расчет погрешности

 

Относительная ошибка:

Абсолютная ошибка: ΔI_x = I_x

Задачи

 

1. Шар радиусом R =10 см и массой m =5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=А+Вt ²+ Сt ³ (B =2 рад/с²; С =–0,5 рад/с²). Определить момент сил М для t=3с.

Ответы: 1) 0,15 Н^.м; 2) 0,1 Н^.м; 3) 0,23 Н^.м; 4) –0,1 Н^.м; 5) –0,25 Н^.м.

2. Во сколько раз момент инерции диска относительно оси симметрии, перпендикулярной основанию, меньше его момента инерции относительно оси, проходящей через край диска перпендикулярно основанию?

Ответы: 1) 1; 2) 2,5; 3) 2; 4) 4; 5) 2,25.

3. Брусок массой m =2 кг, длиной ℓ=30 см, шириной 10 см вращается вокруг оси, проходящей вдоль оси симметрии. Найти его момент инерции:

Ответы: 1) 2,35^.10^–2кг^.м²; 2) 3^.10^–2кг^.м²; 3) 1,67^.10^–2кг^.м²; 4) 3,8^.10^–2кг^.м²; 5) 1,95^.10^–2кг^.м².

4. Сплошной цилиндр радиусом R =10 см и массой 2,5 кг, вращается вокруг оси симметрии. Определите его момент инерции.

Ответы: 1) 1,83^.10^–2кг^.м²; 2) 1,25^.10^–2кг^.м²; 3) 1,35^.10^–2кг^.м²; 4) 2,18^.10^–2кг^.м²; 5) 3,32^.10^–2кг^.м².

5. Определить момент инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с осью симметрии. Массой муфты m=2 кг, внутренний радиус r=0,03 м, внешний R =0,05 м.

Ответы: 1) 40^.10^–4кг^.м²; 2) 23,5^.10^–4кг^.м²; 3) 35^.10^–4кг^.м²; 4) 34^.10^–4кг^.м²; 5) 29,8^.10^–4кг^.м².

6. На тело с моментом инерции 2 кгм² действует вращающий момент 8 Нм. С каким угловым ускорением вращается тело?

Ответы: 1) 6,2 рад/с²; 2) 4,0 рад/с²; 3) 3,4 рад/с²; 4) 2,2 рад/с²; 5) 4,8 рад/с²

 

Контрольные вопросы

1. Физический смысл момента инерции.

2. Момент инерции материальной точки, твердого тела.

3. Дифференциальное уравнение крутильных колебаний. Его решение.

4. Основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Момент силы, его уравнение.

6. Цель работы. Вывод рабочей формулы.

 

Литература

 

1. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. М.: Наука, 1989. с104–108.

2. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002, с.36–38.

3. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г., Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.191–194.

Лабораторная работа 1.8

Баллистический маятник

Цель работы: изучение движения крутильного маятника под действием короткого импульса внешней силы и определение скорости пули методом крутильного маятника.

Оборудование: лабораторная установка (рис. 1).

Материал для изучения: крутильные колебания; уравнение моментов.

Теоретическое введение

Основным элементом лабораторной установки является крутильный маятник (рис. 2). При попадании в него выпущенной стреляющим устройством «пули» маятник начинает вращаться вокруг вертикальной оси. Максимальный угол q _max маятника из положения равновесия связан со скоростью υ ₀ пули соотношением

 

, (1)

 

где m – масса пули, ℓ– прицельное расстояние (рис. 1), I – момент инерции маятника, D – постоянная момента упругих сил.

Для экспериментального определения скорости пули удобно преобразовать соотношение (1) так, чтобы в него входили непосредственно измеряемые на опыте величины. Сначала воспользуемся формулой для периода колебаний Т слабо затухающего крутильного маятника и исключим неизвестную величину D

. (2)

В результате получим

. (3)

 

Согласно теореме Гюйгенса – Штейнера, момент инерции маятника

 

, (4)

 

где 2М – масса двух имеющихся на маятнике подвижных грузов,

R – расстояние от центра масс каждого из этих грузов до оси вращения.

Подставляя это выражение в (3), получаем следующую формулу для определения скорости пули:

. (5)

Измерения

Соотношение (1), использовавшееся при выводе выражения (5), было получено для идеализированной модели, а именно, предполагалось, что выполнены следующие условия:

1) колебания маятника являются незатухающими;

2) время τ соударения пули с маятником мало по с равнению с периодом колебаний:

τ << T (6)

 

(баллистический режим).

Поэтому прежде всего необходимо выяснить, обеспечивается ли выполнение этих условий для имеющейся лабораторной установки.

Сначала обсудим первое из них. Отклонив маятник из положения равновесия, легко убедиться, что амплитуда его колебаний довольно быстро уменьшается. Следовательно, модель незатухающих колебаний не является точной и применение полученной в рамках этой модели формулы (5) может привести к систематической погрешности в определении скорости пули.

Оценим эту погрешность, для чего сравним графики зависимости амплитуды незатухающих и затухающих колебаний маятника от времени. Будем считать, что в обоих случаях маятник выведен из положения равновесия в момент времени t = 0 с одинаковой начальной скоростью (рис. 3).

Как видно из рисунка, пренебрежение затуханием приводит к заниженному значению скорости пули. Действительно, в формулу (5) подставляется измеренная величина θ ₁ = θ _max, а она меньше, чем соответствующая той же начальной скорости амплитуда незатухающих колебаний θ ₀. Следовательно, при определении θ _max возникает систематическая погрешность, равная

 

Δ θ _сист = θ ₁ – θ ₀.

 

Для оценки заметим, что она накапливается за четверть периода колебаний, т.е. за время . Уменьшение амплитуды колебаний за полный период Т можно измерить непосредственно:

 

Δ θ = θ ₂ – θ ₁,

 

где θ ₁ и θ ₂ – соответственно углы первого и второго максимального отклонения маятника после попадания в него пули. Считая зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени приблизительно линейной (для этого нужно, чтобы затухание за период было мало), находим

.

 

Следовательно,

,

т.е.

. (7)

 

Если θ ₁ и θ ₂ совпадают в пределах точности, с которой измеряется угол отклонения θ маятника, то Δθ _сист, очевидно, можно пренебречь и модель незатухающих колебаний справедлива.

Попробуем теперь оценить τ (τ – время соударения пули с маятником). Построим качественно график зависимости скорости пули от времени относительно маятника (рис. 4.)

 

Непосредственно перед соударением маятник покоится, а скорость пули равна υ_о: значит, их начальная относительная скорость υ_отн (0) = υ_о. В конце удара, т.е. при t = τ, по определению, υ_отн ( τ ) = 0.

Естественно считать, что в течение удара скорость υ_отн постепенно (монотонно) убывает от υ_о до нуля. Без проведения специальных измерений ничего более определённого сказать о зависимости υ_отн от t нельзя: для этого необходимо заранее знать закон взаимодействия между соударяющимися телами. Нам же надо лишь приближенно оценить τ.

Пусть t_n – момент, когда относительная скорость пули уменьшается по сравнению с начальной в n раз:

.

Из рис.3 видно, что полное перемещение пули в материале маятника

,

равное полной площади под кривой υ_отн (t), заведомо превышает площадь заштрихованного прямоугольника:

.

При достаточно больших значениях n, например при n > 10, можно считать, что t_n мало отличается от времени соударения τ, и положить τ ≈ t_n. Тогда получаем неравенство

,

которое позволяет получить оценку τ:

. (8)

Величины, стоящие в правой части неравенства (8), определяются на опыте. В лабораторной установке глубина проникновения пули в маятник s_о ≤ 0,5 см, а скорость пули υ_о ≥ 1 м ∕с.

Следовательно, с и при n = 10 получаем для τ оценку сверху: τ ≤0,05 с.

Так как период колебаний маятника Т ≈ 1 с, то можно считать, что равенство (6) в этих условиях выполняется.

 

Примечание. Выбор величины n = 10 может показаться произвольным. Однако при практически можно считать, что удар действительно «закончился», так как к этому моменту кинетическая энергия пули

,

т.е. составляет всего лишь примерно 1 % её первоначальной кинетической энергии.

Выясним теперь, как определить в рабочей формуле неизвестную величину I_о. Для этого запишем период колебания маятника в виде

.(9)

Таким образом, Т зависит от расстояния R центров подвижных грузов M от оси вращения.

Установив грузы M на некотором расстоянии R₁ от оси вращения, можно определить период колебаний T₁ маятника. Сместим грузы M в другое положение R₂ и снова измерим период колебаний T₂ маятника. Так как [см. (9)]

,

то, исключая из этих равенств D, находим

.

Для уменьшения погрешности, с которой определяется величина I_о, расстояния R₁ и R₂ следует взять заметно отличающимися друг от друга. Лучше всего взять R₁ возможно ближе к оси вращения, а R₂ – на максимальном расстоянии от неё.

После того как найдено I_о, скорость пули может быть определена из формулы (5) по известным значениям массы m пули, масс M грузов и измеряемым на опыте значениям периода колебаний T, прицельного расстояния l, расстояния R и угла отклонения θ _max маятника.

Для повышения точности измерений рекомендуется устанавливать грузы M на небольшом расстоянии R от оси маятника, чтобы угол отклонения θ _max маятника был как можно больше.

Задание

 

1. Установите подвижные грузы M на минимальном расстоянии от оси вращения и, сделав 2–3 выстрела, определите приближенно угол отклонения θ ₁ маятника при попадании в него пули.

2. Оцените по формуле (7) Δθ _сист. Для этого отклоните маятник из положения равновесия на угол θ ₁, отпустите без толчка и измерьте

амплитуду θ ₂ второго отклонения маятника в ту же сторону. Измерения повторите три раза и найдете среднее арифметическое значение θ ₂. Результате измерений занесите в табл. 1.

Таблица 1

θ1	θ 2,1	θ 2,2	θ 2,3		Δθ сист	Δθ о

Сравните найденное значение Δθ _сист с погрешностью Δθ _о измерений угла по шкале устройства (Δθ _о равно половине цены деления шкалы).

3. Определите Т_о. Для этого измерьте периоды колебаний маятника Т₁ и Т₂ при двух различных положениях R₁ ≈ R_min и R₂ ≈ R_max пар подвижных грузов M. Результаты измерений занесите в табл. 2

Таблица 2

R1

Δ R1

R2

Δ R2

T1

T2

M

Io

Δ Io

4.Установив на расстоянии R ≈ R_min грузы M, измерьте отклонение маятника θ = θ _max и прицельное расстояние l в серии из четырех выстрелов. Результаты измерений занесите в табл. 3.

Таблица 3

l1

l2

L3

l4

Δ l

θ 1

θ 2

θ 3

θ 4

Δθ

Δ T

Δ υо

 

Пользуясь соотношением (5), определите скорость пули.

Можно ли утверждать, что скорость пуль в серии выстрелов одинакова в пределах точности измерений или имеется разброс в скорости пуль от выстрела к выстрелу?

5. Измерьте приближенно глубину S_о, на которой пуля застревает при попадании в маятник. Оцените по формуле (8) время соударения τ пули с маятником, полагая в (8) n = 10. Убедитесь в том, что неравенство (6) в условиях опыта действительно выполняется.

 

Задачи

1. Два тела (m ₁=3 кг, m ₂=2 кг), двигавшиеся навстречу друг другу (υ₁ =2 м/c, υ ₂=3 м/с) после неупругого удара:

Ответы: 1) будут двигаться вправо со скоростью 2 м/с; 2)будут двигаться вправо со скоростью 1 м/с; 3) остановятся; 4) будут двигаться влево со скоростью 1 м/с; 5) будут двигаться со скоростью 2 м/с.

2. Чему равен модуль изменения импульса тела массой m при абсолютно упругом ударе о

некоторую плоскую поверхность, как показано на рисунке?

Ответы: 1) mυ cosα; 2) 2 mυ cosα; 3) mυ sinα; 4) 2 mυ sinα; 5) mυ (cosα–sinα)

3. Тело массой 0,2 кг падает с высоты 1 м с ускорением 8м/с. Найти изменение импульса.

Ответы: 1) 10,3 кг^.м/с; 2) 0,6 кг^.м/с; 3) 0,8 кг^.м/с; 4) 3,2 кг^.м/с; 5) 1,2 кг^.м/с.

4. Два шара массами 6 кг и 4 кг движутся вдоль одной прямой со скоростями 8 м/с и 3 м/с. С какой скоростью они будут двигаться после абсолютно неупругого удара, если первый шар догоняет второй?

Ответы: 1) 12,7 м/с; 2) 10 м/с; 3) 5,7 м/с; 4) 6 м/с; 5) 8,0 м/с.

5. Снаряд массой 100 кг, летящий горизонтально вдоль железнодорожного пути со скоростью 500 м/с, попадает в вагон с песком массой 10 т и застревает в нем. Найти скорость вагона, если он двигался со скоростью 10 м/с навстречу снаряду

Ответы:1) 7,62 м/с; 2) 12,8 м/с; 3) 9,35 м/с; 4) 4,54 м/с; 5) 5,76 м/с.

6. Молекула массой 5^.10^–26 кг, летящая со скоростью 500 м/с, упруго ударяется о стенку под углом 30⁰ к перпендикуляру. Найти импульс силы, полученный стенкой при ударе:

Ответы: 1) 7,26^.10^–23 Н^.с; 2) 9^.10^–22 Н^.с; 3) 2,34^.10^–22 Н^.с; 4) 6,8^.10^–22 Н^.с; 5) 4,32^.10^–23 Н^.с.

 

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу (1): .

2. На основании полученных вами данных оцените постоянную момента упругих сил D.

3. По экспериментальным результатам оцените кинетическую энергию маятника: .

4. Оцените, какая часть кинетической энергии пули при ударе переходит в теплоту.

Литература

1. Каленков С. Г., Соломахо Г. И. Практикум по физике. М.: 1990, Высшая школа.

2. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.:1989, Механика, т.1.

3. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики М.: 1989.

 

Лабораторная работа 1.9

Маятник Максвелла

Цель работы: необходимо определить момент инерции диска,

линейную скорость вертикального падения маятника,

линейное ускорение маятника.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, секундомер,

линейка.

Маятник Максвелла представляет собой диск, подвешенный на двух невесомых и нерастяжимых нитях.

Масса диска m = 407 г~ 0,41 кг,

радиус оси r = 2,5. 10 ^–3 м,

радиус диска R = 0,1 м.

Нити невесомы и нерастяжимы.

g ₀ = 9,81 м/с² ~ 10 м/с² – ускорение свободного падения на поверхность земли “ h = 0”.

 

Выполнение работы

Закручиваем нити маятника на ось и поднимаем его на высоту “ h ”. Тогда маятник будет иметь потенциальную энергию

 

E_n = m g ₀ h. (1)

 

Опустив маятник будем наблюдать превращение потенциальной энергии маятника в кинетическую энергию вращательного движения

 

E_вр = I ω ² / 2 (2)

 

и в кинетическую энергию поступательного движения

 

E_пос = mυ² / 2, (3)

 

если трением пренебречь, то на основе закона сохранения и превращения энергии можно считать

 

m g h = I ω ² / 2 + m υ² / 2. (4)

 

Беря производную от (4) по времени, имеем:

mg = + , (5)

 

а т.к. = υ; ω = ; = ,

 

то имеем

 

m g υ= m υ a + , (6)

откуда находим

 

I a = m g r² – m a r² (7)

 

или

 

I = m r ² ,

 

так как h = , то a =

и тогда получаем рабочую формулу: I = m r ²

υ = a t =

Данные заносим в таблицу:

№	h	t	m	r	υ	a	I	ΔI	ΔI/I*100%	Iист=Iср ΔIср
Сред.знач.

 

Задачи

1. Какой вид имеет период колебаний пружинного маятника?

Ответы:

.

 

2. Какой вид имеет период колебаний математического маятника?

Ответы:

.

 

3. Длину математического маятника увеличили в 4 раза. Как изменился период колебаний?

Ответы: 1)остался без изменения; 2) увеличился в 4 раза; 3) увеличился в 2 раза; 4) уменьшился в 4 раза.

 

4. Масса тонкого кольца увеличилась в 2 раза. Во сколько раз изменился момент инерции кольца относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости кольца?

Ответы: 1)не изменился; 2) уменьшился в 2 раза; 3) увеличился в 2 раза; 4) увеличился в 4 раза.

 

5. Масса диска увеличилась в 2 раза и в 2 раза увеличился радиус диска. Во сколько раз изменился момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, перпендикулярно плоскости диска?

Ответы: 1) не изменился; 2) увеличился в 2 раза; 3) увеличился в 4 раза; 4) увеличился в 8 раз; 5) увеличился в 16 раз.

 

Контрольные вопросы:

1. Какой закон лежит в основе вывода рабочей формулы?

2. Можно ли считать колебания маятника Максвелла гармоническими?

3. Физический смысл момента инерции.

4. В каких единицах измеряется момент инерции?

5. Будет ли совершать колебания маятник Максвелла в состоянии невесомости?

 

Литература

 

1. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г, Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.186, 192.

2. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. М.: Наука, 1989.

3. Трофимовa Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002.

 

Лабораторная работа 1.10