Основы теории электромагнитного поля.

Вихревое электрическое поле

Из электростатики мы знаем, что электрическое поле создается электрическими зарядами Q, cиловые линии такого поля не замкнуты, а циркуляция вектора (обозначим его ) равна нулю: . С другой стороны, в явлении электромагнитной индукции изменяющееся магнитное поле приводит к э.д.с. ε_инд, т.е., к появлению электрического поля (обозначим его ),: . Сравнивая эти два выражения, видим, что между рассматриваемыми полями ( и ) имеется принципиальное различие: циркуляция вектора ,в отличие от циркуляции вектора , не равна нулю.

Следовательно, электрическое поле , порождаемое магнитным полем, как и само магнитное поле, является полем с замкнутыми силовыми линиями, т. е. вихревым электрическим полем. Таким образом, электрическое поле может создаваться электрическими зарядами и переменными магнитными полями. Это утверждение в общем виде записывают как: .

Ток смещения

Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, то должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Согласно Максвеллу, конденсатор является для постоянного тока разрывом цепи, через него ток не протекает, однако, в цепи переменного тока, содержащей конденсатор (рис.), электрический ток протекает и приборы фиксируют наличие магнитного поля у проводников с током, но оказалось, что возникает и магнитное поле между обкладками конденсатора, хотя там нет движения зарядов. А что там есть? Переменное электрическое поле вследствие постоянной перезарядки конденсатора. Вот это переменное электрическое поле, приводящее к возникновению магнитного поля Максвелл назвал «током смещения». Подчеркнем, что из всех свойств, присущих току проводимости, он приписал току смещения лишь одно − способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями. Для электрического поля между обкладками можно записать теорему.Гаусса в виде: . Если возьмем производную по времени от этого выражения, то получим величину, имеющую размерность силы тока, это и есть ток смещения I_СМ: , где величина, характеризующая быстроту изменения электрического поля в конденсаторе , имеет смысл плотности тока смещения . Таким образом, согласно Максвеллу, магнитное поле создается не только токами проводимости I_ПРОВ, но и переменными электрическими полями. Поэтому теорему о циркуляции вектора можно записать как:

.

Уравнения Максвелла в интегральной форме

 

Обобщение законов электромагнетизма было сделано в конце XIX в. Дж. К. Максвеллом в виде 4 уравнений. Он показал, что из этих урав­нений можно вывести все основные формулы, описывающие электрические и магнитные явления в самых различных си­туациях.

В основе теории электромагнитного поля Максвелла лежат два поло­жения.

 

1. Всякое переменное магнитное поле порож­дает вихревое электрическое

Поле.

 

2. Всякое изменяющееся во времени элект­рическое поле порождает вихревое магнитное поле.

 

Тогда полевые уравнения Максвелла в интегральной форме и­меют вид:

Первое уравнение связывает значение скоро­сти изменения магнитного потока через любую поверхность S и циркуляцию вектора напряженно­сти электрического поля по контуру L, опираю­щемуся на эту поверхность. Оно является по су­ществу выражением закона электромагнитной индукции Фарадея.

Второе уравнение устанавливает связь между токами проводимости и смещения и порождаемым ими магнитным полем; оно указывает, что переменное электрическое поле приводит к по­явлению магнитного поля. Таким образом, мы должны считать, что магнитное поле созда­ется не только токами проводимости, но и токами смещения. Это очень важный результат, так как токов проводимости может вообще не быть (например, в вакууме), но если есть электрическое поле и оно меняется со временем, то и в этом случае появ­ляется магнитное поле. Это обобщенный закон Био-Савара-Лапласа..

 

Третье уравнение представляет собой теоре­му Гаусса в электростатике и указывает, что линии индукции электрического поля не замкну­ты и что источником электростатического поля служат электрические заряды.

 

Четвертое уравнение представляеттеорему Гаусса для магнитного поля и указывает на то, что линии индук­ции магнитного поля являются замкнутыми, т.е., что в природе нет одиночных магнитных зарядов (монополей).

 

Из уравнений Максвелла следует, что электри­ческое и магнитное поля нельзя рассматривать как независимые, изменение во времени одного из этих полей приводит к появлению другого.

Чтобы использовать уравнения Максвелла для расчета полей, к ним нужно еще добавить уравнения, характеризующие свойства среды (материальные уравнения), в которые входят диэлектрическая проницаемость ε, магнитная проницаемость μ и электропровод­ность σ среды.

Для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и фер­ромагнетиков.:

Последняя формула – это закон Ома в дифференциальной форме.

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Незатухающие колебания

Свободные (собственные) электриче­ские колебания — колебания, совершающие­ся без внешнего воздействия за счет первона­чально накопленной энергии. Такие колебания совершаются в контуре, состоящем из катушки индуктивности L и конденсатора C. Если конденсатор предва­рительно зарядить, а потом подключить к катуш­ке, то он будет разряжаться через катушку ин­дуктивности. Ток разрядки создает магнитное поле в катушке. Магнитное поле, в свою очередь, за счет возникновения э.д.с. самоиндукции обеспечит перезарядку конденсатора. В каждый момент времени напряжения на катушке U_L и конденса­торе U_C равны друг другу, т.е. U_C + U_L=0. Тогда уравнение колебаний в таком контуре имеет вид: . Если учесть, что заряд на конденсаторе q и ток в цепи I связаны соотношением I = − dq/dt (уменьшение заряда на конденсаторе приводит к возрастанию тока в цепи и наоборот), приходим к уравнению свободных гармонических незатухающих колебаний: где частота собственных колебаний:

Решением его является q=q₀·cos(ω₀·t+φ₀). Сила тока в цепи изменяется по закону I = – dq/dt = q₀·ω₀·sin(ω₀·t + φ₀) = I₀· sin(ω₀·t + φ₀), где – амплитуда тока. При свободных гармонических колебаниях в колебательном контуре происходит периодическое преобразование энергии W_e электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля W_m катушки и наоборот: ; .

Полная энергия электромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени и равна: .

 

Затухающие колебания

Реальный колебательный контур имеет оми­ческое сопротивление R, поэтому колебания в нем затухают, т.к. энергия, запасенная в контуре, выделяется в виде тепла. Уравнение затухающих колебаний в RLC -контуре имеет вид: где β=R /(2· L) – коэффициент затухания.

В кон­туре возникнут колебания при условии: , т.е., при L > C·R²/4. Решение уравнения колебаний имеет вид: , где Затухание колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания и добротностью . Если значение индуктивности L ≤ C·R²/4, то э.д.с. самоиндукции оказывается недостаточ­ной, чтобы вызвать перезарядку обкладок кон­денсатора, процесс будет апериодическим. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический (ω₀ = β), называется критическим: .