I.9. Энергия электростатического поля

 

Электростатические силы взаимодействия консервативны, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией. Пусть имеется уединенный проводник, заряд емкость и потенциал которого соответственно равны , и . Увеличим заряд этого проводника на . Это связано с совершением работы по преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Совершаемая работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника. Следовательно, элементарная работа , совершаемая внешними силами при переносе малого заряда из бесконечности на уединенный проводник, равна

где потенциал проводника, начало отсчета которого выбрано в бесконечно удаленной точке.

Работа, совершаемая при увеличении потенциала проводника от 0 до , то есть при сообщении проводнику заряда , равна

(1.45)

Энергия заряженного уединенного проводника равна той работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить этот проводник, то есть

(1.46)

Определим энергию заряженного конденсатора. Если заряд конденсатора, а разность потенциалов между его обкладками,
то для переноса малого заряда с одной обкладки на другую внешние
силы должны совершить работу

Следовательно, работа по увеличению заряда конденсатора от 0 до равна

Соответственно, энергия заряженного конденсатора

(1.47)

Учитывая, что конденсатор – это система из двух проводников 1 и 2,
заряды которых и , формулу (1.47) можно переписать
в следующем виде:

Отсюда вытекает, что энергия системы из n неподвижных заряженных проводников

(1.48)

где заряд i -проводника; потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд , всеми зарядами, кроме i -го.

Используя выражение (1.47), можно определить механическую силу,
с которой пластины конденсатора притягивают друг друга. Для этого предположим, что расстояние х между обкладками меняется на величину dx.
Тогда действующая сила совершает работу за счет уменьшения потенциальной энергии системы

 

откуда

где

 

Тогда искомая механическая (пондеромоторная) сила равна

 

 

где знак «минус» указывает, что сила F является силой притяжения.

Преобразуем выражение (1.47), подставив в него и . Тогда получим формулу, связывающую энергию электростатического поля плоского конденсатора с напряженностью

 

(1.49)

 

где объем конденсатора.

Объемная плотность энергии (энергия единицы объема) электростатического поля определяется как

 

(1.50)

 

Краткие выводы

· Электрическое поле – это особая форма существования материи, связанная с электрическими зарядами и осуществляющая взаимодействие между заряженными телами. Электрический заряд является физической величиной, определяющей интенсивность электромагнитных взаимодействий.

· Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется (закон сохранения электрического заряда). Электрические заряды не создаются и не исчезают, они лишь передаются от одного тела к другому или перераспределяются внутри данного тела.

· Раздел электродинамики, в котором изучается взаимодействие неподвижных электрических зарядов, называется электростатикой. Такое взаимо-действие осуществляется посредством электростатического поля.

· Неподвижные точечные электрические заряды взаимодействуют
в вакууме с силой, определяемой законом Кулона:

· Силовой характеристикой электростатического поля является напряженность. Она численно равна силе, действующей со стороны поля на единичный положительный заряд, помещенный в данную точку поля:

· Напряженности полей, создаваемых отдельными зарядами, складываются геометрически (принцип суперпозиции):

· Электростатическое поле является потенциальным, то есть работа, совершаемая при перемещении заряда, не зависит от траектории, а определяется лишь начальным и конечным положениями заряда. Эта работа численно равна изменению потенциальной энергии:

· Энергетической характеристикой поля является потенциал. Он характеризует потенциальную энергию, которой обладал бы положительный
единичный заряд, помещенный в данную точку поля:

· Потенциал в какой-либо точке электрического поля, образованного системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом системы:

· Разность потенциалов – это скалярная физическая величина, опре-деляемая работой, совершаемой кулоновскими силами при перемещении положительного единичного заряда из одной точки поля в другую:

· Силовая и энергетическая характеристики поля связаны между собой соотношением

то есть напряженность поля равна градиенту потенциала со знаком «минус». Это означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен в сторону убывания потенциала. В случае однородного поля (например,
поля плоского конденсатора) модуль напряженности определяется по формуле

· Вычисление напряженности поля большой системы электрических
зарядов с помощью принципа суперпозиции электростатических полей можно упростить, используя теорему Гаусса:

то есть поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

· При внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит его поляризация. Поляризованный диэлектрик создает собственное поле, которое внутри диэлектрика ослабляет внешнее электрическое поле в раз:

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, то есть

· Способность проводника накапливать электрические заряды характеризуется электрической емкостью:

Электрическая емкость не зависит от заряда проводника, а определяется его геометрическими размерами и формой, расположением относительно других проводников и электрическими свойствами окружающей среды.

· Емкостью конденсатора называется физическая величина, равная
отношению заряда , накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов между его обкладками:

Электрическая емкость плоского конденсатора

 

· Заряженный конденсатор обладает энергией

 

· Энергия конденсатора сосредоточена в электрическом поле. Объемная плотность энергии электростатического поля определяется следующим образом:

 

Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что представляет собой электрическое поле, и какими свойствами
оно обладает? Какое поле называют электростатическим?

2. Что такое электрический заряд? Какой электрический заряд называют точечным?

3. Сформулируйте закон сохранения электрического заряда.

4. Сформулируйте закон Кулона.

5. Что называют напряженностью электрического поля? Какое поле
называется однородным? Сформулируйте принцип суперпозиции полей.

6. Что называют циркуляцией вектора напряженности электростати-ческого поля?

7. Что является энергетической характеристикой электрического поля? Как связаны между собой напряженность и потенциал электростатического поля?

8. Сформулируйте теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме. С какой целью она применяется?

9. Какие вещества называют диэлектриками? В чем состоит явление
поляризации диэлектрика?

10. Что характеризует электрическая емкость проводника, от чего она
зависит?

11. Что представляет собой конденсатор? Из каких соображений выбирается геометрия его обкладок? Как рассчитывается емкость батареи
конденсаторов при их параллельном и последовательном соединениях?

12. Как определяется энергия уединенного проводника, заряженного конденсатора?

Примеры решения задач

Задача 1. Два шарика массой по 1г каждый подвешены на нитях, верхние концы которых соединены вместе. Длина каждой нити 10см. Какие одинаковые заряды надо сообщить шарикам, чтобы нити разошлись на угол 60⁰?

Дано:
Найти:

Решение

Условие равновесия шариков имеет вид (рис. 1.20):

Рис. 1.20

где кулоновская сила, сила натяжения нити. В проекциях на оси Оx и Оy это условие примет вид:

откуда

или

где .

Искомый заряд

Подставляя числовые данные, получим

Ответ:

 

Задача 2. Два точечных электрических заряда
и находятся в воздухе на расстоянии друг от друга. Определить напряженность и потенциал поля, создаваемого этими зарядами в точке А
(рис. 1.21), если и .

Дано: ; ; ; ; ; .

Найти:

Решение

Напряженность результирующего поля в точке А равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых зарядами и , то есть

На рисунке вектор направлен от заряда , так как этот заряд положительный, вектор направлен в сторону заряда , так как этот заряд отрицательный. Вектор напряженности результирующего поля определяется как геометрическая сумма и . Модуль этого вектора найдем по
теореме косинусов

,

где

Подставляя исходные числовые данные в указанные формулы, получим .

Потенциал результирующего поля, созданного двумя зарядами
и , равен алгебраической сумме потенциалов

где

Потенциал является положительным, так как поле создано положительным зарядом ; потенциал является отрицательным, так как поле создано отрицательным зарядом . Подставляя числовые данные, получим

Ответ:

 

Задача 3. На металлической сфере радиусом 15см находится заряд 2 нКл. Определить напряженность электростатического поля:
1) на расстоянии 10см от центра сферы;
2) на поверхности сферы; 3) на расстоянии 20см от центра сферы. Построить график
зависимости напряженности от расстояния.

Дано:

Найти:

Решение

Согласно теореме Гаусса, .

Тогда:

Рис. 1. 22

а) при

б) при откуда

в) при откуда

Подставляя числовые данные, получим
График приведен на рис. 1.22.

Ответ:

Задача 4. Определить эквивалентную емкость
в цепи, изображенной на рис. 1.23.

Дано:

Найти:

Решение

В задачах подобного типа можно использовать метод, связанный с определением точек цепи,
в которых потенциалы равны. Тогда схему можно упростить, соединив эти точки (рис. 1.24, а) или исключив конденсаторы, присоединенные к этим точкам (рис. 1.24, б), так как они не могут накапливать заряды и, следовательно, не играют роли при их распределении.

В заданной схеме вследствие симметрии и равенства емкостей пар конденсаторов поэтому

Найдем эквивалентную емкость цепи двумя способами:

а) согласно схеме (рис. 1.24, а),

откуда

 

б) согласно схеме (рис. 1.24, б),

Ответ:

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Расстояние между зарядами и равно 10см. Определить силу, действующую на заряд , отстоящий на 12см от заряда и на 10 см от заряда . (Ответ: 51мН).

2. Расстояние между зарядами и равно 55 см. Определить напряженность поля в точке, потенциал в которой равен нулю, если точка лежит на прямой, проходящей через заряды. (Ответ: 3960В/м
и 2170 В/м).

3. Электрический диполь образован двумя равными по величине и противоположными по знаку зарядами и , находящимися на расстоянии 0,5 см друг от друга. Определить напряженность электрического поля в точке, лежащей на перпендикуляре к середине оси диполя
на расстоянии 1 м от него. (Ответ: 0,45 В/м).

4. Определить модуль и направление силы F взаимодействия положительного заряда Q и диполя с плечом d. Заряд Q находится в точке, расположенной на одинаковом расстоянии r от каждого из зарядов диполя.
(Ответ: ).

5. В трех вершинах квадрата со стороной а находятся одинаковые положительные заряды q. Найти напряженность электрического поля в четвертой вершине. (Ответ: ).

6. Два одинаковых одноименно заряженных шарика, подвешенные на нитях одинаковой длины, опускают в жидкий диэлектрик, плотность которого и диэлектрическая проницаемость . Какова должна быть
плотность материала шариков, чтобы углы расхождения нитей в воздухе
и в диэлектрике были одинаковыми? (Ответ: ).

7. На шероховатой горизонтальной поверхности закреплен заряд q ₁. Тело массой m, имеющее заряд q ₂, может перемещаться по поверхности. На
каком расстоянии от заряда q ₁ тело остановится, если в начальный момент оно покоилось и находилось на расстоянии L ₀ от заряда q ₁? Заряды q ₁ и q ₂ одного знака. Коэффициент трения равен m.

(Ответ: ).

8. Сосуд с маслом, диэлектрическая проницаемость которого ,
помещен в однородное вертикальное электростатическое поле. В масле находится во взвешенном состоянии алюминиевый шарик диаметром , имеющий заряд Определить напряженность внешнего электрического поля Е, если плотность алюминия , плотность масла . (Ответ: ).

9. Шарик массой , несущий заряд , подвешен в поле тяжести на нити длиной 3 см. Над точкой подвеса на расстоянии от нее помещен заряд . Шарик с нитью отклоняют от положения равновесия на угол и отпускают. Найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. (Ответ: 0,89м/с).

10. Четыре одинаковые частицы, каждая из которых имеет массу и заряд , поместили на горизонтальную поверхность в вершинах квадрата со стороной . Затем частицы одновременно освободили, после чего они стали симметрично разлетаться под действием кулоновских сил. Определить максимальные скорости частиц. (Ответ: 0,11м/с).

11. Шарик массой m = 2 г и зарядом Кл подвешен на нити
и движется по окружности радиусом R= 0,03м с угловой скоростью рад/с. В центре окружности поместили шарик с таким же зарядом. Какой должна стать угловая скорость вращения шарика, чтобы радиус окружности не изменился? Принять g= 10 м/с. (Ответ: рад/с).

12. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе находится
в равновесии заряженная капелька ртути при напряженности поля 600В/м. Заряд капли равен . Определить радиус капли. Плотность ртути 13600 кг/м³. (Ответ: 0,44 мкм).

13. Поверхностная плотность заряда бесконечно протяженной вертикальной плоскости равна К плоскости на нити подвешен одноименно заряженный шарик массой 1 г и зарядом 1 нКл. Какой угол
с плоскостью образует нить, на которой висит шарик? (Ответ: 13^о).

14. Электростатическое поле создается сферой радиусом 5 см, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1 нКл/м². Определить разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях и от центра сферы. (Ответ: ).

15. Радиус центральной жилы коаксиального кабеля 1,5 см, радиус оболочки 3,5 см. Между центральной жилой и оболочкой приложена разность
потенциалов 2,3 кВ. Определить напряженность электрического поля на расстоянии 2 см от оси кабеля. (Ответ: 136 кВ/м).

16. Два конденсатора емкостью соответственно и соединены последовательно. Разность потенциалов на зажимах этой батареи 9 В. Определить заряды и разность потенциалов на обкладках каждого конденсатора. (Ответ: ).

17. Определить емкость батареи конденсаторов, изображенной на рис. 1.25. Емкость каждого
конденсатора 1 мкФ. (Ответ: 0,286мкФ).

18. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 500 В. Площадь пластин 200 см², расстояние между ними . Пластины раздвинули до расстояния . Найти энергию конденсатора до и после раздвижения пластин, если источник напряжения перед раздвижением: 1) отключался; 2) не отключался.

 

(Ответ: 1) ;

2) ).

19. Емкость батареи одинаковых конденсаторов равна 2/3 С, где С –
емкость одного конденсатора. Какому из приведенных соединений конденсаторов (рис. 1.26) это соответствует? (Ответ: 4).