VI.7. Энергия и импульс электромагнитной волны

Для характеристики переноса энергии любой волной в физике введена векторная величина, называемая плотностью потока энергии . Она численно равна количеству энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлению, в котором
распространяется волна. Направление вектора совпадает с направлением переноса энергии. Величину плотности потока энергии можно получить, умножив плотность энергии на скорость волны

Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

В непроводящей среде для данной точки пространства векторы и изменяются в одинаковой фазе, поэтому соотношение (6.65) справедливо
и для их мгновенных значений. Тогда

или

(6.67)

Умножив плотность энергии электромагнитной волны на ее фазовую скорость [формула (6.49)], получим плотность потока энергии

(6.68)

Векторы и взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление
вектора совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора определяется соотношением (6.68). Следовательно, вектор плотности потока энергии электромагнитной волны можно представить как векторное произведение

(6.69)

Вектор называют вектором Умова-Пойнтинга.

Найдем выражение для интенсивности распространяющейся электромагнитной волны. Мгновенные значения напряженностей электрического
и магнитного полей в плоской электромагнитной волне, распространяющейся вдоль оси х, определяются формулами (6.63) и (6.64). Тогда мгновенное значение модуля вектора Умова-Пойнтинга

 

На практике обычно имеют дело не с мгновенным, а со средним значением энергии по времени . Используя соотношение (6.65) и учитывая, что среднее значение квадрата гармонической функции равно 1/2 и в вакууме , получим

(6.70)

Таким образом, интенсивность I или средняя энергия, проходящая
в единицу времени через единицу поверхности, пропорциональна квадрату амплитуды напряженности поля любой из составляющих электромагнитной волны.

Если электромагнитные волны поглощаются или отражаются веществом (а это подтверждается опытами Г. Герца), то из теории Максвелла следует, что они должны оказывать на тела давление. Давление электромагнитных волн объясняется тем, что под действием электрического поля волны
заряженные частицы вещества начинают двигаться упорядоченно (в теле возбуждается ток плотностью ). При этом они подвергаются со стороны магнитного поля волны действию силы Лоренца, величину которой в расчете на единицу объема тела можно найти по формуле

Направление этой силы совпадает с направлением распространения
волны.

Согласно теории Максвелла в случае, когда тело полностью поглощает падающую на него энергию, давление равно среднему (по времени) значению плотности энергии падающей волны:

ср.

Если тело отражает волну, посылая в обратном направлении волну
интенсивностью ( – интенсивность, то есть плотность потока энергии падающей волны, k – коэффициент отражения), то давление равно

где ω _ср. – среднее значение плотности энергии падающей волны. Для идеально отражающего тела k = 1 и р = 2 ω _ср..

Из того факта, что электромагнитная волна оказывает давление на
вещество, вытекает наличие у поля электромагнитной волны механического импульса. Расчеты показывают, что импульс единицы объема (плотность импульса) поля в вакууме равен

Наличие импульса позволяет приписать электромагнитному полю массу, связанную с импульсом соотношением . Разделив модуль выражения (6.71) на скорость света с, получим массу единицы объема электромагнитного поля:

Выражение представляет собой плотность энергии поля
[см. формулу (6.67)]. Следовательно,

Полученное соотношение является частным случаем вытекающего из специальной теории относительности универсального закона взаимосвязи между массой и энергией

В 1899 г. П.Н. Лебедев экспериментально доказал существование давления света на твердые тела, а в 1910 г. – на газы. Опыты Лебедева имели
огромное значение для утверждения выводов теории Максвелла о том, что свет представляет собой электромагнитные волны.

Таким образом, существование электромагнитных волн и их свойства, определяемые теорией Максвелла, были полностью подтверждены опытами Герца, Лебедева и выводами специальной теории относительности.

 

Краткие выводы

· Электромагнитными колебаниями называют периодические процессы, при которых происходят взаимосвязанные изменения электрических
параметров (зарядов, токов, напряжений) и превращения энергии электрического и магнитного полей. Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур – электрическая цепь, состоящая из конденсатора емкостью С, катушки индуктивностью L
и резистора сопротивлением R (RLC -контур).

· Идеальный колебательный контур () является примером гармонического осциллятора – системы, процессы в которой описываются дифференциальным уравнением

где – собственная циклическая частота колебаний. В идеальном контуре свободные колебания будут незатухающими, и заряд на конден-саторе изменяется со временем по закону синуса или косинуса:

· Период свободных гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре (формула Томсона)

· В реальном колебательном контуре из-за наличия омического сопротивления свободные колебания со временем будут затухать. Дифферен-циальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы
и его решение имеют вид

где – коэффициент затухания; – циклическая частота затухающих колебаний; – амплитуда затухающих колебаний.

· Колебания, возникающие под действием внешнего периодически
изменяющегося фактора x(t), называют вынужденными колебаниями. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний в электрическом контуре и его решение для установившегося режима

где

· Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего переменного фактора к собственной частоте системы называют резонансом. Резонансная циклическая частота и резонансная амплитуда

· Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи, содержащей резистор, катушку индуктивности и конденсатор, называют
переменным электрическим током. Переменный ток промышленной частоты (50 Гц) получают на электрических станциях с помощью генераторов,
работа которых основана на явлении электромагнитной индукции.

· Закон Ома для действующих значений силы тока и напряжения в цепи переменного тока, содержащей последовательно соединенные резистор, индуктивный и емкостный элементы, имеет вид

,

где Z – полное сопротивление цепи. Разность фаз между напряжением и силой тока, определяемая из векторной диаграммы цепи,

· Явление резкого возрастания напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе контура из последовательно соединенных элементов при совпадении частоты ω внешнего переменного напряжения с собственной частотой колебательного контура, называют резонансом напряжений
(последовательным резонансом). В этом режиме

то есть добротность контура определяет, во сколько раз напряжение на
реактивных элементах контура при резонансе может превышать напряжение на зажимах цепи.

· Явление резкого уменьшения амплитуды силы тока во внешней цепи, питающей параллельно соединенные элементы при приближении
частоты внешнего приложенного напряжения к резонансной частоте
колебательного контура, называют резонансом токов (параллельным резонансом). Резонансные явления наиболее отчетливо проявляются при малых омических сопротивлениях контура.

· Академик АН СССР Л.И. Мандельштам (1879-1944) отмечал: «Теория колебаний объединяет, обобщает различные области физики... Каждая из областей физики – оптика, механика, акустика – говорит на своем „национальном“ языке. Но есть „интернациональный“ язык, и это – язык теории колебаний…Изучая одну область, вы получите тем самым интуицию и знания совсем в другой области». В этом высказывании обоснована полезность аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями. Знание такой аналогии (табл. 6.2) позволяет решать ряд задач механики и электродинамики.

· Электромагнитная волна – это переменное электромагнитное
поле, распространяющееся в пространстве с конечной скоростью. Электромагнитные волны возникают в результате того, что переменное электри-ческое поле возбуждает переменное магнитное поле, которое, в свою очередь, порождает переменное электрическое поле.

· Существование электромагнитных волн вытекает из уравнений
Максвелла. Решающую роль в подтверждении электромагнитной теории Максвелла сыграли опыты Г. Герца, П.Н. Лебедева и выводы специальной теории относительности.

 

Таблица 6.2

Механические величины	Электрические величины
Координата	Электрический заряд
Скорость	Сила тока
Ускорение	Скорость изменения силы тока
Масса	Индуктивность
Жесткость пружины	Величина обратная емкости
Сила	Напряжение
Коэффициент сопротивления среды (вязкость)	Омическое сопротивление
Потенциальная энергия деформированной пружины	Энергия электрического поля конденсатора
Кинетическая энергия	Энергия магнитного поля
Импульс	Поток магнитной индукции

 

· Источником электромагнитной волны может быть колебательный контур или проводник, по которому протекает быстропеременный электрический ток.

· Из уравнений Максвелла следует, что векторы и переменного электромагнитного поля для однородной нейтральной и непроводящей
среды удовлетворяют волновым уравнениям

где – оператор Лапласа, v – фазовая скорость волны. Всякая функция, удовлетворяющая этим уравнениям, описывает некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля могут действительно
существовать в виде электромагнитных волн.

· Фазовая скорость электромагнитных волн определяется
электрическими и магнитными свойствами среды:

В вакууме () скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света; в веществе , поэтому скорость распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в вакууме.

· Электромагнитные волны являются поперечными волнами –
колебания векторов и происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях, причем векторы , и образуют правовинтовую систему. Из уравнений Максвелла также следует, что в электромагнитной волне
векторы и всегда колеблются в одинаковых фазах, а мгновенные
значения Е и Н в любой точке связаны соотношением

 

· Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси х, описывается волновыми уравнениями

 

где индексы y и z лишь подчеркивают, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и z. Решением этих уравнений
являются функции

· Перенос энергии электромагнитной волной характеризуется
вектором плотности потока энергии или вектором Умова-Пойнтинга:

Вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен произведению плотности энергии на скорость распространения волны в среде

где

· Интенсивность электромагнитной волны I пропорциональна
квадрату амплитуды напряженности поля любой из составляющих электромагнитной волны:

· Одним из выводов теории Максвелла является наличие давления электромагнитных волн на тела. Существование такого давления приводит к выводу о наличии у поля электромагнитной волны импульса

где W – энергия электромагнитного поля.

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Какой процесс называется колебательным? Какие колебания назы-ваются свободными, гармоническими, вынужденными?

2. Выведите дифференциальное уравнение свободных электромагнитных колебаний в контуре. По какой формуле определяется период колебаний в контуре с малыми омическими потерями?

3. Какие колебания называются затухающим? Запишите дифференциальное уравнение затухающих колебаний в RLC -контуре и его решение.

4. Какие колебания называются вынужденными? Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в электрическом контуре
и его решение.

5. Что называется резонансом? Запишите выражения для циклической частоты и амплитуды колебаний при резонансе.

6. Что называется переменным электрическим током? Выведите закон Ома для цепи переменного тока. От чего зависят индуктивное и емкостное сопротивления?

7. Каковы характерные признаки резонанса напряжений, резонанса
токов? Нарисуйте векторные диаграммы цепей переменного тока в режимах последовательного и параллельного резонанса.

8. Что представляет собой электромагнитная волна? Что может служить источником электромагнитных волн?

9. От чего зависит скорость распространения электромагнитной волны?

10. На какие виды делятся электромагнитные волны? Каковы источники излучения разных видов волн?

11. Расположите в порядке убывания длины электромагнитных волн, используемых в различных устройствах: а) инфракрасное излучение пульта дистанционного управления; б) рентгеновское излучение; в) электромагнитное излучение мобильного телефона; г) излучение радиостанции,
работающей в диапазоне FM.

12. Какими свойствами обладают электромагнитные волны?

13. Запишите волновые уравнения для векторов и переменного электромагнитного поля. Какой вывод следует из анализа этих уравнений?

14. Как определяется объемная плотность энергии в электромагнитной волне?

15. Каков физический смысл вектора Умова-Пойнтинга? Как опреде-ляется направление и модуль вектора плотности потока энергии?

 

 

Примеры решения задач

Задача 1. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью
25мГн, конденсатор емкостью 10мкФ и резистор сопротивлением 1Ом. Конденсатор зарядили количеством электричества 1мКл. Определить:
а) период колебаний контура; б) логарифмический декремент затухания;
в) добротность контура; г) зависимость .

 

Дано: ;

Найти:

Решение

где

Коэффициент затухания колебаний

Период колебаний и логарифмический декремент затухания

Добротность колебательного контура

Ответ:

Задача 2. Показания амперметров, включенных в ветви с конденсатором, катушкой индуктивности и резистором, соответственно равны 2А, 3А и 1А (рис. 6.22). Что покажет амперметр в неразветвленной части цепи?

Дано:

Найти:

Решение

Построим векторную диаграмму цепи с учетом фазовых соотношений между напряжением и током на отдельных элементах (рис. 6.23), где – реактивная составляющая силы тока. Тогда модуль действующего значения силы тока в неразветвленной части цепи (искомое показание амперметра) равен

Ответ:

Задача 3. Длина электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, равна 12 м. Пренебрегая омическим сопротивлением контура, определить максимальный заряд
на обкладках конденсатора, если амплитуда силы тока в контуре .

Дано:

Найти:

Решение

Длина электромагнитной волны в вакууме

откуда

При

где

 

Ответ:

Задача 4. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на поверхность тела, полностью ее
поглощающего. Амплитуда напряженности электрического поля волны равна 2 В/м. Определить давление, оказываемое волной на тело.

Дано:

Найти: p.

Решение

Согласно теории Максвелла, давление электромагнитной волны на тело

 

где k – коэффициент отражения, – среднее значение плотности энергии падающей волны. Для рассматриваемого случая

где

 

Учитывая, что , имеем

или

 

Тогда

Ответ:

 

Задачи для самостоятельного решения

 

1. Колебательный контур через ключ К подключен к источнику ЭДС с некоторым внутренним сопротивлением r (рис. 6.24). Первоначально ключ
замкнут. После установления стационарного
режима ключ размыкают и в контуре возникают электромагнитные колебания с периодом Т. При этом амплитуда напряжения на конденсаторе в n раз больше ЭДС источника. Найти индуктивность катушки и емкость конденсатора. Сопротивлением катушки и подводящих проводов пренебречь. (Ответ: , ).

2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью 80мкГн, конденсатора емкостью 100 пФ и резистора сопротивлением 0,5Ом. Какую мощность необходимо подводить к контуру, чтобы в нем поддерживались незатухающие гармонические колебания, при которых амплитуда напряжения на конденсаторе равна 4В? (Ответ: Р = 5мкВт).

3. Частота затухающих электромагнитных колебаний в контуре с добротностью Q = 2500 равна 550 кГц. Определить время, за которое амплитуда силы тока в контуре уменьшится в 4 раза. (Ответ: t = 2мс).

4. Определить минимальное сопротивление колебательного контура
(С = 1,2 нФ, L = 3мкГн), при котором процесс в системе будет апериоди-ческим. (Ответ: R = 100Ом).

5. В цепи переменного тока (рис. 6.25) действующие значения напряжения . Определить действующее значение напряжения .(Ответ: U_AB = 18 B).

6. В цепь переменного тока с частотой и действующим значением напряжения U = 300B последовательно включены конденсатор, резистор сопротивлением R = 50Ом и катушка индуктивностью L = 0,1Гн (рис. 6.26). Падения напряжения Определить: 1) емкость конденсатора; 2) действующее значение силы тока.

(Ответ: С = 29,8мкФ, I = 3,32А).

7. Генератор, частота которого 32 кГц и амплитудное значение напряжения 120 В, включен в резонирующую цепь, емкость которой 1нФ. Определить амплитудное значение напряжения на конден-саторе, если омическое сопротивление цепи 5Ом. (Ответ: 119кВ).

8. Электромагнитная волна с частотой 4МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью в вакуум. Определить
приращение ее длины волны. (Ответ: ).

9. Катушка, индуктивность которой , присоединена к плоскому конденсатору с площадью пластин 100см² и расстоянием между ними
0,1мм. Чему равна диэлектрическая проницаемость среды между пластинами, если контур резонирует на волну длиной 750м? Активным сопротивлением контура пренебречь. (Ответ: ).

 

 

10. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен колебательный контур, если максимальный заряд на обкладках конденсатора , а максимальная сила тока в контуре . Активным сопротивлением контура пренебречь. (Ответ: ).

11. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна и падает по нормали на вещество с коэффициентом отражения k= 0. Амплитуда напряженности магнитного поля волны равна 0,15А/м. Определить давление, оказываемое волной на вещество. (Ответ: р= 14,1нПа).

12. В вакууме вдоль оси х распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет 18,8В/м. Определить интенсивность волны. (Ответ: I= 0,47Вт/м²).

VII. ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ