Определение момента инерции и проверка теоремы Штейнера методом крутильных колебаний

Цель работы: методом крутильных колебаний определить момент инерции тел, проверить теорему Штейнера.

Теоретический материал.

Вращательное движение твердого тела. Момент силы, момент инерции. Теорема Штейнера. Момент импульса твердого тела относительно оси. Уравнение движения твердого тела. Уравнение моментов. Системы материальных точек и момент сил, которые действуют на систему материальных точек. Потенциальная и кинетическая энергии. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Закон сохранения энергии. Консервативные и дисипативні системы. О законах сохранения и неконсервативные системы. Гармонические колебания. Амплитуда, период, частота.

а) б) рис. 1

Момент инерции тела сложной формы можно измерить методом трифілярного подвеса. Трифілярний подвес представляет собой круглую плоскую платформу, подвешенную на трех, симметрично расположенных металлических нитях (см. рис. 1). Радиус платформы . Верхние концы нитей прикреплены к диску меньшего радиуса . Трифілярний подвес крепится на специальном кронштейне, вмонтированному в стенку.

Платформа может делать крутильные колебания возле вертикальной оси, которая проходит через центры верхнего и нижнего дисков. Колебания возбуждаются поворотом верхнего диска с помощью шнура, связанного с ним и переброшенного через блок.

При крутильных колебаниях платформы центр масс ее перемещается вдоль оси обращения. Если работа сил, которые приводят к потерям энергии имела в сравнимые с энергией запасенной в системе, то можно считать, что механическая энергия сохраняется, а колебание являются незатухающими (это первое предположение, на котором базируются дальнейшие расчеты). На рис.1 представленные две позиции платформы.

Позиция а. Платформа проходит через положение равновесия. Механическая энергия есть чисто кинетической:

,

где: - момент инерции платформы (свободной или нагруженной), - угловая скорость в рассмотренный момент времени.

Позиция б. Платформа возвратила на угол j, при этом центр масс поднялся на высоту , часть кинетической энергии перешла в потенциальную , где - масса платформы (нагруженной и свободной).

Полная механическая энергия системы определяется соотношением:

(1)

Обратимся теперь к методике определения момента инерции тела. Крайне редко экспериментатор имеет возможность провести прямые измерения необходимой величины. Обычно результат получают путем косвенных измерений. Таким образом, задачи сводится к установлению связи момента инерции с величинами, непосредственно измеренными на опыте. Очевидно, что в нашем случае это масса, время, геометрические характеристики системы: радиусы платформы - , и длины нитей - .

Установим связь между высотой и углом поворота платформы. Из рис.1 видно, что:

или (2)

Используя теорему Пифагора находим (см. рис.1а):

 

(3)

Теорема косинусов разрешает найти :

 

(4)

Подставляя выражение (3) и (4) в (2) после элементарных преобразований имеем:

(5)

Принимая во внимание неровности: имеем:

.

Таким образом, формула (5) принимает вид:

(6)

Для простоты расчетов будем считать колебание малыми, т.е. (второе предположение). Несложно убедиться, что при равенство и выполняется с погрешностью в Поэтому при выполнении работы рекомендуют возбуждать колебание с амплитудой не превышающих нескольких угловых градусов. С учетом выше сказанного (6) принимает вид:

(7)

Полная механическая энергия с учетом (1) определяется соотношением:

 

(8)

Соответственно первому допущению , итак, производная за временем выражение (8) равняется 0, т.е.:

 

.

Возьмем во внимание известные кинематические соотношения:

после простых преобразований получаем:

(9)

Уравнение (9) є линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка, решением которого является функция:

(10)

где: - амплитуда колебаний, - начальная фаза, W - циклическая частота колебаний. Путем подстановки (10) в (9) легко убедиться, что функция (10) тождественно удовлетворяет уравнению (9) при условии равенства:

(11)

Циклическая частота колебаний (связанная с периодом соотношением:

(12)

Учитывая (12) с (11) получаем:

(13)

Формула (13) устанавливает связь между моментом инерции платформы, периодом ее колебания, массой платформы и геометрических параметров системы. Поэтому формулу (13) следует рассматривать как рабочую.

Порядок выполнения работы.

1. Возбудите малые колебания пустой платформы. Определите ее момент инерции , используя формулу (13). С помощью секундомера проведите измерения времени 50-100 полных колебаний, который дает возможность довольно точно определить величину периода . Необходимые величины , а также масса платформы указанные в приложении к установке.

2. Положите на платформу тело, момент инерции которого нужно определить. Если тело имеет осевую симметрию, необходимо установить тело так, чтобы ось вращения проходила через его центр масс. Измерения проводятся соответственно пункту 1. Однако в формулу (13) подставляется суммарная масса тела и платформы. Поскольку момент инерции является аддитивной величиной, момент инерции тела :

(14)

Проведите измерения (по предложению преподавателя) момента инерции тела, которое имеет осевую симметрию. Сопоставьте результаты измерений с расчетами. Следует учесть, что

3. Выше уже упоминалась о возможностях измерения момента инерции тела произвольной формы относительно любой оси, в том числе и относительно оси, которая проходит через центр масс. Поскольку положение последнего точно не известно, поступают таким образом. Проводят измерения периода колебания системы при разных положениях тела. В конечном итоге нужно найти такое положение, которому отвечает минимальный период. Определенный таким образом момент инерции будет отвечать моменту инерции относительно оси проходящей через центр масс (Чему?).

Проверка теоремы Штейнера. Теорему Штейнера проверяют, пользуясь двумя одинаковыми телами. Для этого следует проделать следующий цикл измерений:

Определите момент инерции одного тела , установленного таким образом, чтобы ось вращения проходила через его центр масс. (рис.2а). Установить два тела на расстоянии от оси вращения соответственно чертам. 2б. Если момент инерции системы, то момент инерции каждого из тел относительно оси, не проходит через центр масс будет равнять:

(15)

Сравните полученное значение с вычисленным соответственно теореме Штейнера:

(16)

где: - масса тела.

В предотвращении перекосов тела следует располагать на платформе строго симметрично, для чего на платформе нанесенные концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга.

Погрешности измерений. Вид формулы (13) разрешает сразу записать выражение для относительной погрешности момента инерции в виде:

(17)

Однако следует иметь в виду то, что момент инерции тела определяется как разность результатов измерений при нагруженной и свободной платформе : .

Учитывая то, что ошибки могут только накапливаться, можно оценить погрешность в определении в такой способ:

(18)

Как видно из (18) результат будет зависеть от соотношения между и . Так, например, при погрешность при определении может оказаться в 20 раз большей, чем при определении величин и . Действительно, ведь . Таким образом, при измерении моментов инерции тел заметно меньших величины можно столкнуть с ошибками, которые превышают величину .

Принимая во внимание сказанное выше, самостоятельно проведите оценки погрешностей измерений , , . Проанализируйте результаты экспериментов.

Контрольные вопросы:

1. Какая величина называется моментом инерции тела? Какую роль играет момент инерции в динамике вращательного движения?

2. Сформулируйте и доведите теорему Штейнера.

3. В чем заключается метод трифилярного подвеса? Применение каких законов разрешает получить формулу для расчета момента инерции тел в данной работе? Получите формулу для расчета момента инерции.

4. Момент каких сил создает крутильные колебания системы? Учитывается ли в работе изменение силы натяжения нити в процессе колебаний?

5. Как изменяется период крутильных колебаний при изменении массы нижней платформы? Какое условие должна быть выполненная, чтобы колебания были гармоническими?

6. Каким образом, не изменяя массы груза на платформе, изменить период крутильных колебаний? Которое с найденных значений периодов отвечает такому положению тела на платформе, при котором ось вращения проходит через его центр масс?

7. Укажите возможные ошибки эксперимента.

Литература:

1. Физический практикум под редакцией В.И. Ивероновой. Механика и молекулярная физика, -М., 1967.

2. А.Н.Матвеев. Механика и теория относительности, -М., 1976, §43, 50.

3. Д.В. Сивухин. Общий курс физики, т.I, -М., §35, 36, 42.

4. С.Э. Хайкин. Физические основы механики, -М., 1975, §59-6I, 64.

 

 

Лабораторная работа №10