Скорость и ускорение при гармонических колебаниях

 

Последовательно продифференцировав формулу (29.1) по времени, получим выражения для скорости и ускорения материальной точки при гармоническом колебательном движении вдоль оси :

 

(30.1)

(30.2)

где и .

Из формулы (30.1) видно, что скорость частицы также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна . Сравнивая это выражение с (29.1), определяем, что скорость опережает координату в данный момент времени по фазе на (рис. 30.1).

Выражение (30.2) также позволяет сделать вывод, что ускорение изменяется по гармоническому закону с амплитудой . Отсюда же следует, что ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения и наоборот (рис. 30.1).

 

 

 

Рис. 30.1

 

Из сказанного выше следует, что если материальная точка совершает гармонические колебания, то справедливо уравнение

(30.3)

Методами высшей математики можно показать, что эта связь ускорения и смещения является необходимым и достаточным условием того, чтобы тело совершало гармонические колебания около положения равновесия. Следовательно, если при анализе поставленной задачи будет найдено, что , где – положительная константа, то тело будет совершать гармонические колебания около положения равновесия с циклической частотой

По второму закону Ньютона

где – проекция результирующей всех сил, действующих на тело, на ось , вдоль которой совершаются колебания. С учетом (30.3) получим

(30.4)

Из (30.4) следует, что равнодействующая всех сил, действующих на тело, совершающее гармонические колебания, прямо пропорциональна смещению и направлена в сторону, противоположную смещению. Силы, пропорциональные смещению и направленные в сторону, противоположную смещению, т.е. удовлетворяющия условию , но имеющие иную природу, чем упругие силы, называются квазиупругими. Гармонические колебания совершаются под действием упругих и квазиупругих сил.

 

Пример 30.1 Найти амплитуду гармонических колебаний частицы, если на расстояниях и от положения равновесия ее скорости равны соответственно и .

Решение. Согласно условию задачи координата частицы и ее скорость изменяются со временем по закону

(30.5)

(30.6)

Перепишем уравнения (30.5) и (30.6) в виде

(30.7)

(30.8)

Возведем выражения (30.7) и (30.8) в квадрат и сложим

 

(30.9)

Запишем выражение (30.9) для и , и :

(30.10)

Решим систему уравнений (30.10) относительно искомой амплитуды колебаний частицы.

Ответ:

 

Пример 30.2. Частица массой совершает гармонические колебания вдоль оси с частотой Гц. Амплитуда колебаний см. Определить максимальную силу , действующую на частицу.

Решение. Частица совершает гармонические колебания по закону

Согласно основному уравнению динамики, проекция на ось силы, действующей на частицу,

Проекции скорости и ускорения частицы на ось

(30.11)

С учетом выражения (30.11) получаем

откуда максимальное значение модуля силы (при )

Ответ:

 

Гармонические колебания груза на пружине

 

Рассмотрим в качестве примера систему, состоящую из шарика массы , подвешенного на пружине, массой которой можно пренебречь по сравнению с . В положении равновесия сила тяжести уравновешивается упругой силой (рис. 31.1):

, (31.1)

где – удлинение пружины. Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия координатой , причем ось направим по вертикали вниз, а точку (начало отсчета) совместим с положением равновесия шарика.

 

 

Рис. 31.1

 

Если сместить шарик в положение, характеризуемое координатой , то удлинение пружины станет равным , и проекция результирующей силы на ось примет значение

Учтя условие (31.1), получим, что

(31.2)

т.е. результирующая силы тяжести и упругой силы имеет характер квазиупругой силы.

С учетом (31.2) уравнение второго закона Ньютона для шарика примет вид:

(31.3)

где означает вторую производную смещения по времени; – собственная частота колебаний.

Таким образом, в отсутствие сил трения движение под действием квазиупругой силы описывается дифференциальным уравнением (31.3). Общее решение этого уравнения имеет вид