II.6. Расчет разветвленных цепей постоянного тока

 

Закон Ома в интегральной форме позволяет рассчитывать практически любую электрическую цепь. Однако непосредственный расчет разветвленных цепей, содержащих замкнутые контуры, достаточно сложен. Эта задача упрощается при использовании правил Кирхгофа (немецкий физик, XIX в.).

Любая точка разветвленной электрической цепи, в которой сходится не менее трех проводников тока, называется узлом. При этом ток, входящий в узел, считается положительным,
а ток, выходящий из узла – отрицательным (рис. 2.9).

Первое правило Кирхгофа сформулировано для узла электрической цепи: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, то есть

где n – число проводников, сходящихся в узле.

Таким образом, при указанных на рис. 2.9 направлениях токов в проводниках первое правило Кирхгофа запишется в виде

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа вытекает из закона Ома в интегральной форме для разветвленных цепей. Выделим в сложной электрической цепи замкнутый контур, состоящий из трех участков (рис. 2.10). Условимся обходить контур по часовой стрелке. Все токи, совпадающие по направлению
с выбранным направлением обхода контура, считаются положительными. ЭДС источников считаются положительными, если они создают ток,
направленный в сторону обхода контура. Применяя к отдельным участкам контура закон Ома, запишем:

Складывая почленно эти уравнения,
получим

Таким образом, второе правило Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, то есть

где n – количество источников тока в контуре; m – число участков в контуре.

При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа следует придерживаться следующих рекомендаций:

1. Произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи. Действительные направления токов в схеме определяются после завершения расчетов: если искомый ток получился положительным, то его направление было выбрано правильно, если отрицательным – его истинное направление противоположно выбранному.

2. Выбирают направления обхода замкнутых контуров цепи (по часовой или против часовой стрелке). Произведение положительно, если ток на данном участке совпадает по направлению с направлением обхода; ЭДС, действующие по направлению обхода, считаются положительными, против направления обхода – отрицательными.

3. Составляют столько уравнений, чтобы их число было равно числу
неизвестных токов, то есть числу ветвей в схеме. По первому правилу Кирхгофа составляют n- 1 уравнений, где n – число узлов в схеме. Остальные уравнения составляют по второму правилу Кирхгофа.

4. Для проверки расчетов составляют баланс мощности в цепи: алгебраическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рассеиваемых в ветвях схемы, то есть

где n – число источников тока в цепи; m – количество ветвей в схеме.

 

Краткие выводы

· Электрический ток – это упорядоченное движение электрически
заряженных частиц. Количественными характеристиками тока являются
сила тока

и плотность тока

Ток, сила и направление которого не изменяются с течением времени, называется постоянным.

· Для возникновения и поддержания электрического тока необходимо: а) наличие свободных электрических зарядов; б) наличие электрического поля; в) присутствие в цепи устройств (источников тока), способных поддерживать разность потенциалов за счет работы сторонних сил.

· ЭДС – физическая скалярная величина, определяемая работой сторонних сил при перемещении положительного единичного заряда:

· Напряжение на участке цепи – физическая скалярная величина, определяемая работой суммарного поля кулоновских и сторонних сил при перемещении положительного единичного заряда на данном участке:

 

Напряжение на концах участка цепи равно разности потенциалов, если участок не содержит источника тока (), то есть является однородным.

· Электрическое сопротивление линейных металлических проводников зависит от материала, длины и площади поперечного сечения:

С увеличением температуры сопротивление таких проводников увеличивается:

.

,

· Проводники в электрической цепи могут соединяться последовательно и параллельно:

 

Соединение	Последовательное	Параллельное
Постоянный параметр цепи
Суммируемая величина
Общее сопротивление цепи
Общее сопротивление цепи из n одинаковых проводников

 

· Закон Ома для однородного участка цепи:

· Закон Ома в дифференциальной форме связывает плотность тока
в любой точке проводника с напряженностью электрического поля в той же точке:

· Участок цепи, содержащий источник тока, называется неоднородным. Закон Ома для неоднородного участка цепи (закон Ома в интегральной форме):

 

В зависимости от конфигурации участка цепи или режима из этого закона получаем следующее:

 

Источник тока отсутствует:		Закон Ома для неоднородного участка цепи
Цепь замкнута:		Закон Ома для замкнутой цепи
Режим холостого хода цепи:		ЭДС источника в разомкнутой цепи равна разности потенциалов на его зажимах.

 

· Количество теплоты, которое выделяется в проводнике при протекании электрического тока, определяется законом Джоуля-Ленца:

 

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме связывает удельную тепловую мощность тока с напряженностью электрического тока:

 

· Мощность электрического тока – физическая величина, опреде-ляемой работой, совершенной током за единицу времени:

· Одним из методов расчета разветвленных электрических цепей
является расчет с использованием правил Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов в узле электрической цепи равна нулю, то есть

Второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС источников равна алгебраической сумме падений напряжений на отдельных участка этого контура, то есть

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что понимают под электрическим током? Каковы условия возникновения и поддержания электрического тока проводимости?

2. Что называют силой тока, плотностью тока? Каковы их единицы?

3. Какова физическая природа электрического сопротивления проводника? От чего зависит сопротивление металлического проводника?

4. Какова связь между сопротивлением и проводимостью, удельным
сопротивлением и удельной проводимостью? Каковы их единицы?

5. Какой участок электрической цепи называют однородным, неоднородным? Выведите закон Ома в дифференциальной форме.

6. Какова физическая сущность ЭДС источника тока, разности потенциалов, напряжения?

7. Как определяется эквивалентное сопротивление проводников при их последовательном и параллельном соединении?

8. Сформулируйте закон Ома в интегральной форме. Какие частные
законы можно из него получить?

9. Что называют мощностью электрического тока? Сформулируйте
закон Джоуля-Ленца.

10. Выведите закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. Что
называют удельной тепловой мощностью тока?

11. Сформулируйте правила Кирхгофа и запишите их математические выражения.

12. Изложите сущность метода расчета разветвленной электрической цепи с использованием правил Кирхгофа.

Примеры решения задач

Задача 1. Определить ток короткого замыкания источника ЭДС, если при внешнем сопротивлении ток в цепи 0,2 А, а при ток 0,1 А (рис. 2.11).

Дано: , .

Найти: I _кз.

Решение

По закону Ома для замкнутой цепи

В режиме короткого замыкания источника тока

так как сопротивление закоротки бесконечно мало.

Используя данные для нормальных режимов цепи, получим систему уравнений

откуда

Тогда искомый ток короткого замыкания источника

Ответ:

 

Задача 2. В схеме на рис. 2.12 перед замыканием ключа К конденсатор емкостью С не был заряжен. Ключ замыкают на некоторое время, в течение которого конденсатор зарядился до напряжения U. Какое количество теплоты выделится к этому моменту времени на резисторе сопротивлением R? ЭДС источника , его внутреннее сопротивление r.

Дано:

Найти:

Решение

По закону сохранения энергии

где энергия источника тока.

Согласно закону Джоуля-Ленца, тогда
откуда

Следовательно, откуда, учитывая, что получим

Ответ:

Задача 3. При заданных параметрах цепи, схема которой изображена на рис. 2.13, определить токи во всех ветвях. Внутренними сопротивлениями источников пренебречь.

Дано:

Найти: I ₁, I ₂, I ₃, I ₄, I ₅, I ₆.

Решение

Выберем направления токов в ветвях, как они показаны на рис. 2.13,
и условимся обходить контуры I-III по часовой стрелке.

Составим уравнения по правилам Кирхгофа (всего шесть уравнений):

– по первому правилу Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3 соответственно

(3)

(2)

– по второму правилу Кирхгофа для контуров I, II и III имеем

(6)

(5)

(4)

,

R

I

R

I

R

I

-

-

=

-

-

+

=

-

+

+

=

е

е

е

.

R

I

R

I

R

I

е

,

R

I

R

I

R

I

е

Из уравнений (4)-(6) выразим токи и, подставив их в формулы (1)-(3), с учетом заданных числовых значений получим систему уравнений
с тремя неизвестными:

Эту систему можно решить обычными приемами линейной алгебры
(методом Гаусса, по формулам Крамера и др.). Воспользовавшись формулами Крамера, найдем

Из формул (4)-(6) определяем недостающие токи:

Для проверки расчета составим баланс мощностей в схеме: алгеб-раическая сумма мощностей источников тока равна сумме мощностей, рас-сеиваемых в ветвях, то есть

Для данной задачи левая часть баланса:

правая часть баланса:

Баланс мощностей в цепи выполняется, следовательно, расчет токов
в ветвях выполнен верно.

Ответ:

.

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Какой заряд пройдет через поперечное сечение проводника за время от 5 с до 10 с, если сила тока изменяется со временем по закону (Ответ: 142,5 Кл).

2. Определить падение напряжения на резисторе Ом (рис. 2.14), если вольтметр, подключенный к резистору Ом, показывает 25В. (Ответ: 37,5 В).

 

 

3. На рис. 2.15 Определить ЭДС источника тока, пренебрегая его внутренним сопротивлением, если
заряд на конденсаторе (Ответ: 220 В).

4. Два резистора сопротивлением 2 Ом и 5 Ом соединены последовательно и включены в сеть постоянного напряжения. Какая мощность выделяется на сопротивлении 5 Ом, если на сопротивлении 2 Ом выделяется мощность 30 Вт? (Ответ: 75 Вт).

5. Батарея состоит из параллельно соединенных источников тока. При силе тока во внешней цепи 2 А полезная мощность равна 7 Вт. Определить число элементов в батарее, если ЭДС каждого элемента равна 5,5 В, в внутреннее сопротивление 5Ом.

(Ответ: 5).

6. Определить напряжения на конденсаторах и (рис. 2.16), если известно, что при коротком замыкании резистора сопротивлением R сила тока через источник возрастает в 3 раза. ЭДС батареи равна .

(Ответ: ).

7. При силе тока в цепи 4 А на внешнем сопротивлении R потребляется мощность 10Вт, а при силе тока 2 А мощность 8 Вт. Определить ЭДС
и внутреннее сопротивление источника тока. (Ответ: 5,5 В, 0,75 Ом).

8. Электрический чайник имеет две спирали. При включении одной из них вода в чайнике закипает через 15 мин., при включении другой – через 30 мин. Через какое время закипит вода в чайнике, если спирали включить параллельно? (Ответ: 10 мин.).

9. Имеется прибор с ценой деления мкА. Шкала прибора имеет n =100 делений, внутреннее сопротивление прибора Ом. Как из этого прибора сделать миллиамперметр с пределом измерения силы тока мА (определить величину сопротивления шунта)? (Ответ: 0,0626 Ом).

10. Имеется прибор с ценой деления мкА. Шкала прибора имеет n =100 делений, внутреннее сопротивление прибора Ом. Как из этого прибора сделать вольтметр с пределом измерения напряжения В (определить величину добавочного сопротивления)? (Ответ: 2·10⁵ Ом).

11. Определить разность потенциалов между точками А и В(рис. 2.17), если Внутренними сопротивлениями источников можно
пренебречь. (Ответ: 2,67 В).

12. В схеме на рис. 2.18 определить ЭДС источников и токи, протекающие через резисторы и . Исходные данные:

(Ответ: 24 В; 12 В; 1,2 А; 0,3 А).

13. В схему включены два микроамперметра и два одинаковых вольтметра (рис. 2.19). Показания микроамперметров: и ; показание вольтметра Найти показание вольтметра (Ответ: U₂ = 0,1 В).

14. Чему равно показание вольтметра в схеме, изображенной на рис. 2.20? Вольтметр считать идеальным, то есть имеющим очень большое сопротивление. Внутренним сопротивлением источников пренебречь.

(Ответ: ).

 

15. Электрическая цепь собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров (рис. 2.21). Первый вольтметр показывает , а третий . Что покажет второй вольтметр?

(Ответ: ).

 

16. Конденсаторы емкостью и резисторы, сопротивления которых и , включены в электрическую цепь, как показано на рис. 2.22. Найти
установившиеся заряды на конденсаторах. Напряжение известно.

(Ответ: ).

 

17. Электромотор питается от батареи
с ЭДС . Какую мощность развивает мотор при протекании по его обмотке тока силой , если при полном затормаживании якоря по
цепи течет ток силой ?

 

(Ответ: ).

18. Аккумулятор с ЭДС и внутренним сопротивлением замкнут на внешнее сопротивление и выделяет на нем мощность . Определить разность потенциалов на клеммах аккумулятора. (Ответ: ).

19. Чему равна сила тока, протекающего через резистор сопротивлением 2 R (рис. 2.23)? (Ответ: I = 0).

III. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ