Связь напряженности электрического поля и потенциала.

Теорема о циркуляции вектора .

И напряжённость и потенциал описывают один объект – электростатическое поле. Найдем связь между ними, исходя из выражения для работы в дифференциальной форме: .

Если поделить это выражение на величину пробного заряда q, то получим или или для одномерного случая. В общем виде это выражение записывается как: (произносится так: «напряженность поля равна со знаком минус градиенту потенциала φ»), где . Можно также вычислить разность потенциалов двух точек поля: . Физический смысл имеет разность потенциалов, она численно равна работе поля при перемещении единичного заряда из одной точки поля в другую; начало отсчёта потенциала (т.е. где положить его равным нулю) выбирается произвольно из соображений удобства в рамках конкретной задачи. Например, выбирают потенциал, равным нулю на бесконечности. Тогда потенциал в некоторой точке поля численно равен работе поля при перемещении единичного заряда из этой точки в бесконечность: . Если единичный заряд возвращается в начальную точку, то работа электростатических сил по замкнутому контуру равна нулю: . Это соотношение носит название теоремы о циркуляции, а сам интеграл называется циркуляцией вектора по замкнутому контуру ℓ.

 

Линии поля

Для наглядности принято изображать векторное электрическое поле в пространстве (или на плоскости) с помощью линий электрического поля, которые строятся по следующим правилам: - вектор электрического поля в каждой точке

пространства направлен по касательной к линии поля в этой точке; - направление вектора поля совпадает с направлением линии поля; - густота линий поля отражает величину вектора поля в данной области

пространства; - линии поля начинаются на положительных зарядах и кончаются на

отрицательных; либо приходят из бесконечности и уходят в бесконечность; - поскольку в каждой точке пространства поле определено однозначно, линии поля

не могут пересекаться.

Эквипотенциальные поверхности Геометрическое место точек в пространстве, имеющих одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью (на плоскости - эквипотенциальной линией). Из связи между вектором электрического поля и потенциалом следует, что эквипотенциальные поверхности всегда перпендикулярны линиям электрического поля. Действительно, если две точки на расстоянии dr имеют одинаковые потенциалы (т.е., dφ =0), то из соотношения dφ = - E·dr·cosα = 0, следует, что вектор и вектор , соединяющий две точки на эквипотенциали, взаимно перпендикулярны (α=90⁰). Если между соседними поверхностями одинаковая разность потенциалов, то густота эквипотенциалей, как и густота линий поля, будет отражать величину электрического поля в пространстве.

Теорема Гаусса Потоком напряжённости электрического поля (или просто потоком электрического поля) dФ в вакууме через площадку dS называется величина: . Вектор площади направлен по нормали к её поверхности, а его модуль равен площади площадки dS. (У площадки две стороны, поэтому всегда надо оговаривать, какую нормаль принимать за положительную). Рассчитаем поток вектора через сферическую поверхность радиуса r для поля, создаваемого точечным зарядом q, находящимся внутри этой поверхности: . Этот результат оказывается справедливым для замкнутой поверхности произвольной формы и для любого количества зарядов внутри такой поверхности и получил название теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме. Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов , охватываемых поверхностью S, деленной на электрическую постоянную ε ₀: .

.

Напряженность и потенциал поля заряженной плоскости Для вычисления поля, создаваемого бесконечной заряженной плоскостью, воспользуемся теоремой Гаусса, и в качестве гауссовой поверхности выберем куб со стороной 2 r. Очевидно, что линии поля направлены перпендикулярно влево и вправо от плоскости, поэтому поток поля через поверхность куба будет состоять только из потока через две стороны куба, перпендикулярных линиям поля и параллельных плоскости. Теорема Гаусса запишется в виде: .

Таким образом, бесконечная заряженная плоскость создаёт в пространстве однородное поле: . За нуль потенциала примем потенциал плоскости; тогда потенциал φ=φ₂ поля на расстоянии х от плоскости будет:

.

Графики напряженности и потенциала поля заряженной плоскости:

 

Расчеты напряженности и потенциала полей, создаваемых заряженными шаром и цилиндром проводятся аналогично.

Конденсатор.

Две бесконечные пластины, заряженные одинаковыми по величине, но разноимёнными зарядами, создают поле, сконденсированное между пластинами; за пластинами поле отсутствует (между пластинами поля от каждой пластины арифметически складываются: E=σ/ε₀, за пластинами – вычитаются E=0).

Подобные устройства называются конденсаторами электрического поля или просто конденсаторами. Обычно рассматривают плоские, сферические или цилиндрические конденсаторы.

Проводники Проводниками называют вещества, содержащие свободные электрические заряды, то есть такие, которые могут свободно перемещаться по объёму проводника под действием электрического поля. Все металлы являются проводниками.

При помещении незаряженного изолированного проводника во внешнее электрическое поле свободные электрические заряды под действием внешнего поля перемещаются так, что края проводника оказываются заряженными; индуцированные на краях проводника заряды создают собственное поле; разделение зарядов продолжается до тех пор, пока внешнее поле и поле индуцированных зарядов не сравняются по величине; при этом суммарное поле в проводнике исчезнет, движение зарядов прекратится.

Если зарядить изолированный проводник, то избыточные электрические заряды отталкиваются и распределятся только на поверхности проводника. Так как внутри проводника нет нескомпенсированных электрических зарядов, то, согласно теореме Гаусса, электрическое поле и внутри заряженного проводника равно нулю. Заряды должны распределиться по поверхности проводника таким образом, что бы эта поверхность была эквипотенциальной. Иначе вдоль поверхности существовала бы разность потенциалов, что приводило бы к перемещению зарядов, то есть отсутствию равновесия. Электрическое поле, созданное зарядами на изолированном проводнике, всегда направлено перпендикулярно поверхности проводника. Его легко рассчитать по теореме Гаусса: . Это поле не приводит к движению зарядов, ибо заряды не могут покинуть проводник (на поверхности металла существует потенциальный барьер, "запирающий" электроны внутри металла, так называемая "работа выхода электрона из металла").