Работа сил электростатического поля. Потенциал

 

Электрическое поле, подобно гравитационному, является потенциальным. Т.е. работа, выполняемая электростатическими силами, не зависит от того, по какому маршруту заряд q перемещен в электрическом поле из точки 1 в точку 2. Эта работа равна разности потенциальных энергий, которыми обладает перемещаемый заряд в начальной и конечной точках поля:

А_1,2 = W₁ – W₂. (7)

 

Можно показать, что потенциальная энергия заряда q прямо пропорциональна величине этого заряда. Поэтому в качестве энергетической характеристики электростатического поля используется отношение потенциальной энергии пробного заряда q₀, помещенного в какую-либо точку поля, к величине этого заряда:

 

. (8)

 

Эта величина представляет собой количество потенциальной энергии на единицу положительного заряда и называется потенциалом поля в заданной точке. [φ] = Дж / Кл = В (Вольт).

Если принять, что при удалении заряда q₀ в бесконечность (r→ ∞) его потенциальная энергия в поле заряда q обращается в нуль, то потенциал поля точечного заряда q на расстоянии r от него:

 

. (9)

 

Если поле создаётся системой точечных зарядов, то потенциал результирующего поля равен алгебраической (с учётом знаков) сумме потенциалов каждого из них:

 

. (10)

 

Из определения потенциала (8) и выражения (7) работа, совершаемая силами электростатического поля по перемещению заряда из

 

точки 1 в точку 2, может быть представлена как:

 

(11)

 

НАПРЯЖЁННОСТЬ КАК ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА

Найдем взаимосвязь между напряженностью Е электростатического поля, являющейся его силовой характеристикой, и потенциалом φ – энергетической характеристикой поля.

Работа по перемещению точечного, положительного заряда q вдоль произвольного направления х из точки 1 в бесконечно близкую к ней точку 2, х ₂ – х ₁ = d х, будет равна: А_1,2 = q· Е _х ∙d х или через потенциал: А_1,2 = q(φ₁ – φ₂) = - q ·dφ. Откуда:

 

, (12)

 

т.е. напряженность поля равна градиенту потенциала, взятому со знаком минус. Это означает, что направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля пользуются эквипотенциальными поверхностями – поверхность, во всех точках которой потенциал φ имеет одно и то же значение. Для точечных зарядов в однородной среде, например, эти поверхности представляют собой сферы (рис.133а Трофимова, стр139).

Для любой точки поля линии напряженности всегда направлены по нормали к эквипотенциальным поверхностям. (рис.133б Трофимова, стр139).

 

Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Й Д И П О Л Ь

 

Электрический диполь – система двух равных по величине разноименных точечных зарядов +q и -q, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до рассматриваемых точек поля. Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Вектор , направленный от отрицательного заряда к положительному и равный по модулю расстоянию между ними, называется плечом диполя. Вектор ,

, (13)

 

называется электрическим моментом диполя или дипольным моментом.

Определим потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке M на расстоянии r от середины диполя. Потенциал поля в точке М:

 

(14)

 

Учитывая, что l ‹‹ r, r₊ ≈ r_- = r и r_- – r₊ ≈ l cos(π-θ), окончательно для φ получим:

. (15)

 

В соответствии с принципом суперпозиции напряженность поля диполя . Вывод формулы для модуля напряженности поля диполя более сложен. Запишем эту формулу без вывода:

 

(16)

 

Э Н Е Р Г И Я Э Л Е К Т Р О С Т А Т И Ч С К О Г О П О Л Я

 

Определим объёмную плотность энергии электрического поля. Для этого рассмотрим процесс зарядки плоского конденсатора, как работу по разделению зарядов между обкладками. Перенесём заряд dq с одной обкладки на другую. Работа dА, которая при этом будет совершена:

dА = dq∙u = C∙u∙du, (17)

 

где u – мгновенное значение разности потенциалов на конденсаторе, С – его ёмкость. Проинтегрируем правую и левую часть равенства:

. (18)

 

С учётом формулы для электроёмкости плоского конденсатора, получим:

, (19)

 

где V – объём конденсатора, Е – напряжённость поля, а ε – диэлектрическая проницаемость среды между обкладками. Выражение

 

(20)

 

определяет энергию единицы объёма поля и называется объёмной плотностью энергии поля.