Потенциал поля точечного заряда

Оглавление

Введение

1. Теоретические сведения

1.1 Электрическе поле

1.2 Поле точечного заряда

1.3 Распределение зарядов

1.4 Потенциал

1.5 Потенциал поля точечного заряда

1.6 Потенциал поля системы зарядов

1.7 Связь между потенциалом и напряженностью поля

1.8 Эквипотенциальные поверхности

2. Средства среды MathCAD

2.1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.2 Простейшиевычисления в среде MathCad

3. Анализ распределения потенциала с использованием компьютерной программы Mathcad

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Электростатика - раздел электродинамики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов. В повседневной жизни человек постоянно сталкивается с примерами электростатического взаимодействия тел. Рамки электростатического влияния охватывают каждый атом, как на земле, так и за её пределами, включая, как и простую расческу, так и земной шар. Однако в общеобразовательных учебных заведениях, зачастую рассматриваются лишь теоретические аспекты электростатики, и опускается реальное применение, да никто об этом особо и не задумывается, а ведь оно на использовании её законов видно чуть ли не на каждом шагу: к примеру на свойстве металлических проводников экранировать пространство от внешних полей основано его применение для электростатической защиты хоть в той же медицине (аппаратура, пациенты, обслуживающий персонал, окруженные проводящей металлической сеткой, не испытывают воздействия внешних электрических полей, что необходимо как для безопасности больного да врача, так и для предотвращения искажений при снятии, например электрокардиограммы). Поэтому исследование электростатических полей является актуальным и на сегодняшний день.

Теоретические сведения

Электрическое поле

Согласно современным представлениям взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства - создает электрическое поле.

Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, "пробный", заряд испытывает действие силы.

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

F= qE (1.1)

где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор Е, как видно из (1.1), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q' должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда.

Поле точечного заряда

Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

Где -электрическая постоянная, ε - электрическая проводимость среды, - орт радиуса-вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент

заряд qвыражается в кулонах (Кл), напряженность поля ε - в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему.

По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулона, но в "полевой" форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния г.

Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10~ ¹³ см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится и к системе не подвижных зарядов.

Распределение зарядов

Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они "размазаны" определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению

где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.

С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q_iна dq = pdV и сумму на интеграл, тогда

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля. Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями. Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала его проекции Е_x, Е_y, Е_z, а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.

Потенциал

До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания - с помощью потенциала φ (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл

представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками (из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил, является консервативным, то есть работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки), позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ (r), убыль которой

где φ₁ и φ₂ - значения функции φ в точках 1 и 2. Так определенная величина φ (r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.7) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал - это величина, численно равная потенциальной энергии единичногоположительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки Ополя можно условно приписать любое значение φ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.7) однозначно. Если изменить φ₀ на некоторую величину Δφ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал φ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

График X-Y

Полярный график

График Поверхностей

Линии Уровня

Заключение

Справившись с поставленной задачей, мы можем по имеющимся рисункам судить о поле, создаваемым точечным зарядом. По густоте линий равного потенциала можно судить о наибольшей напряженности вокруг заряженного тела. Итак, такая картина напоминает изображение линий равного потенциала и силовых линий поля точечного заряда. В результате выполнения работы была создана компьютерная программа в среде программирования MathCad, которая является самой оптимальной программой для реализации поставленной задачи. Созданная программа позволяет решить задачу как рассчитать потенциал электрического поля создаваемого зарядом q.

Список использованной литературы

1. Иродов И.У. Основные законы электромагнетизма-2е изд., стереотип. - М. Высш. шк. М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1991-289 с.

2. Клюбин В.В. Курс общей физики: учеб. пособие. ч.3. Электростатика. Постоянный ток. СПб.: СПбГМТУ, 2005 -. - В надзаг.: С. - Петерб. гос. мор. техн. ун-т. - 2006. - 217 с

3. Смайт В. Электростатика и электродинамика. М. - издательство иностранной лин-ры. 1954 - 605 с.

Оглавление

Введение

1. Теоретические сведения

1.1 Электрическе поле

1.2 Поле точечного заряда

1.3 Распределение зарядов

1.4 Потенциал

1.5 Потенциал поля точечного заряда

1.6 Потенциал поля системы зарядов

1.7 Связь между потенциалом и напряженностью поля

1.8 Эквипотенциальные поверхности

2. Средства среды MathCAD

2.1 ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.2 Простейшиевычисления в среде MathCad

3. Анализ распределения потенциала с использованием компьютерной программы Mathcad

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Электростатика - раздел электродинамики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов. В повседневной жизни человек постоянно сталкивается с примерами электростатического взаимодействия тел. Рамки электростатического влияния охватывают каждый атом, как на земле, так и за её пределами, включая, как и простую расческу, так и земной шар. Однако в общеобразовательных учебных заведениях, зачастую рассматриваются лишь теоретические аспекты электростатики, и опускается реальное применение, да никто об этом особо и не задумывается, а ведь оно на использовании её законов видно чуть ли не на каждом шагу: к примеру на свойстве металлических проводников экранировать пространство от внешних полей основано его применение для электростатической защиты хоть в той же медицине (аппаратура, пациенты, обслуживающий персонал, окруженные проводящей металлической сеткой, не испытывают воздействия внешних электрических полей, что необходимо как для безопасности больного да врача, так и для предотвращения искажений при снятии, например электрокардиограммы). Поэтому исследование электростатических полей является актуальным и на сегодняшний день.

Теоретические сведения

Электрическое поле

Согласно современным представлениям взаимодействие между зарядами осуществляется через поле. Всякий электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства - создает электрическое поле.

Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, "пробный", заряд испытывает действие силы.

Опыт показывает, что сила F, действующая на неподвижный точечный пробный заряд q, всегда может быть представлена как

F= qE (1.1)

где вектор Е называют напряженностью электрического поля в данной точке. Вектор Е, как видно из (1.1), можно определить как силу, действующую на единичный положительный неподвижный заряд. Здесь предполагается, что пробный заряд q' должен быть достаточно малым, чтобы его внесение не вызвало заметного искажения интересующего нас поля (вследствие возможного перераспределения создающих поле зарядов).

Поле точечного заряда.

Поле точечного заряда

Из опыта (закон Кулона) непосредственно следует, что напряженность поля неподвижного точечного заряда q на расстоянии r от него можно представить как

Где -электрическая постоянная, ε - электрическая проводимость среды, - орт радиуса-вектора г, проведенного из центра поля, в котором расположен заряд q, до интересующей нас точки. Формула (1.2) записана в СИ. Здесь коэффициент

заряд qвыражается в кулонах (Кл), напряженность поля ε - в вольтах на метр (В/м). В зависимости от знака заряда q вектор Е направлен так же, как и r, или противоположно ему.

По существу формула (1.2) выражает не что иное, как закон Кулона, но в "полевой" форме. Весьма важно, что напряженность Е поля точечного заряда обратно пропорциональна квадрату расстояния г.

Вся совокупность экспериментальных фактов показывает, что этот закон справедлив для расстояний от 10~ ¹³ см до нескольких километров, и пока нет никаких оснований ожидать, что этот закон не выполняется и при больших расстояниях.

Заметим еще, что в поле, создаваемом неподвижным точечным зарядом, сила, действующая на пробный заряд, не зависит от того, покоится пробный заряд или движется. Это относится и к системе не подвижных зарядов.

Распределение зарядов

Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру (электроны, ядра), и считать, что они "размазаны" определенным образом в пространстве. Другими словами, удобно заменить истинное распределение точечных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением. Это позволяет значительно упрощать расчеты, не внося сколько-нибудь значительной ошибки.

При переходе к непрерывному распределению вводят понятие о плотности зарядов - объемной ρ, поверхностной σ и линейной λ. По определению

где dq - заряд, заключенный соответственно в объеме dV, на поверхности dS и на длине dl.

С учетом этих распределений формула (1.3) может быть представлена в другой форме. Например, если заряд распределен по объему, то надо заменить q_iна dq = pdV и сумму на интеграл, тогда

где интегрирование проводится по всему пространству, в котором ρ отлично от нуля. Таким образом, зная распределение зарядов, мы можем полностью решить задачу о нахождении напряженности электрического поля по формуле (1.3), если распределение дискретно, или по формуле (1.5) и аналогично ей, если распределение непрерывно. В общем случае расчет сопряжен со значительными трудностями. Действительно, для нахождения вектора Е надо вычислить сначала его проекции Е_x, Е_y, Е_z, а это по существу три интеграла типа (1.5). И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача, как правило, значительно облегчается.

Потенциал

До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания - с помощью потенциала φ (заметим сразу, что оба эти способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, второй способ обладает рядом существенных преимуществ.

Тот факт, что линейный интеграл

представляющий собой работу сил поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2, не зависит от пути между этими точками (из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил, является консервативным, то есть работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки), позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат φ (r), убыль которой

где φ₁ и φ₂ - значения функции φ в точках 1 и 2. Так определенная величина φ (r) называется потенциалом поля. Из сопоставления выражения (1.7) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал - это величина, численно равная потенциальной энергии единичногоположительного заряда в данной точке поля.

Потенциалу какой-либо произвольной точки Ополя можно условно приписать любое значение φ₀. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.7) однозначно. Если изменить φ₀ на некоторую величину Δφ, то на такую же величину изменятся и потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал φ определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля.

Единицей потенциала является вольт (В).

Потенциал поля точечного заряда

Формула (1.7) содержит не только определение потенциала φ, но и способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл по любому пути между двумя точками и представить затем полученный результат в виде убыли некоторой функции, которая и есть ср (г). Можно поступить и проще. Воспользуемся тем, что формула (1.23) справедлива не только для конечных перемещений, но и для элементарных dl. Тогда согласно этой формуле элементарная убыль потенциала на этом перемещении есть

электростатическое поле заряженное тело

Другими словами, если известно поле Е (г), то для нахождения φ надо представить Еdl (путем соответствующих преобразований) как убыль некоторой функции. Эта функция и есть φ.

Найдем таким способом потенциал поля неподвижного точечного заряда:

где учтено, что dl = l (dl) _r, ибо проекция вектора dl на вектор , а значит, и на r равна приращению модуля вектора r, т.е. dr. Величина, стоящая в круглых скобках под знаком дифференциала, и есть φ (r). Так как присутствующая здесь аддитивная константа никакой физической роли не играет, ее обычно опускают, стремясь выражение для φ сделать проще. Таким образом, потенциал поля точечного заряда

Отсутствие в этом выражении аддитивной константы означает, что мы условно полагаем потенциал на бесконечности (r→∞) равным нулю.

Познавательные статьи:



Как правильно слушать собеседника

Типичные ошибки при выполнении бросков в баскетболе

Принятие христианства на Руси и его значение

Средства массовой информации США