VI.6. Плоская электромагнитная волна

 

Перед исследованием плоской электромагнитной волны запишем проекции уравнений (6.29) и (6.31) на координатные оси. Тогда, приняв во внимание формулы (6.36), получим вместо каждого из векторных уравнений три
скалярных:

(6.51)

(6.52)

Уравнения (6.30) и (6.32) можно записать в скалярном виде, использовав соотношение (6.37):

; (6.53)

(6.54)

Пусть плоская электромагнитная волна распространяется в однородной непроводящей среде (). Направим ось х перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда и , а значит и их составляющие не будут
зависеть от координат у и z.

Поэтому уравнения (6.51) – (6.54) упрощаются следующим образом:

(6.55)

(6.56)

(6.57)

(6.58)

 

Первое из уравнений (6.56) и уравнение (6.58) показывают, что составляющая не может зависеть ни от t, ни от х. Первое из уравнений (6.55)
и уравнение (6.57) дают аналогичный результат для составляющей .
Таким образом, поле волны не имеет составляющих вдоль оси х, то есть векторы и перпендикулярны к направлению распространения волны – электромагнитные волны поперечны.

Вторые и третьи уравнения (6.55) и (6.56) можно объединить в две группы следующим образом:

(6.59)

(6.60)

 

Первая группа уравнений связывает составляющие и , вторая – составляющие и . Предположим, что первоначально было создано переменное электрическое поле , направленное вдоль оси у. Согласно второму уравнению (6.59) это поле порождает магнитное поле , направленное вдоль оси z. В соответствии с первым уравнением (6.59) поле
создаст электрическое поле и т.д. Ни поле , ни поле при этом
не возникают. Аналогично, если первоначально было создано поле ,
то согласно уравнениям (6.60) появится поле, которое породит поле
и т. д. В этом случае не возникают поля и . Таким образом, для описания плоской электромагнитной волны достаточно взять одну из систем уравнений (6.59) и (6.60), приняв составляющие, участвующие в другой
системе, равными нулю.

Возьмем для описания волны систему уравнений (6.59), положив = = 0. Продифференцируем первое уравнение по х и произведем замену

Подставив затем из второго уравнения, получим волновое уравнение для составляющей :

(6.61)

 

Продифференцировав по х второе уравнение (6.59), после аналогичных преобразований получим волновое уравнение для составляющей :

(6.62)

Уравнения (6.61) и (6.62) представляют собой частный случай уравнений (6.47) и (6.48). Решением уравнения (6.61) является гармоническая функция

(6.63)

 

Решение уравнения (6.62) имеет аналогичный вид

(6.64)

 

Подставим функции (6.63) и (6.64) в систему (6.59)

 

Для того чтобы эти равенства выполнялись, необходимы следующие условия:

Таким образом, в электромагнитной волне колебания векторов и происходят с одинаковой фазой, а амплитуды этих векторов связаны соотношением

(6.65)

 

Умножив уравнение (6.63) на орт оси у, а уравнение (6.64) на орт оси z, получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторной форме:

 

(6.66)

 

На рис. 6.21 показан «моментальный снимок» плоской электромагнитной волны. Из него видно, что векторы и образуют с направлением
распространения волны правовинтовую систему. В фиксированной точке пространства векторы напряженности электрического и магнитного полей изменяются со временем по гармоническому закону.