ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ.



Корпускулярно-волновой дуа­лизм света.Т.о., в одних опытах (дифракция, интерференция, поляризация) свет проявляет волновые свойства, в других же (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона) он ведет себя как поток частиц-фотонов, но никогда не проявляет волновые и корпускулярные свойства одновременно. Волновая и квантовая теории света допол­няют друг друга. Двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуа­лизма света и находит свое выражение в формулах, определяю­щих основные характеристики фотонов. Как видно из этих формул, корпускулярные характеристики фотона – энергия εf = hv иимпульс рf = hv/c=h/λ – связаны с волновыми характеристиками света : его частотой ν и длиной волны λ.

Боль­шая группа оптических явлений – интерференция, дифракция, поляризация – полностью объясняется в волновой оптике. Однако, если «перемещаться» от длинных волн в сторону более коротких, то вол­новые свойства света будут проявляться все слабее, уступая место более отчетливо проявляющимся квантовым свойствам. Это видно, например, из существования «красной границы» фотоэффекта и такой же границы для фотохимических реакций.

Рассмотрим связь волновых и квантовых свойств света на примере прохождения света через щель в непрозрачном экране (рис.). Предположим, что параллель­ный пучок монохроматических световых лучей проходит через щель АВ вдоль оси ординат. На экране CD, распо­ложенном за щелью, возникает дифракционная картина. В каждую точку экрана х попадает плоская гармоническая волна : E(x,t)=E0·exp(-i·k·x) · exp(-i·ω·t)= E(x) · exp(-i·ω·t) и наблюдается определенная освещенность, пропор­циональная интенсивности I(x) вэтой точке. На рис. справа изображено распределение интенсивности света по экрану, пропорциональное квадрату амплитуды Е(х) световой волны I(x)~E(x) 2.

С квантовой точки зрения образование на эк­ране дифракционной картины означает, что при прохождении све­та через щель происходит перераспределениефотонов в пространстве. В результате этого в разные точки экрана попадает различноечисло фотонов. Освещенность экрана в данной точке будет тем больше, чем большей будет суммарная энергия фотонов, попадающих за еди­ницу времени в данную точку. Эта энергия, в свою очередь, пропорциональна числу п(x) фотонов, доставивших эту энергию. Таким образом, I(x) ~п(x).

Из сказанного следует, что E(x) 2~п(x). Квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства пропорционален числу фотонов, попадающих в эту точку.Иными словами, квадрат амплитуды световой волны в данной точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.Таким образом, волновые и квантовые свойства света не исключают, а, наоборот, взаимно дополняют друг друга. Квантовые свойства света обусловлены тем, что энергия, импульс и масса излучения сосредоточены в частицах – фотонах. Вероятность нахождения фотонов в различных точках пространства опре­деляется волновыми свойствами света – амплитудой световой волны (квадратом ее модуля).

Далее было установлено, что волновые свойства присущи не только совокупности большого числа одновременно летящих фотонов. Каждый отдельный фотон обладает волновыми свойствами.Волновые свойства фотона проявляются в том, что для него нельзя точно указать, в какую именноточку экрана он попадет после про­хождения щели. Можно говорить лишь о вероятности попадания каждого фотонав ту или иную точку экрана.

Такое истолкование связи между волновыми и квантовыми свой­ствами света сыграло выдающуюся роль в развитии современной физики.

Волновые свойства микрочастиц. Корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету, но и частицам вещества. Эту идею высказал, исходя из соображений симметрии, Луи де Бройль: если свет, который рассматривался как электромагнитная волна, может проявлять корпускулярные свойства, то и частицы вещества должны проявлять волновые свойства.

Согласно этой идее, импульс частицы с массой m и скоростью υ равен р = mυ, а с другой стороны, он равен p= h/λ. Следо­вательно, движущейся частице можно поставить в соответствие волну с длиной: λБ =h/p= h/mυ.

Величину λБ называют дебройлевской дли­ной волнычастицы. Экспериментально волно­вые свойства микрочастиц были обнаружены в опытах по дифракции электронов на кристаллах.

Наличие волновых свойств у частиц вносит ограничения в применимости к ним классиче­ской механики, согласно которой час­тица в любой момент времени занимает опре­деленное положение в пространстве и обладает определенным импульсом.

Когда проводится какое-либо измерение, его результат содержит некоторую неопределен­ность, обусловленную двумя факторами: корпускулярно-волновым дуализмом и неизбеж­ным взаимодействием наблюдаемого объекта с регистрирующим прибором, приводящим к изменению состояния объекта. Поэтому сущест­вует предел, ограничивающий точность измерений. Этот предел не зависит от степени совершенства измерительного прибо­ра, а присущ самой природе вещей. Это и есть принцип неопределенностей Гейзенберга.

Количественные соотношения, выражающие этот принцип для конкретных динамических пе­ременных, называются соотношениями неопре­деленностей. Наиболее важными являются два из них:

.

Первое соотношениеутверждает, что нельзя измерить одновременно с абсолютной точностью положение (координату) и проекцию импульса микрочастицы на ту же ось. Чем точнее мы пытаемся определить положение объекта, т.е. чем меньше Δх, тем больше будет неопределенность импульса Δрx . Этот вывод можно понять из следующих рассуждений: пусть мы хотим как можно точнее узнать положение микрочастицы (Δх→0 ). Для этого мы должны использовать фотоны с малой длиной волны λ (именно λ определяет точность измерения положения ∆х) и, соответственно, большим импульсом рf = h/λ. В результате такого соударения двух частиц измеряемая частица приобретает непредсказуемый импульс. Если же мы попытаемся точно измерить проекцию импуль­са, то большой окажется неопределенность в по­ложении объекта. Принцип неопределенностей в то же время не запрещает точно определить что-то одно: либо положение, либо импульс. Можно так­же с абсолютной точностью измерить координату и проекции импульса на другие оси. Согласно этому соотношению неопределенностей: а) объяснена устойчивость атома; при гипотетическом падении электрона на ядро неопределенность положения электрона уменьшилась бы на 5 порядков с 10 –10 м (размер атома) до 10 –15 м (размер ядра). На 5 порядков соответственно увеличилась бы неопределенность импульса электрона и он, получив бы такую энергию, не смог бы удержаться в ядре; б) невозможно определить траекторию движения микрочастицы (для этого необходимо знать в каждый момент времени абсолютно точно и координату и импульс частицы);

Второе соотношениеустанавливает связь между неопределенностью энергии ΔE квазистационарного возбужденного состояния и средним временем жизни Δt возбужденного состояния в атомных процессах. Например, достаточно точно можно измерить энергию системы в стационарном состоянии, время жизни в котором велико (Δt → ∞), если же система находится в нестационарном состоянии, время жизни Δt в котором конечно, энергию можно измерить с погрешностью порядка ΔE ~ ħt .

Волновая функция, физический смысл и свойства. Состояние квантовой частицы нельзя определять, как в классической механике одновременным заданием в каждый момент времени координат и импульса . Это запрещено принципом неопределенностей. По аналогии с электромагнитной волной, для которой электромагнитное поле определяется заданием некоторой функции координат и времени E(x,y,z,t), для описания движения микрочастиц вводится некоторая функция координат и времени Ψ(x,y,z,t), характеризующая волну де Бройля, и получившая название волновой функ­ции (ВФ).

Сама волновая функция Ψ в общем случае комплексна и поэтому не имеет наглядного физического представления, ее нельзя проде­монстрировать экспериментально. Согласно М.Борну, физический смысл имеет квадрат модуля ВФ , с помощью которого определяется вероятность dP того, что частица в момент времени t будет обнаружена в элементе объема dV, расположенном в окрест­ности точки х, у,z: .

Т.о, , где Ψ* означает комплексно сопря­женную к Ψ величину, является плотностью веро­ятности.

Волну де Бройля можно рассматривать как волну вероятности, амплитудой которой является волновая функция.

Де Бройль постулировал, что свободное дви­жение частицы с определенной энергией E и импульсом описывается волновой функцией вида:

. – мнимая единица.

Функция Ψ должна удовлетворять т.н. стандартным условиям. Она должна быть однозначной,поскольку микрочастица в определенный момент времени может находиться только в одной точке пространства. Волновая функция и ее частные производные по координатам являют­ся непрерывнымиво всех точках простран­ства (при движении частица не может исчезать в одном месте и появляться в другом). И наконец, волновая функция должна быть конечна,т.е. нигде не обращаться в бесконечность. Поскольку значение , вычисленное в некоторой точке, пропорционально вероятности Р обнаружения частицы, описываемой функцией Ψ, в этой точ­ке, то интеграл от по всему пространству должен быть конечным, так как в любом случае частица где-то должна быть. Обычно этот интеграл приравнивают единице: .

Волновую функцию, для которой выполняет­ся это соотношение, называют нормирован­ной,а само равенство – условием норми­ровки волновой функции.

Нахож­дение вида волновой функции частицы, движущейся под действием внешних сил, является основной задачей квантовой механики, так как задание волновой функции есть полное и исчерпывающее описание этой частицы. Это связано с тем, что вероятностное пове­дение микрочастиц лежит в самой их природе.

Уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние только свободной частицы. В 1926 г. Э.Шредингер обобщил гипотезу де Бройля на случай движения микрочастицы во внешнем силовом поле и получил уравнение, описывающее поведение (распространение) волн вероятности во внешних силовых полях. Это уравнение, в результате решения которого получается конкретный вид ВФ, получи­ло название волнового уравнения,или уравнения Шредингера

,

где m – масса частицы, U(x,y,z,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле.

Как и все основные уравнения физики (напри­мер, законы Ньютона, уравнения Максвелла), уравнение Шредингера не имеет вывода. Пра­вильность уравнения Шредингера и толкование смысла фигурирующей в нем волновой функции подтверждаются огромным опытным материа­лом современной физики.

То, что уравнение Шредингера содержит лишь первую производную от Ψ по времени, связано с выражением принципа причинности:если известна волновая функ­ция Ψ(x,y,z,0) частицы в начальный момент времени, то можно однозначно определить ее волновую функцию Ψ(x,y,z,t) в любые последующие моменты времени t > 0. Однако, точное знание ВФ для какой-либо точки пространства позволяет определить лишь вероятность обнаружения микрочастицы в этой точке.

Часто потенциальная функция U частицы яв­ным образом не зависит от времени и в этом случае она имеет смысл потенциальной энергии. Силы, дей­ствующие на частицу, а следовательно, и U(х,у,z) за­висят только от координат. В этих случаях уравнение Шредингера можно упрос­тить, исключив всякую зависимость от t. Это получается, если ВФ представить в виде произведения координатной и временной частей:

.

Подставив в зависящее от времени уравне­ние Шредингера это выражение и сократив все уравнение затем на общий экспоненциаль­ный множитель, получим:

, где - т.н. оператор Лапласа.

Это уравнение называется уравнением Шре­дингера для стационарных состояний.

Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что 2 закон Ньютона в классической механике. Задать закон движения частицы в квантовой механике – зна­чит определить Ψ-функцию в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Так как уравнение Шредингера является урав­нением второго порядка в частных производ­ных, то для его решения необходимо задавать на­чальные и граничные условия.

Квантовая частица в потенциальной яме. Рассмотрим одномерное (вдоль оси х) движение частицы в потенциальном поле, называющемся беско­нечно глубокой прямоугольной потенциальной ямойшириной :

.

Так как энергия частицы Е не может быть бес­конечной, частица не может находиться вне ямы, поэтому вероятность ее обнаружения вне ямы, а значит, и волновая функция, равна нулю: w(x<0)=w(x>ℓ) и ψ(x<0)=ψ(x>ℓ)=0.

Из условия непрерывности ВФ вытекает равенство нулю ВФ и на границе ямы: ψ(x=0)=ψ(x=ℓ)=0. Это граничные услови­ядля решения уравнения Шредингера для частицы внутри потенциальной ямы: ,

где Е — полная энергия частицы.

Решение такого дифференциального уравне­ния имеет вид:

ψ=A·sin(k·x), где - волновое число.

Используя граничное условие ψ(ℓ)=0, получим: κn ·ℓ=n·π ,

где n=1,2,3,... – любое целое число, большее нуля (квантовое число).Еслиучесть, что импульс частицыpn =ħ·kn,то можнонайти возможные значения энергии частицы:

.

Уравнение Шредингера имеет решения, удов­летворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа п. Энер­гия частицы в бесконечно глубокой потенциаль­ной яме оказывается квантованной.Состояние частицы с наименьшей возможной энергией (n=1) называется основным,все остальные состоя­ния – возбужденными.Волновая функция, отвечающая n-му уров­ню энергии: . Постоянную Аn определим из условия нормировки ; и .

На границах ямы при х = 0 и х = ℓ всегда |ψn| 2 = 0, однако, вeроятность нахождения частицы в определенной точке внутри ящика может сильно меняться при разных значениях квантового числа п .

Выводы: энергия микрочастицы, движущей­ся в потенциальной яме, пробегает дискретный ряд значений; даже в основном состоянии час­тица не находится в состоянии полного покоя; дискретный характер энергетических уровней проявляется при малой массе частиц и малых размерах области, в которой происходит движе­ние; при больших значениях квантовых чисел и пространственно неограниченном движении квантовомеханические соотношения переходят в формулы классической физики.

Квантовым гармоническим осциллятором называется микрочастица массы т, находящаяся в параболической потенциальной яме вида U(x)=κ·x2/2 и совершающая гармоническое движение с частотой ω; κ-постоянная.

Модель квантового ос­циллятора особенно полезна при исследова­нии малых колебаний систем около положения равновесия, например, колебаний атомов в уз­лах кристаллической решетки или колебаний атомов около их положений равновесия в мо­лекуле.

По аналогии с классической теорией (пружинный маятник) положим . Тогда для потенциальной энергии по­лучим:

. Стационарное уравнение Шредингера в дан­ном случае будет иметь вид:

.

Полученное уравнение имеет конечные, од­нозначные и непрерывные решения, т.е. собственные функции, не для всех значений энергии Е, а только при собственных значениях, удовлетворяющих условию:

Число nυ называется колебательным кванто­вым числом. Из последнего равенства следу­ет, что энергия квантового осциллятора кванту­ется. Энергетический спектр представляет собой эквидистантные,т.е. отстоящие друг от друга на одинаковую величину ΔE=ħω, уровни. Минималь­ная энергия, которой может обладать квантовый осциллятор, равна Е0 = ħω / 2 и называется энер­гией нулевых колебаний, или нулевой энергиейи соответствует абсолютному нулю температур.

То, что минимальная энергия осциллятора не может быть равна нулю даже при , находится в соответ­ствии с признанием относительности покоя и вечности движения. Если бы энергия частицы равнялась нулю, то это озна­чало бы, что частица покоится и ее импульс и координата одновременно имеют точные значения, что противоречит принци­пу неопределенностей. Существование нулевых колебаний доказы­вают опыты по наблюдению рассеяния света прозрачными кристаллами при сверхнизких (вплоть до 10 – 6К) температурах.

Расчет показывает, что для квантового осцил­лятора возможны переходы только между сосед­ними уровнями, т.е. с изменением квантового числа nυ на единицу:

Δ nυ = ±1.

Это условие называется правилом отбора, оно показывает, какие из всех мыслимых переходов реализуются в действительности.

При каждом из переходов излучается или по­глощается фотон (или другая частица – фонон) с энергией ħω , где ω – его цик­лическая частота.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА.

Оптические атомные спектры. Известно, что в излучении нагретых тел представлены все длины волн (сплошной спектр).

Если нагреть до достаточно высокой темпе­ратуры атомарный газ, то в спектре его излуче­ния (спектре испускания) появляются яркие светящиеся линии с определенными дискретными длинами волн. Такие спектры называются линейчатыми.Каждый химический элемент обладает собственным линейчатым спектром.

Простейшим является атом водоро­да: он состоит из протона и электрона. У водорода самый простой спектр. Дж. Бальмер при изучении видимой части спектра водорода обнаружил четыре спектраль­ные линии с частотами 4,552; 6,173; 6,912 и 7,317 (в 1014 с-1) и показал, что частоты этих линий могут быть рассчитаны по формуле: , где для первых четырех линий n принимает зна­чения 3, 4, 5 и 6. R=3,29·1015 c-1 - постоянная Ридберга, была определена экспериментально. Впоследствии были обнаружены линии, соответствующие другим значениям п>6.

Установлено, что по мере увеличения частоты линии располагают­ся все ближе и ближе друг к другу и становятся все менее интенсивными. Вблизи линии с частотой 0,8242·1015 с-1 линии сгущаются настолько, что их трудно различить. Эта частота, соот­ветствующая п=∞, называется границей серии, после нее уже не наблюдается отдельных линий, а имеется слабо выраженный сплошной спектр.

Совокупность спектральных линий, обнаружи­вающих в своей последовательности и в рас­пределении интенсивности описанную выше закономерность, называется спектральной серией.

Наряду с серией Бальмера в спектре атома водорода был обнаружен ряд других серий, представляемых совершенно аналогичными формулами:

, m=1,2,3,… n=m+1,m+2,… Это т.н. обобщенная формула Бальмера.

В ультрафиолетовой области Лайман открыл серию линий, частоты которых соответству­ют значению m = 1.

В инфракрасной области были обнаружены другие спектральные серии (серии Пашена m = 3, Брэкета m =4, Пфунда m = 5 и т.д.).

Вид этих формул, дискретность частот, определяемую целыми числами n и m, не смогла объяснить классическая физика.

Боровская модель атома водорода. Спектральные серии и устойчивость атома водорода Н.Бор объяснил на основе двух постулатов:

Первый постулат:в атоме существуют та­кие орбиты, двигаясь по которым электроны энергии не излучают. Эти орбиты называются стационарными.

Второй постулат:при переходеэлектронас одной стационарной орбиты на другуюиспускается или поглощается один фотон, энер­гия которого (в силу закона сохранения энергии) определяется соотношением : h·νmn=EmEn , где Em и En — энергии электрона в m-ом и n-ом стационарных состояниях.

Стационарными орбитами считаются такие, на ко­торых момент импульса электрона равен цело­му кратному ħ (условие кванто­вания Бора).

Момент импульса частицы массы т, дви­жущейся по окружности радиусом r соскоростью υ, равен L = m·υ·r. Поэтому условие квантования Бораимеет вид: m·υ·rn = n·ħ, где n = 1,2,3,... Целое положитель­ное число n называется квантовым числом ор­биты,rn – радиус n -ой стационарной орбиты. Условие квантования можно получить, если считать, что на стационарной орбите укладывается целое число волн де Бройля, соответствующих электрону на этой орбите,: 2π·rn=n·λБ.

Если считать орбиту электрона круговой, то уравнение движения электрона по 2 закону Ньютона: .

Решая это уравнение совместно с условием квантования находим для радиуса

n–стационарной орбиты: . Радиус ближайшей к ядру орбиты (т.н. первой боровской орбиты с п = 1) равен r1 =0,53·10 - 10м.

Полная энергия электрона в атоме водорода равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: .

Решая это уравнение совместно с условиями квантования орбит и радиусов орбит находим для энергии стационарных состояний: Из последнего соотношения видно, что так же, как и радиусы орбит, энергия электрона кванту­ется, т.е. принимает ряд дискретных значений. Ближайшая к ядру орбита (n=1) имеет самую низкую энергию (основное состояние):

.

Энергия, равная 13,6 эВ, необходимая для удаления электрона из атома, называется энергией связи,или энергией ионизации Ei .

При переходе с m–ой орбиты на n–ую испускается фотон с частотой:

, что совпадает с формулой Бальмера.

Множитель равен 3,29·1015 с-1, что совпадает с постоянной Ридберга.

Несмотря на успехи, модель атома водорода Бора была непоследовательна, т.к. в ней, с одной стороны, постулируется квантование орбит, а с другой стороны, движение электрона по орбите рассматривается классически.

Атом водорода. Квантовомеханическое рассмотрение. Атом водорода представляет собой один электрон, находящийся в сферически симметричном поле положительно заряженного ядра. Потен­циальная энергия взаимодействия электрона и ядра: , т.е. можно считать, что электрон движется в гиперболической потенциальной яме. Уравнение Шредингера принимает вид: и его удобнее решать в сферической системе координат r, θ и φ. При этом решение ищется в виде произведения трех функций, каж­дая из которых зависит от одной переменной:

ψ(r,θ,φ) = R(rY (θФ(φ).

В результате подстановки ψ(r,θ,φ) и разделе­ния переменных уравнение разбивается на три независимых уравнения относительно r, θ и φ, соответственно. Учет физиче­ских условий приводит к возможным значениям R{r), Y (θ) и Ф(φ), а следовательно, и ψ -функции. При этом обнаруживается дискретность со­стояний.

Математически дискретность состояний за­ключается в том, что каждая из трех функций имеет дискретный набор значений, описывае­мых соответствующими квантовыми числами:

1) главное квантовое числоп = 1,2,3....
Это число определяет уровни энергии En элект­рона в атоме водорода : , что совпадает с выражением, полученным в модели атома Бора;

2) орбитальное квантовое число = 0,1,2,. ..(n –1) – определяет геометрическую форму разрешенной для электрона области – орбиталь. Это число определяет значение орбитального момента импульса L электрона относительно ядра: . При переходах из одного состоя­ния в другое изменяется в соответствии с пра­вилом отбора Δℓ = ±1. Правило отбо­ра по квантовому числу обусловлено законом сохранения момента импульса.

3) магнитное квантовое числоm = 0, ±1,±2,... ±, всего 2 + 1 значений. Это число опре­деляет проекции орбитального момента импуль­са электрона на некоторое выделенное направ­ление z: Lz =m ·ħ. По другому, оно определяет ориентацию в пространстве орбитали. Правило отбора: Δ m =0,±1;

4)спиновое квантовое числоmS , которое получается не из уравнения Шредингера, а из совокупно­сти опытных данных. Это число может принимать только два значения (±½) и определяет воз­можные значения проекции LSZ на ось z собственного спинового момента импульса LSэлектрона: ; s = ½ ;

LSz = mS ·ħ . Пра­вило отбора для спинового квантового числа: ΔmS = 0.

Механическим моментам (орбитальному L и спиновому LS) соответствуют магнитные момен­ты, т.к. электрон – заряженная частица. Пере­численные четыре квантовых числа п, , m и mS полностью описывают состояние электрона в атоме.

Спин.Расчет с помощью уравнения Шредингера энергетического спектра атома водорода показал незначительное расхождение теории с экспериментом. Высокоточные измерения обнаруживают т.н. тонкую структуру уровней энергии – их расщепление на ряд близких подуровней.

Полностью объяснить феномен тонкой структуры смогли лишь на основе такого фундаментального квантово-механического понятия, как спин элементарной частицы. К этому поня­тию привели результаты опытов О. Штерна и В. Герлаха, еще в 1922 г. наблюдавших расщепление (раздвоение) узкого пучка ато­мов серебра под действием неоднородного магнитного поля. Подобное поведение атомов можно объяснить, лишь предполо­жив, что электрон, кроме орбитального, обладает собственным моментом импульса– спи­ном и связанным с ним собственным магнитным моментом. Такое предположение было сделано в 1925 г. Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом.

Для квантово-механического описания микрочастицы необ­ходимо задать проекцию спина на выбранную ось. Про­екция спина может дискретно меняться на величину, кратную ћ. Число проекций равно в общем случае 2s + 1, где s– спиновое число частицы. Так, например, для электрона, имеющего спиновое число s=½ и спин , проекция его спина на вы­бранную произвольную ось z может принимать два значения (mS=±½): .

Значениями спина отличаются два фундаментальных класса элементарных частиц: фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны – целочисленный спин. Спин, равный 1/2ћ, имеют электрон, протон, ней­трон, нейтрино, мюон и др. Спин фотона и глюона равен , гравитона 2ћ. Спин элементарных частиц лежит в основе кван­товой статистики и влияет на поведение систем, состоящих из тождественных частиц. Спин лежит в основе фундаментального принципа квантовой теории – принципа Паули,согласно кото­рому две тождественные частицы с полуцелым спином (фермионы) не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоя­нии. Благодаря этому принципу смогли объяснить образование электронных оболочек в атомах и связанную с этим закономер­ность периодической таблицы Менделеева; формирование ядер­ных оболочек и их строение; понять химическую связь молекул и многое другое. Со спином связывают появление таких не­обычных свойств, как сверхтекучесть гелия и сверхпроводи­мость у некоторых веществ.

 

Элементы квантовой статистики.Метод, позволяющий перейти от исследова­ния движения отдельных частиц к поведению систем из огромного их числа, называется ста­тистическим.При применении квантовой ме­ханики к системам одинаковых частиц были обнаружены свойства, не имеющие классиче­ских аналогов. Впервые это стало очевидным при построении теории электронных оболочек многоэлектронных атомов и при рассмотрении равновесного излучения как газа фотонов.

Условия применимости классической статистики– это условия, при которых в дви­жении микрообъектов не проявляются квантовые эффекты. Классические частицы всегда можно различить по их состояниям: координатам и импульсам.

Три основных отличия квантовой статистики от классической:

1) квантовая механика – статистическая тео­рия. Состояние квантовой системы определяет­ся вероятностными законами распределения;

2) в квантовой механике многие физические величины могут принимать лишь дискретный ряд значений, в классической механике они непрерывны;

3) наиболее важное отличие классической и квантовой статистик связано с принципом тождественности,имеющим место только в квантовой механике. Поскольку в силу принципа неопределенностей понятие траектории частицы утрачивает смысл, то и различить частицы одинаковой природы невозможно, т.е. частицы становятся тождественными. Кроме того, системы частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы) спином подчиняются разным законам.

Бозоны описываются симметричными волно­выми функциями ( перестановка двух бозонов не изменяет ни одной из характеристик системы бозонов). К бозонам относятся частицы-переносчики взаимодействия, например, фотоны, глюоны, фононы, гравитоны. В каждом квантовом состоя­нии может находиться неограниченное коли­чество бозонов. Их распределение по состояниям описывается т.н. статисти­кой Бозе–Эйнштейна.

Фермионыописываются антисимметричной волновой функцией (при перестановке двух фермионов волновая функция, описывающая систему фермионов, изменяет знак). К фермионам относятся частицы вещества, например, электроны, протоны, нейтроны, кварки и др. Они подчиняются принципу Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться только одна частица. Их распреде­ление по состояниям описывается статистикой Ферми–Дирака.

Различие статистик легко понять на следующем модельном примере: пусть нам надо распределить две частицы a и b по двум состояниям. Классические частицы можно распределить 4 способами; бозоны с учетом тождественности частиц – 3 способами; фермионы с учетом тождественности частиц и принципа Паули – 1 способом.

 

Классические частицы a, b Бозоны a≡b Фермионы a≡b
a, b
a b
b a
a, b

 

a, a  
  a, a
a a

 

a a

 

В случае, когда дискретностью квантовых состояний можно пренебречь, например,

при высоких температурах, оба распределения перейдут в классическое рас­пределение Больцмана.

Периодическая система элементов. По мере увеличения порядкового номера Z атома происходит последовательное заполнение электронных уровней атома в соответствии с принципом Паули:в атоме не может быть электронов с оди­наковыми значениями всех четырех квантовых чисел п, ℓ, m, mS. Поэтому каждый следующий электрон не­возбужденного атома должен занимать самый глубокий из еще не заполненных уровней.

Каждому значению п соответствует 2п2 со­стояний, отличающихся друг от друга значе­ниями квантовых чисел ℓ, m, mS. Совокупность электронов атома с одинаковыми значениями квантового числа п образует оболочку.Обо­лочки обозначают большими буквами латин­ского алфавита:

п (Оболочка): 1(К ), 2(L), 3(М), 4(N)…

Оболочки подразделяют на подоболочки, раз­личающиеся орбитальным квантовым числом . Число состояний в подоболочке равно 2(2· +1). Подобо­лочки обозначают в виде 1s; 2s, 2p; 3s, Зр, 3d;..., ,где цифра означает квантовое число п, т.е. при­надлежность к соответствующей оболочке, а буква – орбитальное состояние или орбиталь согласно схеме:

(Орбиталь): 0(s), 1(p), 2(d), 3(f)…

Различные состояния в подоболочке отличаются значениями квантовых чисел mи mS . Число возможных состояний в К, L, М, N,... обо­лочках равно соответственно 2, 8, 18, 32,..., т.е. 2n2.

Заполнение периодической системы эле­ментов основано на идее об оболочечной струк­туре электронного облака атома. Каждый сле­дующий атом получается из предыдущего добавлением к заряду ядра единицы и добав­лением одного электрона, помещаемого в разрешенное принципом Паули состояние с наименьшей энергией.

Распределение электронов по состояниям называется электронной конфигурацией,например, для атома хлора (Z=17) : 1s22s22p63s23p5.

Оболочка или подоболочка, полностью запол­ненная электронами, называется замкнутой и соответствует инертному газу.Наблюдаемая периодичность хими­ческих и физических свойств атомов объясняется по­ведением внешних валентных электронов.

Лазер. Между энергетическими уровнями атомов могут осуществляться следующие переходы: 1.Самопроизвольныепереходысуровней с большей энергией на уровни с меньшей энергией. В ре­зультате наблюдается спонтанное излучение –испускание ато­мами фотонов . 2. П



Последнее изменение этой страницы: 2016-08-15; просмотров: 2124; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.205.167.104 (0.015 с.)