Определение момента инерции тел методом колебаний. Теорема Штейнера

Цель работы – изучение крутильных колебаний вращающегося стола при разной массе системы и пружинах различной упругости

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль

ЛКМ-3 с вращающимся столом, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 45 см (красная), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), нижний ролик на стойке с двумя осями, две пружины с балками, измерительная линейка.

 

Краткая теория

 

При вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси, по окружности, центр которой лежит на оси. Линейная скорость точки тела v связана с угловой скоростью тела.

, (1)

где r – расстояние от точки тела до оси вращения.

Кинетическая энергия тела равна сумме кинетических энергий всех частиц тела:

, (2)

где - элементарные массы, на которые мысленно разбито тело. Подставляя скорость v_i из формулы (1) в (2), получим

(3)

Величина (4)

называется моментом инерции тела. Момент инерции характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела.

Выражение для кинетической энергии вращающегося тела вокруг неподвижной оси, исходя из формул (3) и (4), выглядит следующим образом:

.

Для вычисления моментов инерции различных тел массу в формуле (4) выражают через плотность тела: = ρ Δ V_i, где Δ V_i – элементарный объем тела, и переходят к пределу ΔVi → 0. Тогда получим

. (6)

 

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции тела I_с относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции I этого тела относительно другой оси, параллельной первой.

,

где m – масса тела, а – расстояние между осями.

В настоящей работе измеряется момент инерции различных тел с помощью крутильного маятника. Этот маятник состоит из горизонтально расположенного поворотного стола, на котором могут закрепляться различные тела. На оси поворотного стола закреплен шкив радиусом R, с помощью которого столу может сообщаться вращательное движение. Через шкив перекинута нить, к концам которой прикреплены две пружины (рис. 1) c коэффициентами жесткости k ₁ и k ₂.

Рис. 1. Крутильный маятник

В положении равновесия силы натяжения нити по разные стороны от шкива одинаковы и равны упругим силам, которые согласно закону Гука

(F _упр ) ₀ = k ₁ x ₀₁ = k ₂ x ₀₂, (8)

где x₀₁ и x₀₂ - величины растяжения пружин.

При отклонении от положения равновесия поворотный стол совершает колебания под действием сил упругости двух пружин. Величина деформации одной пружины x₁ = x₀₁ + х, где х – отклонение от равновесного положения. Если нить нерастяжимая, то величина деформации другой пружины

х₂ = х ₀₂ – х.

Запишем выражение для потенциальной энергии деформации пружин следующим образом:

(x ₀₁ + x)² (9)

(x ₀₂ - x)² (10)

Если пренебрегать силами трения, то согласно закону сохранения механической энергии, полная механическая энергия, т. е. сумма кинетических и потенциальных энергий,

 

(x ₀₁ + x)² + (x ₀₂ - x)² (11)

 

не зависит от времени. Значит, .

Вычисляя производную от выражения (11) по времени, получим

(12)

Если нить не проскальзывает по шкиву поворотного стола, то

х = R j,

где j - угол поворота стола от положения равновесия; . Учитывая условие равновесия (8) и определение угловой скорости получим из уравнения (12)

(13)

 

Обозначим и

– суммарный коэффициент жесткости двух пружин. Тогда уравнение (13) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний

. (14)

Решение этого уравнения:

j(t) = A cos(ω_о t + α), (15)

 

где А – амплитуда колебаний, ω_о - циклическая частота колебаний,

α - начальная фаза колебаний.

Период колебаний

(16)

.

 

В данной работе находится момент инерции. Из формулы (16) следует

. ( 1 7)

Описание установки

Поворотный стол, смонтированный на модуле ЛКМ-3, снабжен датчиком вращения, который фиксирует повороты стола на один и более оборотов. Шкив стола 15 имеет диаметр 50 мм.

Две пружины закрепляются на осях нижнего блока 12 и прикрепляются к концам нити, перекинутой через шкив 15 (рис. 2). Таким образом, поворотный стол может совершать крутильные колебания вокруг своей оси под действием сил упругости пружин. Период колебаний зависит от упругости пружин k,момента инерции стола I и радиуса шкива R. На столе можно укреплять различные предметы и по периоду крутильных колебаний T определять момент инерции системы.

 

 

Рис. 2. Крутильный маятник на модуле ЛКМ-3

Порядок выполнения работы

Задание I. Определение коэффициента упругости пружин

 

1. Подвесьте пружины с помощью балки 17 на оси блока 13 и закрепите на другом конце пружин груз т ₁(см. рис. 2).

2. Измерьте линейкой расстояние x ₁от основания стойки до нижнего края груза.

3. Измените массу груза на величину Δ m и измерьте новое расстояние х ₂. Данные занесите в табл. 1. Рассчитайте коэффициент упругости пары пружин по формуле

(18)

 

где g = 9,81 м/с – ускорение свободного падения.

4. Повторите измерения несколько раз. Рассчитайте среднее значение k _пар . Данные занесите в табл. 1.

 

Таблица 1

№ п/п	т 1	m 2	= т 1– m 2, кг	x 1	х 2	Δ х = х 2 – х 1, м	k пар, Н/м
…
Среднее	–	―		-	-

Задание II. Определение момента инерции методом

крутильных колебаний

1. Подготовьте измерительную систему ИСМ-1 к работе: подключите датчик угла поворота стола блока к разъему №1на задней стенке прибора, переключатель 1 поставьте в положение «К1», переключатель 4 – в положение «2», переключатель 5 – в положение «цикл», переключатель 8 – в положение «+» или переключатель 9 – в среднее положение. Включите питание модуля.

2. Накрутите нить (1,5 оборота) на шкив стола, диаметр которого D = 50мм (рис. 3), прикрепите к концам нити пружины. Закрепите пружины на осях 12 нижнего блока стойки 10.

3. Поверните стол так, чтобы в свободном положении указатель угла поворота стола находился вблизи нулевого деления шкалы 16.

4.
Нажмите кнопку 7 «готов» и приведите стол в колебательное движение с амплитудой 40 – 60 градусов.

Рис.3. Определение момента инерции маятника

 

5. Считайте с индикатора время одного полного колебания T.

6. Рассчитайте момент инерции ненагруженного стола по формуле

(19)

 

где R – радиус шкива стола (R=D/ 2), k _пар – коэффициент упругости двух пружин, соединенных параллельно. Данные занесите в табл. 2. Повторите измерения 5 – 7 раз.

Таблица 2

 

№ п/п	Т (c)	I o,кг м^2
…
среднее

Задание III. Проверка теоремы Штейнера

1. Поместите в центре стола два цилиндрических груза 18 массой т _цпо 500 г один над другим (точная масса грузов выгравирована на нижнем торце грузов). Повторите измерения момента инерции системы I _сис (по п. 3 – 6 в задании II).

2. Рассчитайте момент инерции цилиндров по формуле

I _ц = I _сис – I _о, (21)

где I ₀ - момент инерции не нагруженного стола, измеренный в задании II.

3. Рассчитайте теоретический момент инерции цилиндров I _теор относительно оси цилиндров по формуле

(22)

где т _ц – суммарная масса цилиндров, R _ц – радиус цилиндров

(R _ц = 24 мм). Данные занесите в табл. 3.

4. Переместите цилиндры на одинаковое расстояние Δ х относительно оси вращения (шаг отверстий на вращающемся столе Δ х =20мм).Измерьте период колебаний m ₂ системы, соответствующий новому положению цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

 

Таблица 3

 

№ п/п	Δ х	Δ х ^2	T сис	T сис^2	т ц = т 1+ m 2	I сис	I о	I теор
…

 

5. Рассчитайте момент инерции системы I _сис по формуле

(23)

 

где k _пар – коэффициент упругости пары пружин (см. задание I),

R –- радиус шкива стола.

6. Рассчитайте теоретический момент инерции системы по формуле

 

где I₀ – момент инерции не нагруженного стола (см. задание II), т _ц – суммарная масса цилиндров, R _ц – радиус цилиндров

(R _ц = 24 мм).

7. Повторите измерения и расчеты по п. 1– 6 для всех положений цилиндров. Данные занесите в табл. 3.

8. Постройте график зависимости момента инерции I _сиси I _теор от квадрата расстояния от оси вращения до центра грузов Δ х ².

Контрольные вопросы

1. Дайте определение динамических характеристик вращательного движения: момента силы – М, момента инерции – I, момента импульса – L.

2. Запишите аналитические выражения для момента инерции частицы и твердого тела. Как производится расчет момента инерции обруча, стержня, диска?

3. В чем состоит суть теоремы Штейнера?

4. Получите основное уравнение динамики вращательного движения.

5. Получите уравнение колебаний крутильного маятника.

6. Как рассчитать период колебаний крутильного маятника?

 

Задания для отчета по лабораторной работе

 

1. Однородный диск массой m = 3 кг и радиусом R = 20 см скреплен с тонким стержнем, другой конец которого закреплен неподвижно (рис.4). Коэффициент кручения стержня (отношение приложенного вращающего момента к углу закручивания)

k = 6 Н∙м/рад. Определить частоту ω малых крутильных колебаний.

2. По данным предыдущей задачи определить амплитуду α _m и начальную фазу φ колебаний, если в начальный момент

α = 0,06 рад, w = 0,8 рад/с.

3. Два диска могут вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. Радиус дисков R одинаков и равен 0,5 м. Массы дисков равны m ₁ = 0,1 кг и m ₂ = 3 кг. Диски соединены пружиной, у которой коэффициент пропорциональности между возникающим вращающим моментом и углом закручивания равен k = 5,92 Н м /рад. Диски поворачивают в противоположные стороны и отпускают. Чему равен период T крутильных колебаний дисков?

4. По диаметру горизонтального диска может перемещаться, без трения по направляющему стержню небольшая муфта массой m = 0,1 кг. Муфта «привязана» к концу стержня с помощью невесомой пружины, жесткость которой k = 10 Н/м (рис. 5). Если пружина не деформирована, муфта находится в центре диска. Найти частоту ω малых колебаний муфты в том случае, если диск вращается вокруг своей оси с угловой скоростью, равной 6 рад/с.

 

 

Рис. 4 (к задаче 1) Рис. 5 (к задаче 4)

 

5. Сплошной однородный цилиндр массой m совершает малые колебания под действием двух пружин, суммарная жесткость которых равна k (рис. 6). Найти период этих колебаний в отсутствии скольжения.

6. Определить момент инерции системы, состоящей из четырех точечных масс m, расположенных по вершинам квадрата со стороной a, относительно оси, лежащей в плоскости квадрата и совпадающей с его диагональю.

7. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции системы точек относительно оси, проходящей через центр квадрата перпендикулярно его плоскости.

8. Определите момент инерции медного диска радиусом

R = 5 см, в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусами r = 2 см. Центры вырезов находятся на прямой, проходящей через центр диска на расстоянии l = 2,5 см от него (рис.7). Толщина диска h = 0,1 см. Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости.

 

 

 

Рис. 6 (к задаче 5) Рис.7 (к задаче 8)

 

9. По условиям предыдущей задачи определить момент инерции диска относительно оси, проходящей через центры вырезов.

10. Плотность цилиндра длиной l – 0,1 м и радиусом

R = 0,05 м изменяется с расстоянием от оси линейно от значения

ρ₁ = 500 кг/м³ до значения ρ₂ = 1500 кг/м³. Найти момент инерции цилиндра относительно оси цилиндра.

7. Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов с помощью теоремы Штейнера. Масса стержня m, длина l.

8. По данным предыдущей задачи найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из концов.

9. Найти момент инерции диска массой m, радиусом R относительно оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно плоскости диска. Применить теорему Штейнера.

10. Определить момент инерции шара массой m = 2 кг радиусом R = 10 см относительно оси, проходящей через середину радиуса, используя теорему Штейнера.

11. По данным предыдущей задачи определить момент инерции шара, подвешенного на нити длиной l = 10 см относительно точки подвеса.

12. Два шара с массами m ₁ = 1 кг и m ₂ = 2 кг насажены на гладкий горизонтальный стержень (рис. 8). Шары соединены между собой пружиной с жесткостью k = 24 Н/м. Левому шару сообщили начальную скорость v ₁ = 12 см/с. Найти частоту колебаний системы.

13. По данным предыдущей задачи найти энергию колебаний.

14. По данным предыдущей задачи найти амплитуду колебаний системы.

15. Найти циклическую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массой m и длиной l вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 9). Жесткость пружины k. В положении равновесия стержень вертикален

 

 

Рис. 8 (к задаче 12) Рис. 9 (к задаче 15)

 

Лабораторная работа № 7