Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом количества движения точки относи­тельно некоторого центра О называется векторная величина , определяемая равенством

(5.10)

где — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр О, a .

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Оz, проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту ось

где  — угол между вектором и осью Оz.

Теорема: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-либо неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра . (5.12)

Теорема моментов относительно оси

. (5.13)

Из уравнения (5.20) следует, что если , то .

 

 

17)Работа и мощность силы. Теорема об изменении кинетической энер­гии точки.

Элементарной работой силы , приложенной в точке М (см. рисунок 5.1), называют скалярную величину

dW = F_ ∙ds (5.14)

где F_ — проекция силы на касательную М к траектории точки М, направленную в сторону перемещения точки;

ds — модуль элемен­тарного перемещения точки М.

Т.к. ds = |d | (здесь d - вектор элементарного переме­щения точки), то равенство (5.14) можно представить в виде

dW= . (5.15)

Т.е., элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на конечном перемещении M₀M₁ (см. рисунок 5.1) определяется как

, (5.24)

. (5.25)

Мощностью называют величину, равную работе, совершаемой силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность P = W/t₁ (здесь t₁ - время, течение которого произведена работа W). В общем случае

(5.16)

т.е., мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Кинетической энер­гией (КЭ) точки называют скалярную величину . Теорема: изменение КЭ точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

 

18)Понятие о механической системе. Масса и центр масс системы. Момен­ты инерции системы и тела. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

Осевой момент инерции механической системы. Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси a ("осевой момент инерции") называется физическая величина J_a равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси: , Осевой момент инерции тела. Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. , где: dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до оси a. Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера) момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей
Тело	Положение оси a	Момент инерции Ja
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) радиуса R и массы m	Ось цилиндра	mR ^2
Сплошной цилиндр (диск) радиуса R и массы m	Ось цилиндра
Шар радиуса R и массы m	Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы m	Ось проходит через центр сферы
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец

Теорема Штейнера Если I ₀ — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии d от неё, равен I = I ₀ + md ², где m — полная масса тела. Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равна:

Центральный момент инерции. Центральный момент инерции J_O (или момент инерции относительно точки O) - это величина , где: dm = ρ dV — масса малого элемента объёма тела dV, ρ — плотность, r — расстояние от элемента dV до точки O. Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: . Главные оси инерции. Главные моменты инерции. tg2α₀ =2 D_xy / (I_y – I_x). Эта формула определяет положение двух осей, относительно одной из которых осевой момент инерции максимален, а относи­тельно другой — минимален, Такие оси называют главными. Моменты инерции относи­тельно главных осей называются главными моментами инерции.