Физический и математический маятники

 

Физическим маятником называется абсолютно твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.

На рисунке 33.1 изображено произвольное тело массой , колеблющееся вокруг оси (ось перпендикулярна плоскости чертежа); – центр масс; – плечо силы тяжести.

 

 

 

Рис. 33.1

 

Пусть ось вращения (качания) маятника является осью декартовой системы координат с началом в точке . Свяжем положительное направление оси с положительным направлением отсчета угла поворота правилом правого винта. (Примем направление отсчета угла против часовой стрелки за положительное.) Тогда ось будет направлена ’’к нам’’.

Если силами трения в подвесе маятника можно пренебречь, то момент относительно оси создает только его сила тяжести . Под действием этой силы при отклонении маятника на угол в положительном направлении возникает вращательный момент этой силы относительно точки

,

направленный в противоположную оси сторону. Тогда проекция вектора на ось

 

(33.1)

С другой стороны, согласно основному уравнению динамики вращения твердого тела

(33.2)

Так как , то (33.2) можно переписать в виде

где – момент инерции маятника относительно оси качания .

При малых колебаниях маятника , и уравнение (33.2) принимает вид дифференциального уравнения гармонических колебаний,

решение которого имеет вид

(33.3)

где – собственная частота колебаний физического маятника, зависящая, как видно из приведенной формулы, от массы, момента инерции тела и расстояния между осью вращения и центром масс. В соответствии с формулами (28.2) и (33.3) период колебаний физического маятника определяется выражением

(33.4)

Математический маятником называется материальная точка (частица), подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити (длиной ) и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, так что , .

Период колебаний математического маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения:

Возвращающей силой в этом случае является проекция силы тяжести на направление движения (). Для постоянства коэффициента , а следовательно, и частоты колебаний , необходимо постоянство длины нити . Между тем составляющая силы тяжести , действующая вдоль нити, может вызывать ее удлинение, которое будет минимальным в крайних положениях и максимальным при прохождении тела через положение равновесия. Поэтому для того чтобы колебания маятника были гармоническими, необходимо, кроме малости углов отклонения, дополнительно еще и условие нерастяжимости нити.

Пример 33.1. Диск радиусом см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить период колебаний такого маятника.

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле (33.4),

где – момент инерции маятника относительно оси колебаний, – его масса, – расстояние от центра масс маятника до его оси колебаний.

Момент инерции диска найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера:

(33.5)

где – момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси колебаний, – расстояние между указанными осями.

Учитывая, что для диска

и по условию задачи

представим (33.5) в виде

(33.6)

Подставляя выражение (33.6) в формулу (33.4), получаем окончательно

 

Ответ: с.

 

Вопросы:

1) Какие колебания называют гармоническими? собственными?

2) Что такое смещение?

3) Дайте определение амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты.

4) Какая сила называется квазиупругой? Приведите примеры квазиупругих сил.

5) От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических колебаний?

6) Как зависит ускорение гармонических колебаний от смещения?

7) Выведите формулу для полной энергии при гармонических колебаниях.

8) Какую систему можно считать математическим маятником?

 

Лекция 10. Механические колебания (продолжение)

 

Затухающие колебания

 

Во всех реальных случаях помимо квазиупругой силы на тело действует сила сопротивления, которая обычно считается пропорциональной скорости:

где – коэффициент сопротивления.

Уравнение второго закона Ньютона при наличии силы сопротивления имеет вид

или

(34.1)

где означает первую производную смещения по времени; – частота собственных колебаний, – коэффициент затухания. Уравнение (34.1) является дифференциальным. Его решение при не слишком сильном затухании имеет вид

(34.2)

где

Из выражения (34.2) видно, что амплитуда колебаний не является постоянной величиной, а уменьшается со временем по экспоненциальному закону:

(34.3)

где – начальная амплитуда колебаний.

 

Рис. 34.1.

 

Следовательно, колебания при наличии силы сопротивления не являются гармоническими. Такие колебания называются затухающими. Постоянная величина называется круговой частотой затухающих колебаний. Величина является круговой частотой колебаний в отсутствие сопротивления среды () и называется собственной частотой колебаний. За счет работы силы сопротивления механическая энергия в процессе колебаний непрерывно уменьшается, переходя во внутреннюю энергию. Соответственно амплитуда колебаний уменьшается, и колебания постепенно затухают (рис. 34.1). Однако смещение принимает нулевые значения через равные промежутки времени

(34.4)

Поэтому период , определяемый формулой (34.4), и частота рассматриваются как условные период и частота затухающих колебаний.

Быстроту убывания амплитуды характеризуют величиной, называемой логарифмическим декрементом затухания

где и – значения амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период.

Воспользовавшись соотношением (34.3), получим

откуда

(34.5)

 

Пример 34.1. А мплитуда затухающих колебаний уменьшилась в раз за колебаний. Чему равен логарифмический декремент затухания ?

Решение. Логарифмический декремент затухания связан с коэффициентом затухания соотношением (34.5).

Амплитуда затухающих колебаний убывает со временем по закону

(34.6)

По условию задачи

(34.7)

Комбинируя выражения (34.6) и (34.7), получаем

(34.8)

где – время, в течение которого произошло колебаний.

Период колебаний

(34.9)

Подставляя выражения (34.9) и (34.8) в соотношение (34.5), получаем

Ответ:

 

Вынужденные колебания

 

Для поддержания колебаний в системе необходимо, чтобы действовала сила, работа которой компенсировала бы уменьшение механической энергии. Эта сила должна быть переменной, т.к. постоянная сила может только изменить положение равновесия, но не может способствовать поддержанию колебаний в системе.

Колебания, возникающие в системе под действием внешней переменной силы, называются вынужденными. Переменная сила, поддерживающая в системе незатухающие колебания, называется вынуждающей.

Рассмотрим простейший частный случай вынужденных колебаний в среде, заключающийся в том, что на систему действует сила, которая изменяется со временем по гармоническому закону:

(35.1)

где – амплитуда силы, – круговая частота изменения силы со временем.

Помимо вынуждающей силы на тело действуют квазиупругая сила и сила сопротивления. Тогда колебания будут описываться дифференциальным уравнением:

 

или

(35.2)

где

С течением времени собственные колебания в системе затухнут, следовательно, вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы.

Решение уравнения для установившихся вынужденных колебаний имеет вид:

(35.3)

где – амплитуда вынужденных колебаний, – сдвиг фаз; он представляет собой величину отставания по фазе вынужденного колебания от обусловившей его вынуждающей силы:

(35.4)

(35.5)

Из соотношений (35.4) и (35.5) следует, что амплитуда и фаза зависят от соотношения между частотой собственных колебаний и частотой вынуждающей силы . При совпадении этих частот амплитуда колебаний будет резко возрастать (рис.35.1)

Явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы, называется резонансом.

 

 

Рис.35.1

 

Резонансная амплитуда зависит от сопротивления среды, как видно из формулы (35.4). Кривой соответствует меньшее сопротивление среды, чем кривой . При , как видно из (35.5), и, соответственно, решение уравнения колебаний приобретает вид

Тогда скорость изменяется по закону

откуда видно, что скорость изменяется в фазе с вынуждающей силой.

Возрастание амплитуды при резонансе объясняется тем, что при направление вынуждающей силы все время совпадает с направлением перемещения, и, следовательно, вынуждающая сила будет непрерывно совершать положительную работу. Т.о., механическая энергия системы, а, соответственно, и амплитуда будут возрастать. При отсутствии сопротивления среды амплитуда стремится к бесконечно большим значениям. При вынуждающая сила на одних перемещениях совершает положительную работу, а на других – отрицательную, и потому амплитуда вынужденных колебаний невелика.