Тема 3. Принцип относительности в механике

Если системы отсчета движутся относительно друг друга прямолинейно и равномерно, и в одной из них справедливы законы Ньютона – инерциальные системы отсчета. Во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму - суть механического принципа относительности (принцип относительности Галилея).

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную инерциальную систему К (с координатами X, Y,Z) и К^1 (x^1, y^1, z^1), движущуюся относительно К прямолинейно и равномерно со скоростью и (u = const). Отсчет t начнем с момента, когда начало координат совпадает со скоростью и направлена вдоль ОО ^1, тогда радиус – вектор, проведенный из О в О ^1 r0 = u × t

Определим связь между координатами точки А в обеих системах

r = r¹ + r₀ = r¹ + u × t

В проекциях на оси координат:

X = x¹ + u_xt

Y = y¹ + u _y t - преобразования координат Галилея

Z = z¹ + u_zt

В классической механике ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, тогда можно записать t = t¹

Преобразования Галилея справедливы только при u << с, а при u @ с – заменяются преобразованиями Лоренца.

Известно - правило сложения скоростей в классической механике.

Ускорение

Таким образом, ускорение точки А в системе отсчета К и К¹, движущихся равномерно друг относительно друга прямолинейно и равномерно одинаково.

Следовательно, при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой уравнения динамики не изменяются, т.е. являются инвариантными по отношению к преобразованиям координат.

 

 

При u @ с преобразования Галилея несправедливы. Нужно было создать новую механику, которая содержала бы ньютоновскую механику как предельный случай для малых скоростей (u<< с). Это удалось, сделать А. Эйнштейну – он заложил основы специальной теории относительности. Специальная теория относительности также называется релятивистской теорией.

В основе специальной теории относительности лежат постулаты Эйнштейна: принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы относительности к другой, т.е. любые физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета.

принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме предельна и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

Эйнштейн показал, что в теории относительности классические преобразования Галилея заменяются преобразованиями Лоренца, которые имеют вид:

y¹ = y

z¹ = z

 

 

 

При малых скоростях преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея – принцип соответствия.

Следствия из преобразования Лоренца:

1. Координаты х, х ¹ и время t, t ¹ не могут быть мнимыми, т.е. подкоренное выражение должно быть больше нуля.

Следовательно, u/с <<1, т.е. u относительного движения двух инерциальных систем отсчета не может превосходить с.

2. События, происходящие одновременно в разных местах системы К при наблюдении их из системы К ¹, движущейся относительно К, могут казаться разновременными – нарушение одновременности удаленных событий

 

3. Интервал времени становится функцией скорости системы

 

4. Длина тел

 

 

Таким образом, длина, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.

5. Пусть скорость тела внутри ракеты – u ¹, ракета имеет скорость u по отношению к Земле. Определим скорость u движения тела с точки зрения земного наблюдателя.

Тогда релятивистский закон сложения скоростей:

 

 

6. Относительность масс

 

 

Тогда основной закон динамики

 

 

Следовательно - релятивистский импульс

Мы знаем, законы Ньютона выполняются в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называется неинерциальными. В неинерциальных системах отсчета законы Ньютона несправедливы. Но можно применить, если кроме сил обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода – силы инерции.

Если учесть силы инерции, то II закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета. В данном случае

ma ¹ =F+F _ин,

т.е. произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех сил, действующих на тело, включая F _ин.

F _ин должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение a ¹, каким оно обладает в неинерциальной системе отсчета. Так как F = ma (а -ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то m a ¹ = ma + F _ин. Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы.

Тема 4. Работа и энергия

Что значит, с точки зрения физики совершить работу?

Допустим, что тело М под действием силы F перемещается по прямой в направлении этой силы. Величина

А = F×S - механическая работа Если сила F – соnst и действует под углом a к перемещению тела, то разложивеё на две составляющие F^ Т^ S и F H, совпадающую с ним, то A=FT×S или А = F×s cosa

При F = const если a > 0 A > 0

если a - тупой угол А < 0

если a = 90⁰ А = 0

В случае переменной силы F выделяем элементарный участок dS, на котором силу F можно считать постоянной.

F_T

dS S₂ Элементарная работа

a · dA = F dS cosa

F

А полная работа на участке S₁S₂

F_H

S₁ ·

Чтобы вычислить работу А, построим график зависимости F от S.

Элементарная работа dA = FTdS = FdS cosa [ Дж ] изображена площадью полоски основанием dS, а полная работа на пути S1S2 - площадью фигуры с основанием S1S2.

Величина, характеризующая скорость выполнения работы, называется мощностью [ Bт ]

 

Если мощность изменяется с течением времени, то

- мгновенная мощность

 

Вместо dA подставим ее значение и получим

Þ

 

Способность тела совершить работу характеризуется физической величиной – энергия.

Различают два вида механической энергии: W _к и W _р.

Кинетическая энергия – энергия движения

 

Потенциальная энергия W_p – энергия взаимодействия – энергия, обусловленная взаимным расположением тел или частей и характером их взаимодействия W = mgh

- потенциальная энергия упруго деформированного тела

 

При переходе тела или системы тел из одного состояния в другое совершается работа, которая служит мерой изменения энергии, обусловливающего этот переход.

Если работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений, то такие силы называются консервативными.

Если же работа совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такая сила называется диссипативной (сила трения).

Полная энергия системы

 

W_к + W_p = W = const – закон сохранения и превращения энергии

 

В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, энергия остается постоянной.

В системе, в которой действуют также диссипативные (неконсервативные) силы энергия системы не сохраняется.

 

 

Тема 5.Твердое тело в механике

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружности, и центр окружности расположен на одной прямой, называемой осью вращения.

При вращательном движении положение тела в любой момент времени определяется углом поворота j радиуса вектора R любой точки тела относительно своего начального положения [ j ] - [ рад ].

Угол j - угловой путь при вращательном движении. При вращательном движении угловая скорость - w. [ w ] –

- мгновенная угловая скорость при

неравномерном движении.

- угловая скорость при равномерном

движении.

Dj = 2p - угол, соответствующий одному полному обороту тела.

Dt = T – соответствующее время или период обращения.

Если вращение тела происходит неравномерно, то быстроту изменения угловой скорости характеризуют угловым ускорением

Направление угловой скорости определяется по правилу буравчика: направление вектора угловой скорости совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается вместе с телом.

1) w = const, j = wt - равномерное движение

2) e > 0 - равноускоренное движение

3) e < 0 - равнозамедленное движение

 

- угловая скорость при равноускоренном движении.

Пусть твердое тело произвольной формы вращается под действием силы F* вокруг неподвижной оси О¢О. Все его точки описывают окружности с центрами на этой осиРазложим силу F* на три состав-ляющие: F‼, F^ и F (перпендикулярную силам F‼ и F^).

Вращение тела вызывает только сила F, являющаяся касательной к окружности. Силу F – называют вращающей силой. Действие силы F зависит не только от её значения, но и от расстояния точки её приложения А до оси вращения, т.е. зависит от момента силы.

Моментом силы называется произведение вращающей силы F на радиус окружности r, описываемой точкой приложения силы

M = F×r - момент силы [ H×м ]

 

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси, называется произведение массы материальной точки на квадрат расстояния до этой оси.

J = m×r² - момент инерции [ кг×м² ]

Момент инерции характеризует инертность тела при вращательном движении.

Моменты инерции разных симметричных тел массой m:

- момент инерции шара с радиусом R

- момент инерции цилиндра

- момент инерции стержня

 

Во всех перечисленных примерах ось вращения проходит через центр масс тела.

Момент инерции относительно любой произвольной оси, не проходящей через центр масс, определяется по теореме Штейнера:

J = J₀ + md²

Момент инерции относительно любойпроизвольной оси, не проходящей черезцентр тяжести равен сумме момента инерции относительно параллельнойоси, проходящей через центр тяжести и произведению массы на квадратрасстояния между этими осями.

II закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения

F = ma

Умножив обе стороны уравнения на r, получим:

F×r = mar

Причем, а = e×r, Fr = M, mr² = J

Следовательно,

М = J×e - основное уравнение динамики вращательного движени я или II закон Ньютона для вращательного движения.

Угловое ускорение

Тогда, умножив обе стороны уравнения на Dt получим следующее:

- основной закон

динамики вращательного движения.

MDt – импульс момента сил (импульс вращающегося момента).

L = Jw - момент импульса (момент количества движения).

 

Тогда аналогично закону сохранения импульса

- закон сохранения момента импульса

 

При вращательном движении кинетическая энергия определяется по формуле

 

Катящийся без скольжения шар совершает вращательное и поступательное движения одновременно. И полная энергия равна

W_к = W_пост + W_вращ или

 

Таким образом, мы выяснили, что

S,u,a, t – кинематические характеристики поступательного движения

j,w,e, t – кинематические характеристики вращательного движения

F, m, p - динамические характеристики поступательного движения

M, J, L - динамические характеристики вращательного движения

Тема 6. Физика колебаний

Колебательные процессы – процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными (или собственными) если они совершаются за счет первоначально сообщенный энергии при последующем отсутствии внешних воздействий.

Вынужденные колебания совершаются под действием внешней периодически изменяющейся силы, которая называется вынуждающей..

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания – колебания, совершающиеся по закону синуса или косинуса.

х = A sin (wt + j); х = A cos (wt + j) - уравнение гармонических колебаний

x – смещение - [ м ] А – амплитуда колебаний - максимальное смещение тела от положения равновесия [ м ] (wt + j) – фаза колебаний – определяет положение колеблющегося тела в любой момент времени

w - круговая или циклическая частота, число полных колебаний за 2p секунд. t – время;

j - начальная фаза – определяет положение колеблющегося тела в начальный момент времени при t = 0.

Кроме того, колебания ёще характеризуются периодом и частотой колебаний.

Т – период - время одного полного колебания; [ с ]

[ Гц ] - частота колебаний – число полных колебаний за 1с.

 

w = 2pn - связь между циклической частотой и частотой колебания

Скорость гармонических колебаний определим как производную смещения:

 

 

Ускорение

 

a = - w²x – ускорение гармонических колебаний.

Тогда запишем

- дифференциальное уравнение

гармонических колебаний.

Решением этого уравнения является выражение х = A sin (wt + j).

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания

 

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием упругой силы F

 

Тогда полная энергия гармонических колебаний

 

 

Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описываемые уравнением вида: х¢¢ + w²х =0

Примерами гармонического осциллятора является пружинный, физический и математические маятники.

Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на упругой пружине и совершающей гармонические колебания под действием упругой силы

	F = - kx, где k - жесткость пружины   период колебаний пружинного маятника Потенциальная энергия пружинного маятника
	Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания, вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тяжести. - период колебаний физического маятника. где J - момент инерции, l- расстояние между точкой подвеса и центром тяжести   - приведенная длина физического маятника

Тогда

Математический маятник – система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой, невесомой нити и колеблющаяся под действием силы F_m.. Момент инерции математического маятника

J = ml^2, где l – длина маятника. . период колебаний математического маятника Если L = l, то периоды колебаний одинаковы. Следовательно, приведенная длина физического маятника – эта длина такого математического

маятника,период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Колеблющееся тело может участвовать в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, т.е. колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты.

х₁ = A₁ соs (wt + j₁)

х₂ = A₂ cos (wt + j₂)

Тогда уравнение результирующегоколебания

х = х₁ + х₂ = A соs (wt + j)

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает так же гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (j₂ - j₁) складываемых колебаний.

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называется биением.

Период биений

w - разность частот складываемых колебаний.

Теперь рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимных перпендикулярных направлениях вдоль оси x и y.

Начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. х = A соs wt y = В cos (wt + j) Сложив эти два уравнения и сделав преобразования, получим:

 

- уравнение эллипса

Так, как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания сложная.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно – перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Фигуры Лиссажу

Рассмотрим свободные затухающие колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии колебательной системой с течением времени уменьшается. Уменьшение энергии происходит вследствие трения в механических колеба-тельных системах и превращение её в теплоту (пружинный маятник).

 

здесь d = const, - коэффициент затухания.

где r – коэффициент сопротивления.

Решением уравнения в случае малых затуханий (d² << w²) является

х = А₀е^-dt cos (wt+j)

где А = А₀е^-dt – амплитуда затухающих колебаний

А₀ – начальная амплитуда.

Промежуток времени, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

 

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и к ним не применимо понятие периода или частоты. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода – как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины.

Тогда период затухающих колебаний

 

Если А(t) и А(t+T) - амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то отношение

- декремент затухания, а его логарифм

- логарифмический декремент затухания

N _e – число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз.

Чтобы получить в реальной колебательной системе незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии.

В случае механических колебаний нужна внешняя вынуждающая сила F = F₀ coswt. Тогда уравнение вынужденных колебаний

где

Решение уравнения равно сумме решения однородного уравнения и частного решения

 

 

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими колебаниями Рассмотрим зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты w. Амплитуда вынужденных колебаний определяется по формуле: .

Чтобы определить резонансную частоту w_рез – частоту, при которой амплитуда достигает максимума – нужно найти максимальную функцию или минимальную подкоренного выражения. Продифференцировав подкоренное выражение по частоте, получим:

w_рез =

 

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте называют резонансом.

При d² << w₀², значение резонансной частоты w_рез совпадает с w_0, тогда

 

 

Тема 7. Механические волны

Процесс распространения колебаний в среде называется волновым процессом или волной.

Основное свойство всех волн – перенос энергии без переноса вещества.

Волны бывают продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В поперечных волнах – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Продольные волны возникают при деформации сжатия и растяжения, поперечные волны возникают при деформации сдвига.

Волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Гармоническая поперечная волна

Этот график похож на график гармонических колебаний, но они различны по существу. График волны дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени, а график колебаний – дает зависимость смещения данной частицы от времени.

Расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе называют длиной волны - l - [ м ]

 

Скорость распространения волн тем меньше, чем больше её плотность - r.

Скорость продольной волны: Скорость поперечной волны:

 

 

где Е - модуль упругости или модуль Юнга; s - модуль сдвига.

® u Пусть в точке В находится источник колеба-

l ний. Волны от источника колебания распро-

страняются вдоль прямой.

Уравнение колебаний точки В задано

х_В = Аsinwt = Аsin2pn

Точка С повторяет колебания точки В с некоторым запозданием. Тогда уравнение точки С х_С = Аsin2pn(t-t)

Точка В колеблется в течение времени t. Эти колебания дойдут до точки С через время t, поэтому время колебаний точки С – (t-t). Расстояние от точки В до точки С, равное l, волна проходит со скоростью

Отсюда

Тогда х = А sin2pn (t - l/u) или учитывая, что

- уравнение бегущей волны.

 

Бегущими называются волны, которые переносят в пространстве энергию.

Существуют еще стоячие волны – волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Волны, распространяющиеся в любой среде и имеющие частоту в пределах от 16-20 до 20000 Гц, называются звуковыми волнами, которые воспринимает человеческое ухо.

Волны с частотой n< 16 Гц – инфразвуки, а с частотой n >20 кГц – ультразвуки.

Основными характеристиками звука являются высота, сила (интенсивность) и тембр звука.

Высота звука определяется частотой колебаний. Чем больше частота колебаний, тем выше звук.

Силой (интенсивностью) звука называется величина, определяемая энергией, переносимой звуковой волной в единицу времени сквозь единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.

 

Сила звука – энергетическая характеристика звуковой волны и мы субъективно оцениваем как громкость звука.

Для каждой частоты колебаний существует наименьшая - порог слышимости и наибольшая – порог болевого ощущения интенсивность звука, которая способна вызвать звуковое восприятие. Область между этими двумя порогами – область слышимости.

Тембр звука – оттенок или окраска звуковых колебаний.