VI.3. Резонанс в электрических цепях

 

Резонансом в электрической цепи называется режим участка, содержащего индуктивный и емкостный элементы, при котором угол сдвига фаз колебаний напряжения и тока равен нулю. Резонанс характеризуется рядом особенностей, которые обусловили его широкое применение в радиотехнике, электротехнике, измерительной технике и других областях.

Различают несколько видов резонанса: резонанс напряжений (при
последовательном соединении элементов), резонанс токов (при параллельном соединении элементов), резонанс в магнитно-связанных цепях и др.

Резонанс напряжений. Из выражения (6.10) следует, что при последовательном соединении ток в цепи приобретает максимальное значение при , то есть при Этому условию удовлетворяет частота

(6.15)

В этом случае , Z = R → min, падения напря-жения на катушке индуктивности и конденсаторе одинаковы по величине и противоположны по фазе (рис. 6.15). Таким образом, при резонансе напря-жений

,

и

(6.16)

где Q – добротность контура. Так как добротность колебательных контуров больше единицы, то напряжение, как на катушке индуктивности, так и на конденсаторе превышает напряжение U, приложенное к цепи. Из выражения (6.16) следует, что добротность контура показывает, во сколько раз при резонансе напряжение на реактивных элементах больше по величине
входного напряжения.

Явление резонанса напряжений используется в радиотехнике и электронике для усиления колебаний напряжения какой-либо определенной частоты. В электроэнергетике явление резонанса напряжений необходимо учитывать при выборе изоляции высоковольтного оборудования, так как иначе может произойти ее пробой.

Резонанс токов возможен в цепи с параллельным соединением ветвей
с параметрами и (рис. 6.16). Между током в неразветвленной части цепи и напряжением имеется некоторый сдвиг фаз . Предположим, что цепь имеет емкостный характер, то есть колебания тока опережают по фазе колебания напряжения. Тогда векторная диаграмма будет иметь вид, приведенный на рис. 6.17.

Разложим вектор тока на две составляющие: активную , находящуюся в фазе с вектором напряжения на зажимах цепи, и реактивную , перпендикулярную к . Из векторной диаграммы следует

(6.17)

Так как

и

то, подставляя эти выражения в (6.17), получим

(6.18)

(6.19)

где g и b – активная и реактивная проводимости цепи.

Найдем соотношение между активной g, реактивной b и полной Y проводимостью цепи. Из векторной диаграммы следует, что модуль действующего значения тока в неразветвленной части цепи равен

(6.20)

Так как полная проводимость Y равна обратной величине полного
сопротивления, то из (6.18) и (6.19) следует

(6.21)

В режиме резонанса . Для этого реактивная составляющая тока , а, следовательно, и реактивная проводимость b цепи должны равняться
нулю. Для схемы на рис. 6.16 общая реактивная проводимость цепи равна сумме реактивных проводимостей и параллельных ветвей. При
резонансе

(6.22)

где

Тогда условие (6.22) примет вид

(6.23)

где – циклическая частота резонанса токов.

Из (6.23) после преобразования имеем

(6.24)

где – характеристическое сопротивление контура.

Анализ выражения (6.24) позволяет сделать ряд выводов:

1. Резонансная частота при резонансе токов зависит не только от
параметров реактивных элементов, но и от активных сопротивлений и .

2. Резонанс токов возможен, если сопротивления и или больше , или меньше (в этом случае подкоренное выражение в (6.24) положительное), в противном случае – невозможен ( – мнимая величина).

3. При и , что справедливо для многих цепей, то есть резонансная частота при резонансе токов равна
резонансной частоте при резонансе напряжений.

Рассмотрим контур с малыми омическими потерями в режиме резонанса токов.

1. Так как и общее сопротивление контура активное, то полная проводимость контура равна активной проводимости и минимальна:

 

 

2. Ток в неразветвленной части цепи

минимальный, что позволяет по показаниям амперметра обнаруживать
резонанс токов в контуре при изменении частоты , параметров L или C.

 

3. Активные и реактивные составляющие токов

Так как , то реактивные составляющие токов при резонансе равны
и находятся в противофазе

Векторная диаграмма цепи при резонансе токов приведена на рис. 6.18.

Ток в общей части цепи равен активной составляющей тока

Токи в ветвях

 

Если то есть
и то
и то есть токи в ветвях значительно превышают по величине ток в неразветвленной части цепи. Это свойство – усиление тока – является важнейшей особенностью резонанса токов и широко используется на практике. Отсюда и название этого явления.