Длина волны. Связь длины волны со скоростью ее распространения

 

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси Все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату , колеблются в одинаковой фазе. На рис. 39.1 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными в некоторый момент времени. (Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны.)

 

 

 

Рис. 39.1

Расстояние , на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Тогда

 

(39.1)

 

где – скорость волны, – период колебаний. Длину волны можно также определить как наименьшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах. С учетом формулы (28.1)

 

(39.2)

 

Расчеты показывают, что фазовая скорость распространения продольных волн в среде

где – модуль Юнга, – плотность вещества среды, а скорость распространения поперечных колебаний

где – модуль сдвига. Из приведенных формул видно, что скорость волны определяется свойствами среды. Для твердых тел слабо зависят от температуры и давления, и поэтому скорость волны практически не зависит от этих параметров. В твердом теле возможны как поперечные, так и продольные волны, причем скорость продольных волн больше, чем поперечных, т.к. При одной и той же температуре скорость распространения продольных волн в твердом теле значительно больше скорости распространения их в газе.

Для жидкостей и особенно для газов скорость распространения продольных волн сильно зависит от температуры и давления, т.к. в этом случае величины и зависят от этих параметров.

Скорость распространения волн тем меньше, чем инертнее среда, т.е. чем больше ее плотность. С другой стороны, скорость волны имеет большее значение в более упругой среде, чем в менее упругой.

 

Звук

 

Звуковыми (акустическими) волнами (или просто звуком) называются распространяющиеся в упругой среде слабые возмущения. Возмущения считаются слабыми, если соответствующие им механические деформации среды имеют малые амплитуды. В вакууме звук не распространяется. Раздел физики, в котором изучаются звуковые колебания, называется акустикой. Источниками звука служат колеблющиеся тела.

В зависимости от интервала частот различают:

– инфразвук,

– звук.

– ультразвук.

Скорость звука зависит от упругих свойств среды. С увеличением упругости среды скорость увеличивается. Поэтому в твердых телах скорость звука значительно больше, чем в жидкостях, а в жидкостях больше, чем в газах.

Расчеты показывают, что скорость звука в газах близка по модулю к скорости теплового движения молекул. Для газов, близких к идеальным, эта величина может быть рассчитана по формуле

где – показатель адиабаты, – универсальная газовая постоянная, – абсолютная температура, – молярная масса газа.

Согласно расчетам, при температуре К и нормальном атмосферном давлении скорость звука в воздухе составляет м/c.

Скорость распространения звука зависит от температуры. В воздухе она растет с повышением температуры. В большинстве жидкостей скорость звука уменьшается с увеличением температуры. Исключением является вода.

 

Вопросы:

1) Что такое волна? Дайте определение продольной и поперечной волн.

2) В каких средах распространяются поперечные и продольные волны?

3) Что такое фронт волны? волновая поверхность?

4) Какая величина называется длиной волны?

5) От каких величин зависит скорость волны?

6) Какие волны называются звуковыми?

 

Лекция 12. Механические волны (продолжение)

 

Уравнение плоской волны

 

Уравнением волны называется выражение, которое позволяет определить смещение колеблющейся частицы упругой среды от положения равновесия как функцию ее координат и времени:

 

(41.1)

Найдем вид функции в случае плоской волны, предполагая, что колебания частиц среды носят гармонический характер (в этом случае волна называется гармонической). Пусть координатная ось совпадает с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярны оси и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение будет зависеть только от и , т.е.

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости , имеют вид

 

(41.2)

т.е. начальную фазу примем равной нулю. Заметим, что начальная фаза определяется выбором начал отсчета и . При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координат можно выбрать так, чтобы начальная фаза была равна нулю.

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению . Для того чтобы пройти путь от плоскости до плоскости , фронту волны требуется время , где – скорость движения фронта волны.

Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости, соответствующей координате , будут отставать по времени на от колебаний частиц в плоскости , т.е. будут иметь вид

(41.3)

Если волна распространяется в направлении, противоположном оси , то уравнение волны примет вид

(41.4)

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно и вид. Для этого введем величину , называемую волновым числом.

Волновое число можно также представить в виде

(41.5)

где – круговая частота колебаний.

С учетом соотношения (41.5) перепишем (41.3) в виде

(41.6)

Уравнение (41.6) называется уравнением плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении .

В общем случае, когда направление распространения волны не совпадает с осями координат, уравнение плоской гармонической волны имеет вид:

(41.7)

где – радиус–вектор, определяющий равновесное положение колеблющейся частицы в момент времени , – волновой вектор, направленный по нормали к волновой поверхности в сторону распространения волны и равный по модулю

Выразим скалярное произведение () через компоненты векторов по координатным осям:

.

Тогда (41.7) можно представить в виде

 

(41.8)

 

Фазовая скорость

 

Фазовой скосростью называют скорость перемещения фазы колебаний частиц среды при волновом процессе. Для плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси , фаза колебаний частиц имеет вид

(42.1)

откуда видно, что фаза есть функция времени и координаты положения равновесия частицы.

Зафиксируем значение фазы

откуда,

(42.2)

с учетом того, что . Полученное выражение определяет связь между временем и координатой , соответствующей фиксированному значению фазы. Продифференцировав (42.2), получим

откуда

(42.3)

Таким образом, скорость распространения волны и есть скорость перемещения фазы.

 

Волновое уравнение

 

Аналогично основному уравнению динамики в области волновых процессов существуют уравнения, являющиеся обобщенным выражением волн, независимо от их конкретного вида. Это дифференциальные уравнения в частных производных, связывающие изменеиия функций, характеризующих волну, во времени и пространстве. Уравнение любой волны является решением волнового уравнения. Получим вид волнового уравнения, исходя из его решения (41.8). Сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции (41.8), описывающей плоскую волну. Продифференцировав эту функцию дважды по каждой из переменных, получим

 

Сложим выражения, содержащие вторые производные по координатам,

 

Полученное уравнение можно записать в виде

(43.1)

где – оператор Лапласа,

– модуль волнового вектора или волновое число.

Продифференцируем переменную дважды по времени:

откуда

(43.2)

Подставляя полученное выражение в соотношение (43.1), получаем

или с учетом формулы (41.5),

(43.3)

Уравнение (43.3) называют волновым уравнением. Это уравнение мы получили, дифференцируя (41.8). Однако решением дифференциального уравнения (43.3) является и ряд других функций. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (43.3), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , представляет собой фазовую скорость этой волны. Т.о., уравнение (43.3) в наиболее общем виде описывает волновой процесс. Оно справедливо для однородных изотропных сред, затухание в которых мало, и при условии .

Отметим, что для плоской гармонической волны, распространяющейся вдоль оси , волновое уравнение имеет вид

(43.4)

 

§ 44. Энергия упругой волны

 

Распространение механических колебаний, представляющее собой последовательную передачу движения от одного участка среды к другому, означает тем самым передачу энергии. Эту энергию доставляет источник волны, когда он приводит в движение непосредственно прилегающий к нему слой среды. От этого слоя энергия передается следующему слою. Т.о., распространение волны создает в среде поток энергии, расходящейся от источника. Представление о потоке энергии, переносимой волнами, впервые ввел русский физик Н.А.Умов.

Потоком энергии через элементарную плошадку называется отношение энергии , проходящей через эту поверхность за промежуток времени , к величине этого промежутка:

(44.1)

Поток энергии – величина скалярная, размерность которой совпадает с размерностью мощности. Для характеристики переноса энергии в разных точках пространства вводится вектор плотности потока , называемый также вектором Умова. Этот вектор направлен в сторону распространения волны и по абсолютной величине равен отношению потока сквозь площадку поверхности к площадке , являющейся проекцией на плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны:

(44.2)

где – угол между направлением нормали к площадке и направлением (рис.44.1).

 

 

Рис.44.1

За время через переносится энергия , которая заключена в объеме цилиндра с основанием и стороной (рис.44.1)

где – плотность энергии. Т.о., модуль плотности потока энергии равен

Введем вектор , модуль которого равен фазовой скорости волны, а направление совпадает с направлением распространения волны (и переноса энергии). Тогда

(44.3)

Если в некоторой среде плотности распространяется в направлении оси плоская гармоническая волна

то можно показать, что плотность потока энергии изменяется по закону:

(44.4)

т.е. в каждый момент времени в разных точках пространства она различна. В одной и той же точке среды плотность энергии изменяется со временем по закону квадрата синуса. Т.к. среднее значение квадрата синуса равно , то среднее значение плотности энергии за период

(44.5)

Т.о., плотность энергии и ее среднее значение пропорциональны плотности среды , квадрату частоты и квадрату амплитуды .

В случае монохроматической волны вектор , как и плотность энергии, изменяется со временем по закону квадрата синуса. Поэтому среднее по времени значение вектора Умова с учетом (44.4) можно записать как

(44.6)

Это выражение справедливо для любого вида волн – плоской, цилиндрической, сферической, затухающей и др.

Модуль среднего по времени значения плотности потока энергии, переносимой волной, называют интенсивностью волны: Для монохроматической волны

.

Т.о., интенсивностью волны называется величина, равная энергии, которую в среднем переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению распространения волн.

 

Вопросы:

1) Какая волна называется плоской? гармонической?

2) Дайте определение волнового вектора.

3) Какое уравнение называется волновым?

4) Что такое поток энергии?

5) Дайте определение вектора плотности потока.

6) Какая физическая величина называется интенсивностью волны?

 

Пример 44.1. Плоская волна вида

(44.7)

( – в микрометрах, время – в секундах, – в метрах) распространяется в воде, причем источник волны находится в плоскости .

Найти:

а) объемную плотность энергии в точке, расположенной на расстоянии от источника, по истечении времени после начала колебаний;

б) среднюю объемную плотность энергии.

Решение.

а) Объемная плотность энергии волны определяется по формуле (44.4) с учетом :

(44.8)

Известно, что

, (44.9)

, (44.10)

Сравнив данное уравнение (44.7) с уравнением плоской волны, определяем параметры . Подставив выражения (44.9) и (44.10) в формулу (44.8), получаем

Численное значение объмной плотности

б) средняя плотность энергии волны определяется по формуле (44.5):

.

Подставив числовые данные из (44.7), получим:

Ответы: а)

б)

 

Контрольные задания

Вариант № 0

011. Теплоход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани суток, а обратно – суток. Сколько времени плывут по течению плоты от Нижнего Новгорода до Астрахани?

012. Диск радиусом м вращается согласно уравнению , где . Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки на окружности диска для момента времени с.

013. Мяч, летящий со скоростью м/c, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью м/c. Чему равно изменение импульса мяча при ударе, если известно, что изменение его энергии Дж?

014. Через блок, выполненный в виде колеса, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами г и г. Массу колеса, равную г, считать равномерно распределенной по ободу, массой спиц пренебречь. Определить ускорение, с которым будут двигаться грузы, и силы натяжения нити.

015. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если ее масса вместе с орудием составляет тонн, а снаряд массой кг вылетает из орудия со скоростью м/c.

016. К ободу сплошного диска массой кг приложена постоянная касательная сила Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через с после начала действия силы?

017. Обруч диаметром см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний.

 

Вариант № 1

 

111. С аэростата, находящегося на высоте м, сброшен балласт с нулевой начальной скоростью относительно аэростата. Через сколько времени балласт достигнет земли, если аэростат поднимался со скоростью м/c?

112. Два диска, расположенные на одной оси на расстоянии м друг от друга, вращаются с одинаковой угловой скоростью, делая об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска так, что отверстие на втором диске смещено относительно отверстия на первом диске нa угол . Найти скорость пули.

113. На наклонной плоскости лежит груз массой г, к которому привязана нить, натянутая параллельно наклонной плоскости. При силе натяжения Н груз скользит равномерно вверх по наклонной плоскости, а при силе натяжения Н – равномерно вниз. Определить силу трения между грузом и плоскостью и угол наклона плоскости к горизонту.

114. Маховик в виде сплошного диска радиусом м и массой кг раскручен до частоты об/мин. и предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через с. Найти момент сил трения.

115. В подвешенный на нити длиной м деревянный шар массой кг попадает горизонтально летящая пуля массой г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром отклонилась на угол ? Удар пули прямой, центральный. Размером шара пренебречь.

116. Какую скорость приобретет сплошной диск, если он скатится с наклонной плоскости высотой м без проскальзывания?

117. Определить максимальное ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой см, если ее максимальная скорость равна см/c. Написать уравнение этих колебаний.

 

Вариант № 2

 

211. Тело падает вертикально с высоты м с нулевой начальной скоростью. За какое время тело пройдет последний метр своего пути?

212. Вентилятор вращается равномерно, делая об/мин. После выключения, вращаясь равнозамедленно, он сделал до остановки оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной остановки?

213. Через неподвижный блок, имеющий вид сплошного диска, массой кг перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами г и г. Определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, если предоставить их самим себе. Трением в блоке и массой нити пренебречь.

214. Платформа в виде диска вращается вокруг вертикальной оси, делая об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда он перешел в центр платформы, она увеличила число оборотов до об/мин. Определить массу платформы. Человека рассматривать как материальную точку массой кг.

215. Пружина жесткостью Н/м сжата силой Н. Определить работу внешней силы, необходимую для дополнительного сжатия пружины еще на см.

216. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью км/час. На какое растояние может вкатиться обруч на горку за счет своей кинетической энергии? Уклон горки составляет 10 м на каждые 100 м пути.

217. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки от положения равновесия равно см, ее скорость см/c, а ускорение см/c . Написать уравнение этих колебаний.

 

Вариант № 3

 

311. С башни высотой м горизонтально брошен камень со скоростью м/с. На каком расстоянии от основания башни и с какой скоростью он упадет на землю?

312. Точка движется по окружности радиусом см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальной ускорение точки через с после начала движения, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки была м/c.

313. Цилиндр, расположенный горизонтально, может вращаться вокруг оси, совпадающей с его осью. Масса цилиндра кг. На цилиндр намотан шнур, к которому привязали гирю массой кг. С каким ускорением опускаться гиря?

314. Якорь мотора вращается с частотой мин.‾¹. Определить вращающий момент, если мотор развивает мощность Вт.

315. Камень массой кг скользит со скоростью м/с и сталкивается с покоящимся камнем массой кг. Какая работа будет совершена при деформации камней? Удар прямой, абсолютно неупругий.

316. Шар массой кг, катящийся без скольжения, ударяет о стенку и отскакивает от нее. Скорость шара до удара о стенку равна см/c, а после удара см/с. Найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

317. Точка совершает гармонические колебания с периодом с и амплитудой см. Начальная фаза колебания . Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно см.

 

Вариант № 4

 

411. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о вертикальную стенку, находящуюся на расстоянии м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на м меньше высоты бросания. С какой скоростью был брошен мяч и под каким углом он подлетел к поверхности стенки?

412. Колесо радиусом см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается формулой , где , , . Найти изменение тангенциального ускорения для точек на ободе колеса за каждую секунду движения.

413. С вершины наклонной плоскости длиной м начинает скользить тело без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту . Коэффициент трения . Сколько времени продолжается движение тела по наклонной плоскости?

414. На барабан радиусом м намотан шнур, к которому подвешен груз массой кг. До начала вращения барабана высота груза над полом равна м. Через сколько времени груз опустится до пола? Момент инерции барабана .

415. Конькобежец массой кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень весом Н со скоростью м/c. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед ?

416. Медный шар радиусом см вращается вокруг оси, проходящей через его центр, делая об/c. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить скорость вращения вдвое?

417. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки равна см, масса точки г, а полная энергия колебаний Дж. Написать уравнение этих гармонических колебаний, если начальная фаза колебаний .

 

Вариант № 5

 

511. Камень, брошенный со скоростью м/c под углом к горизонту, упал на землю на некотором расстоянии от места бросания. С какой высоты надо бросать камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости он упал на то же место?

512. Колесо вращается так, что угол поворота от времени дается уравнением , где , , , Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, м/c .

513. Автомобиль движется в гору с ускорением м/c . Уклон горы равен 1м на каждые 25 м пути. Какую силу тяги развивает мотор, если масса автомобиля равна кг, а коэффициент трения колес о дорожное покрытие ?

514. На обод маховика диаметром м намотан шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Определить момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время с приобрел угловую скорость рад/c.

515. На рельсах стоит платформа с орудием общей массой т. Из орудия производится выстрел вдоль рельсов снарядом, вес которого Н, а начальная скорость м/c. На какое расстояние откатится платформа при выстреле, если коэффициент трения платформы о рельсы ?

516. Найти полную кинетическую энергию велосипедиста, едущего со скоростью м/c, если его масса с велосипедом равна кг, а на оба колеса приходится вес Н. Колеса велосипеда считать обручами.

517. Точка совершает гармонические колебания, уравнение которых , где . В момент времени, когда точка обладала потенциальной энергией