VI.2. Вынужденные колебания. Переменный электрический ток

Для того чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо компенсировать в ней потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего
внешнего фактора , изменяющегося, например, по гармоническому закону ,

где – циклическая частота внешнего воздействия.

Если рассматривать процессы в электрическом колебательном контуре, то в качестве выступает подводимая к системе внешняя, изменяющаяся по гармоническому закону ЭДС или переменное напряжение

(6.8)

Тогда дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний в колебательном контуре с учетом (6.8) будет иметь вид

(6.9)

Решением уравнения (6.9) в установившемся режиме является гармоническая функция

где

Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в цепи
с резистором, катушкой индуктивности и конденсатором можно рассматривать как переменный электрический ток. Если подводимое к контуру внешнее напряжение периодически изменяются по гармоническому закону, то переменный ток называют синусоидальным (рис. 6.5):

или

где – мгновенное значение силы тока, то есть значение тока для каждого момента времени; – амплитудное значение силы тока.

При частоте (промышленная частота) период электромагнитных колебаний составляет .

Ввиду того, что в течение
периода сила переменного тока изменяется, о величине такого тока судят не по мгновенным значениям, а по действующему или эффективному значению I _эфф..
При этом действие переменного тока оценивают по тепловому эффекту,
который сравнивают с тепловым эффектом постоянного тока.

Действующим (эффективным) значением переменного тока называют такую величину, которая равна силе постоянного тока, выделяющего в проводнике такое же количество теплоты, что и данный переменный ток за
одно и то же время. Действующее значение переменного синусоидального
тока связано с его амплитудным значением соотношением

Для мгновенных значений синусоидальных токов выполняются закон Ома и правила Кирхгофа.

Рассмотрим цепи, содержащие резистор, катушку индуктивности, конденсатор и все три элемента, соединенные последовательно, на зажимах
которых приложено переменное напряжение

где – амплитудное значение напряжения.

1. Электрическая цепь с резистором (рис. 6.6). Сила тока, протекающего через резистор, определяется законом Ома

где – амплитуда силы тока. Очевидно, что при чисто активном (R) характере цепи сдвиг фаз колебаний тока и напряжения равен нулю (рис. 6.7).

2. Электрическая цепь с катушкой индуктивности (рис. 6.8). В катушке без потерь () будет протекать ток, если напряжение на ее выводах компенсирует ЭДС самоиндукции, то есть

откуда ток

Постоянная интегрирования А =0, так как ток изменяется по гармони-ческому закону, то есть не имеет постоянной составляющей. Очевидно, что амплитуда тока в цепи с катушкой

где – индуктивное сопротивление, зависящее от частоты. При (при протекании постоянного тока) .

Таким образом, в цепи с катушкой индуктивности колебания силы тока отстают по фазе на от колебаний напряжения (рис. 6.9).

3. Электрическая цепь с конденсатором (рис. 6.10). Если пренебречь
активным сопротивлением соединительных проводов и обкладок конден-сатора, то напряжение на конденсаторе будет равно напряжению
на зажимах цепи, то есть откуда заряд конденсатора

 

 

Сила тока в цепи конденсатора

 

 

где , – емкостное сопротивление цепи. Чем меньше частота , тем больше . Поэтому в цепи постоянного тока () и конденсатор не проводит электрический ток.

Таким образом, в цепи с конденсатором колебания силы тока опережают по фазе на колебания напряжения (рис. 6.11).

Рассмотрим теперь электрическую цепь из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис. 6.12).

 

 

По второму правилу Кирхгофа для мгновенных значений напряжение на зажимах цепи равно сумме напряжений на отдельных элементах

Построим векторную диаграмму цепи с учетом полученных ранее фазовых соотношений: а) напряжение на резисторе совпадает по фазе с током;
б) напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на ;
в) напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на (рис. 6.13).

Из векторной диаграммы найдем модуль действующего значения
напряжения

где – реактивная составляющая напряжения.

Учитывая, что , , , получим

где Z – полное сопротивление цепи. Выражение

(6.10)

называется законом Ома для цепи переменного тока.

Разность называют реактивным сопротивлением. Из
векторной диаграммы следует, что угол сдвига фаз между током и напря-жением для рассматриваемой схемы

(6.11)

 

Если , цепь имеет индуктивный характер, ; если , цепь имеет емкостный характер, ; если , то реактивное сопротивление цепи , и цепь имеет активный характер даже при
наличии в ней L и C.

Мгновенная мощность, развиваемая
в цепи переменного тока, равна произведению мгновенных значений силы тока и напряжения:

(6.12)

Среднее за период значение мгновенной мощности называют активной мощностью тока в электрической цепи:

(6.13)

 

Из-за наличия сдвига фаз знаки
у тока и напряжения в данный момент времени могут быть разные. Поэтому мгновенная мощность может быть
отрицательной в некоторые доли
периода переменного тока, что означает возвращение энергии из цепи источнику тока.

На рис. 6.14 приведены графики
изменения мгновенной мощности при различных углах сдвига фаз между
колебаниями напряжения и тока.

При в любой момент времени мощность положительна, она
расходуется в цепи на совершение различных видов работы. При в отдельные промежутки времени мощность отрицательна. Это объясняется тем, что при наличии в цепи катушки индуктивности возрастание тока приводит к созданию в ней магнитного поля, которое обладает
запасом энергии. При уменьшении силы тока магнитное поле исчезает
и запасенная в нем энергия возвращается к источнику тока (генератору). Аналогичный процесс происходит при наличии в цепи конденсатора:
в течение той четверти периода, когда происходит зарядка конденсатора, энергия в нем запасается, а когда конденсатор разряжается, он отдает в цепь запасенную энергию.

При положительная мощность равна отрицательной мощности, работа тока за период равна нулю, следовательно, средняя мощность также равна нулю. При этом периодически энергия запасается в магнитном и электрическом полях, а затем снова передается генератору. Последний случай возможен лишь при R =0.

Подставив (6.12) в (6.13) и выполнив преобразования, найдем среднее значение мощности переменного тока:

, (6.14)

где – косинус угла сдвига фаз, который называется коэффициентом мощности.

Формула (6.14) показывает, что развиваемая в цепи переменного тока мощность зависит не только от силы тока и напряжения, но и от сдвига фаз между напряжением и током.

Коэффициент мощности характеризует потери энергии в цепи
и, следовательно, является важнейшей технико-экономической характе-ристикой при проектировании электрооборудования переменного тока. Если нагрузки в цепи имеют большие емкостные и индуктивные сопротивления, то и может быть много меньше единицы. В этих случаях для
передачи требуемой активной мощности Р (при заданном напряжении)
необходимо увеличивать силу тока, что приводит к выделению в цепи большого количества теплоты. Поэтому приходится либо увеличивать
сечение проводов (R~1/S), либо распределять реактивные нагрузки так,
чтобы был по возможности ближе к единице.