Уравнение плоской гармонической волны

 

Рассмотрим ряд точек плоской волны, лежащих на прямой, проходящей через источник колебаний.

Поскольку волна гармоническая, все точки колеблются по закону x= *.

Поскольку точки, расположенные дальше от источника, начали колебаться позже, их колебания отстают по фазе от колебаний источника. Найдём величину этого сдвига по фазе a.

Если точка находится на расстоянии х от источника, то колебания «доберутся» до неё через секунд после начала колебаний источника (v – скорость распространения волны).

Поскольку отставание по фазе a обусловлено задержкой начала колебаний точки на t секунд, это уравнение можно записать в виде

,

где – волновое число.

Таким образом, колебания произвольной точки, находящейся на расстоянии х от источника, описывается уравнением

.

Как видно из этого уравнения, смещение x интересующей нас точки меняется по гармоническому закону.

Фаза гармонической функции зависит от t и от х.

Произвольная точка среды, расположенная на расстоянии х от источника, колеблется по закону

,

где a = - kx.

 

___________________________

 

* Символ x читается как «кси».

Положение всех вовлечённых в волновой процесс точек среды в момент времени t определяется выражением

,

где .

Таким образом, смещение вовлечённых в волновой процесс точек среды зависит от координаты точки.

Обе функции периодические.

Но первая периодична во времени t, а вторая – по координате х. В свою очередь функция имеет временнýю и пространственную периодичность.

Периодичность во времени характеризуется периодом Т – временем, за которое совер-шается одно колебание частицы среды.

Пространственный период называется длиной волны l. Выразим длину волны через другие параметры волнового процесса.

За один период гармоничес-кой функции ее фаза и меняется на 2p, поэтому

;

.

Учитывая, что ,

;

(v – скорость распространения колебаний в пространстве; n – частота волны; Т – период волны).

Из последнего выражения следует, что длина волны есть расстояние, которое волна проходит за один период.

Волновое число, которое было введено как отношение циклической частоты к скорости волны, можно выразить и через длину волны (из выражения ):

.

Физический смысл волнового числа можно определить следующим образом. Найдём производную от фазы волны по х *.

.

 

Таким образом, волновое число k есть скорость изменения фазы колебаний по координате.

 

Фазовая скорость

 

Вернёмся к уравнению , описывающему колебания некоторой точки волны.

Выделим из него фазу

.

Пусть фаза имеет фиксированное значение, т. е. j = con st.

Тогда

,

или

,

т. е. фазу, которую в момент t имела частица среды, находящаяся на расстоянии х от источника волны, через dt секунд будет иметь частица, находящаяся на dx метров дальше. Другими словами, любое постоянное значение фазы перемещается, удаляясь от источника.

Сокращая w в последнем выражении, получаем

;

 

______________________________

 

* Физический смысл производной – скорость изменения функции по изменению ее аргумента.

;

.

 

Таким образом скорость v является скоростью, с которой перемещается фиксированное значение фазы. Поэтому её называют фазовой скоростью.

Волновое число k по определению равно . Преобразовав это выражение получаем, что фазовая скорость может быть выражена через волновое число и циклическую частоту волны:

.

 

Отметим ещё одну деталь.

Величина отношения w/ k зависит от значения частоты, поэтому фазовая скорость волн разных частот будет разной.

Такое явление действительно существует и называется дисперсией волн.

Среды, в которых имеет место дисперсия, называют диспергирующими.

 

Волновое уравнение

 

Волновым называют дифференциальное уравнение, описы-вающее процесс распространения гармонических волн в среде.

Найдём вид этого уравнения в простейшем случае – для плоской бегущей волны, распространяющейся параллельно оси х,

.

Возьмём вторые производные от x по времени и координате:

.

Учитывая, что , можем записать

.

Таким образом, если анализ некоторой системы приводит нас к дифференциальному уравнению , мы вправе утверждать, что в этой системе могут распространяться волны.

Уравнение волны является результатом решения волнового уравнения с учётом начальных и граничных условий.

Обратите внимание: волновое уравнение не следует путать с уравнением волны.

Волновое уравнение описывает процесс распространения гармонических колебаний в некоторой среде.

Уравнение волны показывает, как смещены от положения равновесия частицы упругой среды в зависимости от t и х.

 

Энергия упругой волны

 

Пусть вдоль оси х распространяется плоская волна

.

Выделим некоторый малый объём D V в пределах которого скорость движения колеблющихся частиц и деформация среды, вызванная колебаниями частиц , неизменны.

Тогда кинетическая энергия частиц в этом объёме

,

где r – плотность упругой среды.

Можно показать, что потенциальная энергия упругой деформации этого объёма

,

где v – фазовая скорость волны.

 

Полная энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

.

Объёмная плотность энергии, равная энергии единичного объёма

.

Поскольку

;

и

;

.

Так как ,

и, наконец,

.

Как известно, среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Следовательно, среднее значение плотности энергии

.

Отсюда видно, что среднее значение плотности энергии зависит от плотности среды, амплитуды колебаний и цикли-ческой частоты волны. Вообще же плотность энергии волны различна в разные моменты времени в одной точке пространства и в один момент времени в разных точках пространства.

Эта энергия испускается источником колебаний и переносится волной в пространстве.

Кроме объёмной плотности энергии используется плотность потока энергии j, которая равна энергии, перенесённой волной через единичную поверхность D S_n, перпендикулярную направ-лению распространения волны, за единицу времени.

В аналитической форме определение плотности потока энергии имеет вид

,

где D Е – энергия, переносимая за время D t через площадку D S_n, перпендикулярную к скорости распространения волны.

В случае плоской волны

.

Тогда

или, векторной форме,

.

Вектор j называют вектором Умова. Этот вектор показывает, какая энергия передаётся волной за единицу времени через единицу площади и в каком направлении она распространяется. Как видите, направление переноса энергии определяется ско-ростью волны – энергия переносится волной в направлении распространения волны.