При помощи маятника Обербека

Цель работы: экспериментальным путем определить момент инерции системы; сравнить полученный результат с теоретическим значением с целью проверки основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела.

 

Теоретический материал.

Вращательное движение твердого тела. Момент силы, момент инерции. Теорема Штейнера. Уравнение движения тела. Второй закон Ньютона. Угловая скорость и. ускорение. Векторы угловой скорости и ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Связь тангенциального ускорения с угловым.

 

В работе изучается динамика вращательного движения. В частности, экспериментально проверяется уравнение моментов для вращения вокруг неподвижной оси

, (1)

где ‑ момент инерции тела; ‑ угловое ускорение; ‑ сумма проекций на ось вращения моментов внешних сил.

Рис.1.

На рис. 1 схематично показан прибор, с помощью которого удобно исследовать уравнение (1). Он называется маятником Обербека. Четыре спицы закреплены на втулке под прямым углом. На спицах находятся грузы массой каждый. Втулка и два шкива радиусами и насажены на общую ось. Ось закреплена в подшипниках, так что вся система может вращаться вокруг горизонтальной оси. Передвигая грузы по спицам, можно легко изменять момент инерции тела. На шкив намотана нить, к которой привязана платформа известной массы. На платформу ложится груз, нить натягивается и создает вращающий момент

 

(2)

где ‑ сила натяжения нити, ‑ радиус шкива ( равняется или ). Силу можно найти из уравнения движения платформы с грузом:

 

(3)

где ‑ масса платформы с грузом, ‑ ее ускорение. Ускорение связано с угловым ускорением в случае отсутствия проскальзывания нити соотношением

(4)

Из уравнений (2) и (3) получаем, что момент силы натяжения нити

(5)

Кроме того, на маятник действует момент силы трения в оси . С учетом этого уравнение (1) имеет вид

(6)

В уравнение (6) входит ускорение платформы. Это ускорение можно довольно просто определить.

Действительно, измеряя время , на протяжении которого платформа с грузом опускается на расстояние , можно найти ускорение :

(7)

Тогда

(8)

Формула (8) дает связь между ускорением , которое можно измерить опытным путем, и моментом инерции . В формулу (8) входит неизвестная величина ‑ момент силы трения . Хотя интуитивно понятно, что момент силы трения мал, тем не менее он не настолько мал, чтобы им в (8) можно было полностью пренебречь. Если положить , то можно убедиться, что результаты опыта будут отличаться от зависимости (8). Можно по порядку величины экспериментально определить и это нужно, конечно, сделать в начале работы. Для этого, с помощью нескольких грузов увеличивая силы натяжения нити, найдите минимальное значение массы , при которой маятник начнет вращаться. Дальнейшие измерения нужно проводить с грузами массой . На первый взгляд относительную роль момента силы трения можно уменьшить, если взять грузы массой , допустим, груз . Однако это не так по двум причинам. Первая ‑ увеличение массы груза приводит к увеличению силы давления на ось, а значит и к росту момента силы трения , где - коэффициент трения, - плечо силы трения. Вторая причина заключается в том, что увеличение уменьшает время падения , а значит, ухудшает точность измерения ускорения [см. (8)].

Момент инерции, который входит в (8), в соответствии с теоремой Гюйгенса-Штейнера, может быть записан в виде

. (9)

Здесь ‑ расстояние центров грузов от оси вращения, , т.е. равняется моменту инерции системы при .

В (8) входит также отношение

В условиях опыта оно меньше или порядка (убедитесь в этом!). Пренебрегая этой величиной в выражении (8), получаем формулу, которую можно проверить экспериментально:

(10)

 

Измерение. Представляет интерес экспериментально исследовать две зависимости.

Первая ‑ зависимость углового ускорения от момента внешней силы при условии, что момент инерции остается постоянным.

Если на оси ординат откладывать угловое ускорение , а на оси абсцисс - , то. согласно (10), экспериментальные точки должны размещаться на прямой. Из (10) видно, что наклон этой прямой равняется , а точка сечения с осью абсцисс дает .

Если экспериментальные данные подтверждают линейную зависимость от , то можно приступить к изучению второй зависимости - зависимости момента инерции от расстояния грузов к оси вращения маятника (рис. 1).

Соответственно теореме Гюйгенса-Штейнера.

 

.

Выясним, как проверить эту зависимость экспериментально. Для этого превратим соотношение (10), пренебрегая в нем малой величиной (моментом силы трения ) в сравнении с моментом . Из (10) имеем

.

Итак,

 

. (11)

Из (11) понятно, как экспериментально проверить зависимость (11): нужно, выбрав постоянную массу груза, измерять ускорение при различных положениях грузов на спицах. Результаты измерений удобно изобразить в виде точек на координатной плоскости , где , .

Если экспериментальные точки в пределах точности измерений ложатся на прямую, то это подтверждает зависимость (11), а значит, и формулу

Отметим, что при выведеннии формулы (11) мы презрели моментом сил трения, т.е. считали, что . Значение получено из графика зависимости при . Это и разрешает выбрать массу перегрузки так, чтобы неравенство сознательно выполнялась.

Роль момента сил трения можно оценить и иначе. Для этого заметим, что если маятник в начальный момент вращается с угловой скоростью , то к моменту остановки он повернется на угол , который можно определить из соотношения

 

, (12)

где - начальная кинетическая энергия вращающегося маятника, - работа сил трения. В (12) предполагается, что момент сил трения является постоянной величиной и связан с угловым ускорением соотношением

, (13)

где - ускорения, которые определяются только моментом сил трения.

С (12) и (13) находим

. (14)

Пусть - полное число оборотов, которое делает маятник до остановки, а - период вращения маятника в начале движения. Тогда , и с (14) получаем

 

(15)

Отсюда видно, как на опыте определить : нужно измерить время , за которое происходит первый оборот, и полное число оборотов маятника к остановке. Во всех дальнейших измерениях нужно следить, чтобы выполнялась неравенство .

Задача

1. Сбалансируйте маятник. Для этого оставьте на крестовине два груза на двух противоположных спицах на равных расстояниях от оси вращения. Спицы, на которых находятся грузы, соединенные со втулкой резьбой. Оборачивая спицы в резьбе, добейтесь равновесия. Потом точно сбалансируйте грузы на второй паре спиц на таком же расстоянии от оси вращения.

Полезно несколько раз привести маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться. Подумайте, как на основании этих опытов определить, хорошо ли сбалансирован маятник.

2. Определите приблизительно минимальную массу , при которой маятник начинает вращаться, и оцените момент сил трения из соотношение

 

,

где - радиус шкива, на котором подвешенный груз .

3. Оцените ускорение , которое возникает под действием момента сил трения. Для этого приведите маятник во вращение, измерьте время за который он делает первый оборот, и полное число оборотов маятника до полной остановки. Потом по формуле (15) вычислите . Измерения повторите три раза и сравните соответствующие им значение .

4. Определите экспериментально зависимость углового ускорения маятника от момента приложенной силы . В этой серии измерений момент инерции маятника должен оставаться постоянным: .

Для определения зависимости измерьте время за которое груз опускается на расстояние . Измерение времени для каждого груза при постоянном значении повторите три раза. Потом найдите среднее значение времени падения груза по формуле

и определить среднее ускорение груза с соотношение (7):

Эти измерения и вычисления повторите для пяти значений массы груза, причем для всех должна выполняться неровность .

Результаты измерений запишите в табл. 1.

Таблица 1.

 

 

1. Величина определяется с соотношение:

.

2. Угловое ускорение находится за формулой .

3. определяется точностью, с которой вымеренная масса грузов .

Полученные экспериментально точки отложите в координатной плоскости , и по ним постройте график зависимости (рис. 2а).

5. Проверьте экспериментально зависимость (11). Для этого, взяв постоянную массу груза , определите ускорение груза при пятерых разных положениях на спицах грузов .

Рис.2.

В каждом положении измерения времени падения груза из высоты повторите три раза. Результаты измерений занесите в табл. 2, где , , определяются так же, как в табл. 1.

Полученные экспериментальные точки нанесите с учетом погрешностей в координатной плоскости , и постройте график зависимости (рис. 2, б).

 

Таблица 2

 

Контрольные вопросы:

1. Выведите основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг недвижимой оси. Между какими величинами устанавливается связь в этом уравнении?

2. Что называют моментом силы? Как направленный момент силы? Чему равняется его величина? Что такое плечо силы? Моменты каких сил действуют на систему в данной работе? Как в работе определяется момент силы трения?

3. Что такое момент инерции? Каково его физическое содержание? Запишите основное уравнение динамики вращательного движения относительно системы, рассмотренной в работе.

4. Как определить силу натяжения нити, на которой подвешен груз? Изменится ли сила натяжения, если маятник вместе с грузом затормозить?

5. При каком условии по ускорению груза, подвешенного на нити, можно определить угловое ускорение системы?

6. Сформулируйте и докажите теорему Штейнера. Применяя теорему Штейнера, выведите расчетную формулу для момента инерции системы.

7. Укажите возможные ошибки эксперимента.

 

Литература:

1. Руководство к лабораторным занятиям по физике под редакцией Л.Л. Гольдина, -М.: Наука, 1973.

2. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Механика, т.I, -M., Наука. 1974. гл. II. §11. гл. V §30, 32, 33.35.

3. И.В. Савельев. Курс общей физики, т. I, Механика, колебания и волны, молекулярная физика. Наука, 1973. §18, 19, 36, 37.

4. С.П. Стрелков. Механика, Наука. 1965, §52, 59.

5. С.Э. Хайкин, Физические основы механики, "Наука", 1971. §49-52, 67, 68.

 

Лабораторная работа № 7