Основные положения квантовой механики.

Корпускулярно-волновой дуа­лизм света. Т.о., в одних опытах (дифракция, интерференция, поляризация) свет проявляет волновые свойства, в других же (тепловое излучение, фотоэффект, эффект Комптона) он ведет себя как поток частиц-фотонов, но никогда не проявляет волновые и корпускулярные свойства одновременно. Волновая и квантовая теории света допол­няют друг друга. Двойственная природа света получила название корпускулярно-волнового дуа­лизма света и находит свое выражение в формулах, определяю­щих основные характеристики фотонов. Как видно из этих формул, корпускулярные характеристики фотона – энергия ε_f = hv иимпульс р_f = hv/c=h/λ – связаны с волновыми характеристиками света: его частотой ν и длиной волны λ.

Боль­шая группа оптических явлений – интерференция, дифракция, поляризация – полностью объясняется в волновой оптике. Однако, если «перемещаться» от длинных волн в сторону более коротких, то вол­новые свойства света будут проявляться все слабее, уступая место более отчетливо проявляющимся квантовым свойствам. Это видно, например, из существования «красной границы» фотоэффекта и такой же границы для фотохимических реакций.

Рассмотрим связь волновых и квантовых свойств света на примере прохождения света через щель в непрозрачном экране (рис.). Предположим, что параллель­ный пучок монохроматических световых лучей проходит через щель АВ вдоль оси ординат. На экране CD, распо­ложенном за щелью, возникает дифракционная картина. В каждую точку экрана х попадает плоская гармоническая волна: E(x,t)=E₀·exp(-i·k·x) · exp(-i·ω·t)= E(x) · exp(-i·ω·t) и наблюдается определенная освещенность, пропор­циональная интенсивности I(x) вэтой точке. На рис. справа изображено распределение интенсивности света по экрану, пропорциональное квадрату амплитуды Е(х) световой волны I(x)~E(x) ².

С квантовой точки зрения образование на эк­ране дифракционной картины означает, что при прохождении све­та через щель происходит перераспределение фотонов в пространстве. В результате этого в разные точки экрана попадает различное число фотонов. Освещенность экрана в данной точке будет тем больше, чем большей будет суммарная энергия фотонов, попадающих за еди­ницу времени в данную точку. Эта энергия, в свою очередь, пропорциональна числу п(x) фотонов, доставивших эту энергию. Таким образом, I(x) ~п(x).

Из сказанного следует, что E(x) ²~п(x). Квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства пропорционален числу фотонов, попадающих в эту точку. Иными словами, квадрат амплитуды световой волны в данной точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку. Таким образом, волновые и квантовые свойства света не исключают, а, наоборот, взаимно дополняют друг друга. Квантовые свойства света обусловлены тем, что энергия, импульс и масса излучения сосредоточены в частицах – фотонах. Вероятность нахождения фотонов в различных точках пространства опре­деляется волновыми свойствами света – амплитудой световой волны (квадратом ее модуля).

Далее было установлено, что волновые свойства присущи не только совокупности большого числа одновременно летящих фотонов. Каждый отдельный фотон обладает волновыми свойствами. Волновые свойства фотона проявляются в том, что для него нельзя точно указать, в какую именноточку экрана он попадет после про­хождения щели. Можно говорить лишь о вероятности попадания каждого фотонав ту или иную точку экрана.

Такое истолкование связи между волновыми и квантовыми свой­ствами света сыграло выдающуюся роль в развитии современной физики.

Волновые свойства микрочастиц. Корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету, но и частицам вещества. Эту идею высказал, исходя из соображений симметрии, Луи де Бройль: если свет, который рассматривался как электромагнитная волна, может проявлять корпускулярные свойства, то и частицы вещества должны проявлять волновые свойства.

Согласно этой идее, импульс частицы с массой m и скоростью υ равен р = mυ, а с другой стороны, он равен p= h/λ. Следо­вательно, движущейся частице можно поставить в соответствие волну с длиной: λ_Б = h/p = h/mυ.

Величину λ_Б называют дебройлевской дли­ной волны частицы. Экспериментально волно­вые свойства микрочастиц были обнаружены в опытах по дифракции электронов на кристаллах.

Наличие волновых свойств у частиц вносит ограничения в применимости к ним классиче­ской механики, согласно которой час­тица в любой момент времени занимает опре­деленное положение в пространстве и обладает определенным импульсом.

Когда проводится какое-либо измерение, его результат содержит некоторую неопределен­ность, обусловленную двумя факторами: корпускулярно-волновым дуализмом и неизбеж­ным взаимодействием наблюдаемого объекта с регистрирующим прибором, приводящим к изменению состояния объекта. Поэтому сущест­вует предел, ограничивающий точность измерений. Этот предел не зависит от степени совершенства измерительного прибо­ра, а присущ самой природе вещей. Это и есть принцип неопределенностей Гейзенберга.

Количественные соотношения, выражающие этот принцип для конкретных динамических пе­ременных, называются соотношениями неопре­деленностей. Наиболее важными являются два из них:

.

Первое соотношение утверждает, что нельзя измерить одновременно с абсолютной точностью положение (координату) и проекцию импульса микрочастицы на ту же ось. Чем точнее мы пытаемся определить положение объекта, т.е. чем меньше Δ х, тем больше будет неопределенность импульса Δ р_x. Этот вывод можно понять из следующих рассуждений: пусть мы хотим как можно точнее узнать положение микрочастицы (Δ х→0). Для этого мы должны использовать фотоны с малой длиной волны λ (именно λ определяет точность измерения положения ∆х) и, соответственно, большим импульсом р_f = h/λ. В результате такого соударения двух частиц измеряемая частица приобретает непредсказуемый импульс. Если же мы попытаемся точно измерить проекцию импуль­са, то большой окажется неопределенность в по­ложении объекта. Принцип неопределенностей в то же время не запрещает точно определить что-то одно: либо положение, либо импульс. Можно так­же с абсолютной точностью измерить координату и проекции импульса на другие оси. Согласно этому соотношению неопределенностей: а) объяснена устойчивость атома; при гипотетическом падении электрона на ядро неопределенность положения электрона уменьшилась бы на 5 порядков с 10 ^–10 м (размер атома) до 10 ^–15 м (размер ядра). На 5 порядков соответственно увеличилась бы неопределенность импульса электрона и он, получив бы такую энергию, не смог бы удержаться в ядре; б) невозможно определить траекторию движения микрочастицы (для этого необходимо знать в каждый момент времени абсолютно точно и координату и импульс частицы);

Второе соотношение устанавливает связь между неопределенностью энергии Δ E квазистационарного возбужденного состояния и средним временем жизни Δ t возбужденного состояния в атомных процессах. Например, достаточно точно можно измерить энергию системы в стационарном состоянии, время жизни в котором велико (Δ t → ∞), если же система находится в нестационарном состоянии, время жизни Δ t в котором конечно, энергию можно измерить с погрешностью порядка Δ E ~ ħ /Δ t.

Волновая функция, физический смысл и свойства. Состояние квантовой частицы нельзя определять, как в классической механике одновременным заданием в каждый момент времени координат и импульса. Это запрещено принципом неопределенностей. По аналогии с электромагнитной волной, для которой электромагнитное поле определяется заданием некоторой функции координат и времени E(x,y,z,t), для описания движения микрочастиц вводится некоторая функция координат и времени Ψ(x,y,z,t), характеризующая волну де Бройля, и получившая название волновой функ­ции (ВФ).

Сама волновая функция Ψ в общем случае комплексна и поэтому не имеет наглядного физического представления, ее нельзя проде­монстрировать экспериментально. Согласно М.Борну, физический смысл имеет квадрат модуля ВФ , с помощью которого определяется вероятность dP того, что частица в момент времени t будет обнаружена в элементе объема dV, расположенном в окрест­ности точки х, у,z: .

Т.о, , где Ψ ^* означает комплексно сопря­женную к Ψ величину, является плотностью веро­ятности.

Волну де Бройля можно рассматривать как волну вероятности, амплитудой которой является волновая функция.

Де Бройль постулировал, что свободное дви­жение частицы с определенной энергией E и импульсом описывается волновой функцией вида:

. – мнимая единица.

Функция Ψ должна удовлетворять т.н. стандартным условиям. Она должна быть однозначной, поскольку микрочастица в определенный момент времени может находиться только в одной точке пространства. Волновая функция и ее частные производные по координатам являют­ся непрерывными во всех точках простран­ства (при движении частица не может исчезать в одном месте и появляться в другом). И наконец, волновая функция должна быть конечна, т.е. нигде не обращаться в бесконечность. Поскольку значение , вычисленное в некоторой точке, пропорционально вероятности Р обнаружения частицы, описываемой функцией Ψ, в этой точ­ке, то интеграл от по всему пространству должен быть конечным, так как в любом случае частица где-то должна быть. Обычно этот интеграл приравнивают единице: .

Волновую функцию, для которой выполняет­ся это соотношение, называют нормирован­ной, а само равенство – условием норми­ровки волновой функции.

Нахож­дение вида волновой функции частицы, движущейся под действием внешних сил, является основной задачей квантовой механики, так как задание волновой функции есть полное и исчерпывающее описание этой частицы. Это связано с тем, что вероятностное пове­дение микрочастиц лежит в самой их природе.

Уравнение Шредингера. Волны де Бройля описывают состояние только свободной частицы. В 1926 г. Э.Шредингер обобщил гипотезу де Бройля на случай движения микрочастицы во внешнем силовом поле и получил уравнение, описывающее поведение (распространение) волн вероятности во внешних силовых полях. Это уравнение, в результате решения которого получается конкретный вид ВФ, получи­ло название волнового уравнения, или уравнения Шредингера

,

где m – масса частицы, U(x,y,z,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле.

Как и все основные уравнения физики (напри­мер, законы Ньютона, уравнения Максвелла), уравнение Шредингера не имеет вывода. Пра­вильность уравнения Шредингера и толкование смысла фигурирующей в нем волновой функции подтверждаются огромным опытным материа­лом современной физики.

То, что уравнение Шредингера содержит лишь первую производную от Ψ по времени, связано с выражением принципа причинности: если известна волновая функ­ция Ψ(x,y,z,0) частицы в начальный момент времени, то можно однозначно определить ее волновую функцию Ψ(x,y,z,t) в любые последующие моменты времени t > 0. Однако, точное знание ВФ для какой-либо точки пространства позволяет определить лишь вероятность обнаружения микрочастицы в этой точке.

Часто потенциальная функция U частицы яв­ным образом не зависит от времени и в этом случае она имеет смысл потенциальной энергии. Силы, дей­ствующие на частицу, а следовательно, и U(х,у,z) за­висят только от координат. В этих случаях уравнение Шредингера можно упрос­тить, исключив всякую зависимость от t. Это получается, если ВФ представить в виде произведения координатной и временной частей:

.

Подставив в зависящее от времени уравне­ние Шредингера это выражение и сократив все уравнение затем на общий экспоненциаль­ный множитель, получим:

, где - т.н. оператор Лапласа.

Это уравнение называется уравнением Шре­дингера для стационарных состояний.

Волновое уравнение Шредингера играет в квантовой механике ту же роль, что 2 закон Ньютона в классической механике. Задать закон движения частицы в квантовой механике – зна­чит определить Ψ -функцию в каждый момент времени в каждой точке пространства.

Так как уравнение Шредингера является урав­нением второго порядка в частных производ­ных, то для его решения необходимо задавать на­чальные и граничные условия.

Квантовая частица в потенциальной яме. Рассмотрим одномерное (вдоль оси х) движение частицы в потенциальном поле, называющемся беско­нечно глубокой прямоугольной потенциальной ямой шириной ℓ:

.

Так как энергия частицы Е не может быть бес­конечной, частица не может находиться вне ямы, поэтому вероятность ее обнаружения вне ямы, а значит, и волновая функция, равна нулю: w (x <0)= w (x>ℓ) и ψ (x <0)= ψ (x>ℓ)=0.

Из условия непрерывности ВФ вытекает равенство нулю ВФ и на границе ямы: ψ(x=0)=ψ(x=ℓ)=0. Это граничные услови­я для решения уравнения Шредингера для частицы внутри потенциальной ямы: ,

где Е — полная энергия частицы.

Решение такого дифференциального уравне­ния имеет вид:

ψ=A·sin(k·x), где - волновое число.

Используя граничное условие ψ(ℓ)=0, получим: κ_n ·ℓ=n·π,

где n =1,2,3,... – любое целое число, большее нуля (квантовое число). Еслиучесть, что импульс частицы p_n = ħ·k_n, то можнонайти возможные значения энергии частицы:

.

Уравнение Шредингера имеет решения, удов­летворяющие граничным условиям только при дискретных значениях квантового числа п. Энер­гия частицы в бесконечно глубокой потенциаль­ной яме оказывается квантованной. Состояние частицы с наименьшей возможной энергией (n =1) называется основным, все остальные состоя­ния – возбужденными. Волновая функция, отвечающая n -му уров­ню энергии: . Постоянную А_n определим из условия нормировки ; и .

На границах ямы при х = 0 и х = ℓ всегда | ψ_n| ² = 0, однако, вeроятность нахождения частицы в определенной точке внутри ящика может сильно меняться при разных значениях квантового числа п.

Выводы: энергия микрочастицы, движущей­ся в потенциальной яме, пробегает дискретный ряд значений; даже в основном состоянии час­тица не находится в состоянии полного покоя; дискретный характер энергетических уровней проявляется при малой массе частиц и малых размерах области, в которой происходит движе­ние; при больших значениях квантовых чисел и пространственно неограниченном движении квантовомеханические соотношения переходят в формулы классической физики.

Квантовым гармоническим осциллятором называется микрочастица массы т, находящаяся в параболической потенциальной яме вида U(x)=κ·x²/2 и совершающая гармоническое движение с частотой ω; κ -постоянная.

Модель квантового ос­циллятора особенно полезна при исследова­нии малых колебаний систем около положения равновесия, например, колебаний атомов в уз­лах кристаллической решетки или колебаний атомов около их положений равновесия в мо­лекуле.

По аналогии с классической теорией (пружинный маятник) положим . Тогда для потенциальной энергии по­лучим:

. Стационарное уравнение Шредингера в дан­ном случае будет иметь вид:

.

Полученное уравнение имеет конечные, од­нозначные и непрерывные решения, т.е. собственные функции, не для всех значений энергии Е, а только при собственных значениях, удовлетворяющих условию:

Число n_υ называется колебательным кванто­вым числом. Из последнего равенства следу­ет, что энергия квантового осциллятора кванту­ется. Энергетический спектр представляет собой эквидистантные, т.е. отстоящие друг от друга на одинаковую величину Δ E=ħω, уровни. Минималь­ная энергия, которой может обладать квантовый осциллятор, равна Е ₀ = ħω / 2 и называется энер­гией нулевых колебаний, или нулевой энергией и соответствует абсолютному нулю температур.

То, что минимальная энергия осциллятора не может быть равна нулю даже при 0К, находится в соответ­ствии с признанием относительности покоя и вечности движения. Если бы энергия частицы равнялась нулю, то это озна­чало бы, что частица покоится и ее импульс и координата одновременно имеют точные значения, что противоречит принци­пу неопределенностей. Существование нулевых колебаний доказы­вают опыты по наблюдению рассеяния света прозрачными кристаллами при сверхнизких (вплоть до 10 ^{– 6}К) температурах.

Расчет показывает, что для квантового осцил­лятора возможны переходы только между сосед­ними уровнями, т.е. с изменением квантового числа n_υ на единицу:

Δ n_υ = ±1.

Это условие называется правилом отбора, оно показывает, какие из всех мыслимых переходов реализуются в действительности.

При каждом из переходов излучается или по­глощается фотон (или другая частица – фонон) с энергией ħω, где ω – его цик­лическая частота.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ АТОМА.

Оптические атомные спектры. Известно, что в излучении нагретых тел представлены все длины волн (сплошной спектр).

Если нагреть до достаточно высокой темпе­ратуры атомарный газ, то в спектре его излуче­ния (спектре испускания) появляются яркие светящиеся линии с определенными дискретными длинами волн. Такие спектры называются линейчатыми. Каждый химический элемент обладает собственным линейчатым спектром.

Простейшим является атом водоро­да: он состоит из протона и электрона. У водорода самый простой спектр. Дж. Бальмер при изучении видимой части спектра водорода обнаружил четыре спектраль­ные линии с частотами 4,552; 6,173; 6,912 и 7,317 (в 10¹⁴ с^-1) и показал, что частоты этих линий могут быть рассчитаны по формуле: , где для первых четырех линий n принимает зна­чения 3, 4, 5 и 6. R= 3,29·10¹⁵ c^-1 - постоянная Ридберга, была определена экспериментально. Впоследствии были обнаружены линии, соответствующие другим значениям п> 6.

Установлено, что по мере увеличения частоты линии располагают­ся все ближе и ближе друг к другу и становятся все менее интенсивными. Вблизи линии с частотой 0,8242·10¹⁵ с^-1 линии сгущаются настолько, что их трудно различить. Эта частота, соот­ветствующая п=∞, называется границей серии, после нее уже не наблюдается отдельных линий, а имеется слабо выраженный сплошной спектр.

Совокупность спектральных линий, обнаружи­вающих в своей последовательности и в рас­пределении интенсивности описанную выше закономерность, называется спектральной серией.

Наряду с серией Бальмера в спектре атома водорода был обнаружен ряд других серий, представляемых совершенно аналогичными формулами:

, m =1,2,3,… n=m+1,m+2,… Это т.н. обобщенная формула Бальмера.

В ультрафиолетовой области Лайман открыл серию линий, частоты которых соответству­ют значению m = 1.

В инфракрасной области были обнаружены другие спектральные серии (серии Пашена m = 3, Брэкета m =4, Пфунда m = 5 и т.д.).

Вид этих формул, дискретность частот, определяемую целыми числами n и m, не смогла объяснить классическая физика.

Боровская модель атома водорода. Спектральные серии и устойчивость атома водорода Н.Бор объяснил на основе двух постулатов:

Первый постулат: в атоме существуют та­кие орбиты, двигаясь по которым электроны энергии не излучают. Эти орбиты называются стационарными.

Второй постулат: при переходеэлектронас одной стационарной орбиты на другуюиспускается или поглощается один фотон, энер­гия которого (в силу закона сохранения энергии) определяется соотношением: h·ν _mn= E _m – E _n, где E _m и E_n — энергии электрона в m -ом и n -ом стационарных состояниях.

Стационарными орбитами считаются такие, на ко­торых момент импульса электрона равен цело­му кратному ħ (условие кванто­вания Бора).

Момент импульса частицы массы т, дви­жущейся по окружности радиусом r соскоростью υ, равен L = m·υ·r. Поэтому условие квантования Бора имеет вид: m·υ·r_n = n·ħ, где n = 1,2,3,... Целое положитель­ное число n называется квантовым числом ор­биты, r_n – радиус n -ой стационарной орбиты. Условие квантования можно получить, если считать, что на стационарной орбите укладывается целое число волн де Бройля, соответствующих электрону на этой орбите,: 2π· r _n= n · λ _Б.

Если считать орбиту электрона круговой, то уравнение движения электрона по 2 закону Ньютона: .

Решая это уравнение совместно с условием квантования находим для радиуса

n –стационарной орбиты: . Радиус ближайшей к ядру орбиты (т.н. первой боровской орбиты с п = 1) равен r₁ =0,53·10 ^{- 10}м.

Полная энергия электрона в атоме водорода равна сумме его кинетической и потенциальной энергий: .

Решая это уравнение совместно с условиями квантования орбит и радиусов орбит находим для энергии стационарных состояний: Из последнего соотношения видно, что так же, как и радиусы орбит, энергия электрона кванту­ется, т.е. принимает ряд дискретных значений. Ближайшая к ядру орбита (n =1) имеет самую низкую энергию (основное состояние):

.

Энергия, равная 13,6 эВ, необходимая для удаления электрона из атома, называется энергией связи, или энергией ионизации E_i.

При переходе с m –ой орбиты на n –ую испускается фотон с частотой:

, что совпадает с формулой Бальмера.

Множитель равен 3,29·10¹⁵ с^-1, что совпадает с постоянной Ридберга.

Несмотря на успехи, модель атома водорода Бора была непоследовательна, т.к. в ней, с одной стороны, постулируется квантование орбит, а с другой стороны, движение электрона по орбите рассматривается классически.

Атом водорода. Квантовомеханическое рассмотрение. Атом водорода представляет собой один электрон, находящийся в сферически симметричном поле положительно заряженного ядра. Потен­циальная энергия взаимодействия электрона и ядра: , т.е. можно считать, что электрон движется в гиперболической потенциальной яме. Уравнение Шредингера принимает вид: и его удобнее решать в сферической системе координат r, θ и φ. При этом решение ищется в виде произведения трех функций, каж­дая из которых зависит от одной переменной:

ψ (r,θ,φ) = R (r)· Y (θ)· Ф (φ).

В результате подстановки ψ (r,θ,φ) и разделе­ния переменных уравнение разбивается на три независимых уравнения относительно r, θ и φ, соответственно. Учет физиче­ских условий приводит к возможным значениям R{r), Y (θ) и Ф (φ), а следовательно, и ψ -функции. При этом обнаруживается дискретность со­стояний.

Математически дискретность состояний за­ключается в том, что каждая из трех функций имеет дискретный набор значений, описывае­мых соответствующими квантовыми числами:

1) главное квантовое число п = 1,2,3....
Это число определяет уровни энергии E_n элект­рона в атоме водорода: , что совпадает с выражением, полученным в модели атома Бора;

2) орбитальное квантовое число ℓ = 0,1,2,...(n – 1) – определяет геометрическую форму разрешенной для электрона области – орбиталь. Это число ℓ определяет значение орбитального момента импульса L_ℓ электрона относительно ядра: . При переходах из одного состоя­ния в другое ℓ изменяется в соответствии с пра­вилом отбора Δ ℓ = ±1. Правило отбо­ра по квантовому числу ℓ обусловлено законом сохранения момента импульса.

3) магнитное квантовое число m_ℓ = 0, ±1,±2,... ± ℓ, всего 2 ℓ + 1 значений. Это число опре­деляет проекции орбитального момента импуль­са электрона на некоторое выделенное направ­ление z: L_ℓz =m_ℓ ·ħ. По другому, оно определяет ориентацию в пространстве орбитали. Правило отбора: Δ m_ℓ = 0,±1;

4)спиновое квантовое число m_S, которое получается не из уравнения Шредингера, а из совокупно­сти опытных данных. Это число может принимать только два значения (±½) и определяет воз­можные значения проекции L_SZ на ось z собственного спинового момента импульса L_S электрона: ; s = ½;

L_Sz = m_S ·ħ. Пра­вило отбора для спинового квантового числа: Δ m _S = 0.

Механическим моментам (орбитальному L_ℓ и спиновому L_S) соответствуют магнитные момен­ты, т.к. электрон – заряженная частица. Пере­численные четыре квантовых числа п, ℓ, m_ℓ и m_S полностью описывают состояние электрона в атоме.

Спин. Расчет с помощью уравнения Шредингера энергетического спектра атома водорода показал незначительное расхождение теории с экспериментом. Высокоточные измерения обнаруживают т.н. тонкую структуру уровней энергии – их расщепление на ряд близких подуровней.

Полностью объяснить феномен тонкой структуры смогли лишь на основе такого фундаментального квантово-механического понятия, как спин элементарной частицы. К этому поня­тию привели результаты опытов О. Штерна и В. Герлаха, еще в 1922 г. наблюдавших расщепление (раздвоение) узкого пучка ато­мов серебра под действием неоднородного магнитного поля. Подобное поведение атомов можно объяснить, лишь предполо­жив, что электрон, кроме орбитального, обладает собственным моментом импульса– спи­ном и связанным с ним собственным магнитным моментом. Такое предположение было сделано в 1925 г. Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом.

Для квантово-механического описания микрочастицы необ­ходимо задать проекцию спина на выбранную ось. Про­екция спина может дискретно меняться на величину, кратную ћ. Число проекций равно в общем случае 2s + 1, где s– спиновое число частицы. Так, например, для электрона, имеющего спиновое число s=½ и спин , проекция его спина на вы­бранную произвольную ось z может принимать два значения (m_S=±½): _.

Значениями спина отличаются два фундаментальных класса элементарных частиц: фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны – целочисленный спин. Спин, равный ¹/₂ћ, имеют электрон, протон, ней­трон, нейтрино, мюон и др. Спин фотона и глюона равен 1ћ, гравитона 2ћ. Спин элементарных частиц лежит в основе кван­товой статистики и влияет на поведение систем, состоящих из тождественных частиц. Спин лежит в основе фундаментального принципа квантовой теории – принципа Паули, согласно кото­рому две тождественные частицы с полуцелым спином (фермионы) не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоя­нии. Благодаря этому принципу смогли объяснить образование электронных оболочек в атомах и связанную с этим закономер­ность периодической таблицы Менделеева; формирование ядер­ных оболочек и их строение; понять химическую связь молекул и многое другое. Со спином связывают появление таких не­обычных свойств, как сверхтекучесть гелия и сверхпроводи­мость у некоторых веществ.

 

Элементы квантовой статистики. Метод, позволяющий перейти от исследова­ния движения отдельных частиц к поведению систем из огромного их числа, называется ста­тистическим. При применении квантовой ме­ханики к системам одинаковых частиц были обнаружены свойства, не имеющие классиче­ских аналогов. Впервые это стало очевидным при построении теории электронных оболочек многоэлектронных атомов и при рассмотрении равновесного излучения как газа фотонов.

Условия применимости классической статистики – это условия, при которых в дви­жении микрообъектов не проявляются квантовые эффекты. Классические частицы всегда можно различить по их состояниям: координатам и импульсам.

Три основных отличия квантовой статистики от классической:

1) квантовая механика – статистическая тео­рия. Состояние квантовой системы определяет­ся вероятностными законами распределения;

2) в квантовой механике многие физические величины могут принимать лишь дискретный ряд значений, в классической механике они непрерывны;

3) наиболее важное отличие классической и квантовой статистик связано с принципом тождественности, имеющим место только в квантовой механике. Поскольку в силу принципа неопределенностей понятие траектории частицы утрачивает смысл, то и различить частицы одинаковой природы невозможно, т.е. частицы становятся тождественными. Кроме того, системы частиц с целым (бозоны) и полуцелым (фермионы) спином подчиняются разным законам.

Бозоны описываются симметричными волно­выми функциями (перестановка двух бозонов не изменяет ни одной из характеристик системы бозонов). К бозонам относятся частицы-переносчики взаимодействия, например, фотоны, глюоны, фононы, гравитоны. В каждом квантовом состоя­нии может находиться неограниченное коли­чество бозонов. Их распределение по состояниям описывается т.н. статисти­кой Бозе–Эйнштейна.

Фермионы описываются антисимметричной волновой функцией (при перестановке двух фермионов волновая функция, описывающая систему фермионов, изменяет знак). К фермионам относятся частицы вещества, например, электроны, протоны, нейтроны, кварки и др. Они подчиняются принципу Паули: в каждом квантовом состоянии может находиться только одна частица. Их распреде­ление по состояниям описывается статистикой Ферми–Дирака.

Различие статистик легко понять на следующем модельном примере: пусть нам надо распределить две частицы a и b по двум состояниям. Классические частицы можно распределить 4 способами; бозоны с учетом тождественности частиц – 3 способами; фермионы с учетом тождественности частиц и принципа Паули – 1 способом.

 

Классические частицы a, b	Бозоны a≡b	Фермионы a≡b
a, b   a b b a   a, b	a, a     a, a a a	a a

В случае, когда дискретностью квантовых состояний можно пренебречь, например,

при высоких температурах, оба распределения перейдут в классическое рас­пределение Больцмана.

Периодическая система элементов. По мере увеличения порядкового номера Z атома происходит последовательное заполнение электронных уровней атома в соответствии с принципом Паули: в атоме не может быть электронов с оди­наковыми значениями всех четырех квантовых чисел п, ℓ, m_ℓ, m_S. Поэтому каждый следующий электрон не­возбужденного атома должен занимать самый глубокий из еще не заполненных уровней.

Каждому значению п соответствует 2п² со­стояний, отличающихся друг от друга значе­ниями квантовых чисел ℓ, m_ℓ, m_S. Совокупность электронов атома с одинаковыми значениями квантового числа п образует оболочку. Обо­лочки обозначают большими буквами латин­ского алфавита:

п (Оболочка): 1(К), 2(L), 3(М), 4(N)…

Оболочки подразделяют на подоболочки, раз­личающиеся орбитальным квантовым числом ℓ. Число состояний в подоболочке равно 2(2· ℓ +1). Подобо­лочки обозначают в виде 1 s; 2 s, 2 p; 3 s, З р, 3 d;...,,где цифра означает квантовое число п, т.е. при­надлежность к соответствующей оболочке, а буква – орбитальное состояние или орбиталь согласно схеме:

ℓ (Орбиталь): 0(s), 1(p), 2(d), 3(f)…

Различные состояния в подоболочке отличаются значениями квантовых чисел m_ℓ и m_S. Число возможных состояний в К, L, М, N,... обо­лочках равно соответственно 2, 8, 18, 32,..., т.е. 2 n ².

Заполнение периодической системы эле­ментов основано на идее об оболочечной струк­туре электронного облака атома. Каждый сле­дующий атом получается из предыдущего добавлением к заряду ядра единицы и добав­лением одного электрона, помещаемого в разрешенное принципом Паули состояние с наименьшей энергией.

Распределение электронов по состояниям называется электронной конфигурацией, например, для атома хлора (Z=17): 1s²2s²2p⁶3s²3p⁵.

Оболочка или подоболочка, полностью запол­ненная электронами, называется замкнутой и соответствует инертному газу. Наблюдаемая периодичность хими­ческих и физических свойств атомов объясняется по­ведением внешних валентных электронов.