I.8. Проводники в электростатическом поле. Конденсаторы

 

Если поместить проводник во внешнее электростатическое поле, то это поле будет действовать на свободные заряды проводника, в результате чего они начнут перемещаться – положительные вдоль поля, отрицательные – против поля (рис. 1.17, а). На одном конце проводника будет накапливаться избыток положительного заряда, на другом конце – избыток отрицательного заряда. Процесс происходит до тех пор, пока не установится равновесное распределение зарядов, при котором электростатическое поле внутри
проводника обращается в нуль (рис. 1.17, б).

Отсутствие поля внутри проводника () означает, что
потенциал во всех точках внутри проводника постоянен, то есть поверхность проводника в электростатическом поле является эквипотенциальной. Отсюда же вытекает, что вектор поля направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника.

 

 

Таким образом, нейтральный проводник, внесенный в электростати-ческое поле, разрывает часть линий напряженности: они заканчиваются на
отрицательных наведенных зарядах и вновь начинаются на положительных зарядах. Индуцированные заряды распределяются на внешней поверхности проводника. Явление перераспределения поверхностных зарядов на проводнике во внешнем электростатическом поле называется электростатической индукцией.

Рассмотрим уединенный проводник, то есть проводник, который удален от других проводников, тел и зарядов. Его потенциал согласно формуле (1.17) прямо пропорционален заряду проводника. Опыт показывает, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют различные
потенциалы. Поэтому для уединенного проводника можно записать

(1.38)

 

где коэффициент пропорциональности

(1.39)

называют электрической емкостью (емкостью) проводника. Емкость уединенного проводника есть физическая скалярная величина, характеризующая способность проводника накапливать электрические заряды.

Так как заряды распределяются на внешней поверхности проводника, емкость проводника зависит от его размеров и формы, но не зависит от
материала, агрегатного состояния и наличия полостей внутри проводника.

Единицей емкости в СИ является фарад (Ф): 1 Ф – это емкость такого уединенного проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.

Согласно (1.17) потенциал уединенного шара радиуса R, находящегося
в однородной среде с диэлектрической проницаемостью , равен

Используя формулу (1.39), можно найти емкость шара:

Отсюда следует, что емкостью в 1 Ф обладал бы уединенный шар, находящийся в вакууме и имеющий радиус

что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли (электрическая емкость Земли примерно 0,7 миллифарад). Следовательно, фарад – очень большая величина, поэтому на практике используются дольные единицы фарада:
1 мкФ = 10^-6Ф, 1 нФ = 10^-9 Ф, 1 пФ = 10^-12 Ф.

Как следует из рассмотренного примера, для того, чтобы проводник
обладал значительной электроемкостью, он должен иметь очень большие геометрические размеры. На практике, однако, необходимы устройства,
обладающие способностью накапливать значительные по величине заряды при малых размерах и небольших потенциалах. Такие устройства называются конденсаторами.

Допустим, что уединенный проводник А имеет форму шара. Так как он уединенный, его заряд равномерно распределен по поверхности
и напряженность поля в точке М равна (рис. 1.18, а).
Поместим теперь справа от А незаряженный проводник В. Под действием поля шара в В произойдет перераспределение свободных носителей заряда:
на ближнем к А конце проводника В индуцируется поверхностный заряд противоположного знака, а на дальнем конце – одноименного с знака (рис. 1.18, б). В свою очередь перераспределяется по поверхности шара А
и заряд так, чтобы скомпенсировать внутри него поле зарядов, индуцированных на теле В. В результате перераспределения зарядов в проводниках А и В напряженность поля в точке М уменьшится: . Это соотношение справедливо для всех точек, лежащих на прямой ОМ слева от А. Поскольку и потенциал проводника понижается, что приводит к увеличению его емкости ().

Таким образом, конденсатор работает по принципу: электроемкость
неуединенного проводника всегда больше электроемкости того же проводника, когда он уединен.

Конденсатор представляет собой систему двух проводников (обкладок), разделенных диэлектриком. На емкость конденсатора не должны оказывать влияние окружающие тела, поэтому проводникам придают такую форму, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми зарядами, было сосредоточено
в узком зазоре между обкладками конденсатора. Этому условию удовлетворяют: а) две плоские пластины; б) два соосных цилиндра; в) две концентрические сферы. Поэтому в зависимости от геометрии обкладок конденсаторы делятся на плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряжен-ности поля начинаются на одной обкладке и кончаются на другой. Поэтому свободные заряды, возникающие на разных обкладках, являются равными по модулю разноименными зарядами.

Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная
отношению заряда , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

(1.40)

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга и имеющих заряды и . Если расстояние между пластинами мало по сравнению с их линейными размерами, то поле между обкладками можно считать однородным и его напряженность
согласно (1.27) равна

Учитывая связь между напряженностью поля и потенциалом (), разность потенциалов между пластинами, расстояние между которыми d, равна

(1.41)

Заменяя в формуле (1.40) , с учетом (1.41) получим

(1.42)

Приведем без вывода формулы для расчета емкости конденсаторов
других конструкций:

– емкость цилиндрического конденсатора

где R и r – радиусы коаксиальных цилиндров, L – длина образующей цилиндров;

– емкость сферического конденсатора

где R и r – радиусы сфер.

Конденсаторы характеризуются пробивным напряжением – такой разностью потенциалов между обкладками, при которой происходит пробой – электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от формы обкладок, свойств диэлектрика и его толщины.

Для увеличения емкости и варьирования ее возможных значений
конденсаторы соединяют в батареи. Различают два вида соединений –
параллельное и последовательное.

При параллельном соединении (рис. 1.19, а) разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова и составляет . Если емкости отдельных конденсаторов то их заряды равны

Общий заряд батареи равен сумме зарядов всех конденсаторов

Полная емкость батареи

(1.43)

то есть при параллельном соединении конденсаторов электрическая
емкость батареи равна сумме емкостей входящих в нее конденсаторов. Пробивное напряжение такой батареи равно пробивному напряжению того из конденсаторов, у которого оно наименьшее.

 

При последовательном соединении (рис. 1.19, б) заряды всех конденсаторов одинаковы и равны заряду батареи. Разность потенциалов на зажимах батареи равна сумме разностей потенциалов на обкладках каждого
из конденсаторов

где

С другой стороны,

откуда

или

(1.44)

 

то есть при последовательном соединении конденсаторов суммируются
величины, обратные емкостям входящих в батарею конденсаторов. При таком соединении электрическая емкость батареи всегда меньше наименьшей емкости конденсатора, используемого в батарее. Преимущество последовательного соединения конденсаторов состоит в том, что на каждый конденсатор приходится лишь часть разности потенциалов между клеммами батареи, что уменьшает вероятность пробоя конденсаторов.