Распределение молекул по скоростям.

Среднюю квадратичную скорость молекул газа при температуре Т можно оценить по (2) и (6): (12).

Однако, отдельные молекулы даже в случае одного типа газа имеют разные скорости. Разброс по скоростям может быть весьма ве­лик. Это отражено на рисун­ке, на котором по вертикали отложена доля от общего числа молекул в единице объема Δ n/n, имеющих скорости в некотором интервале от υдо υ + Δ υ, в расчете на еди­ницу этого интервала, т. е. Δ n/(n· Δ υ).

Кривая на рисунке имеет максимум, т. е. молекул со ско­ростью больше всего ( – наиболее вероятная скорость). Вид­но, что есть молекулы с υ, близкими к нулю, и есть молекулы с очень большими υ. Максвелл теоретически вывел формулу для этой функции распределения f(υ): (13).

Для нахождения положения максимума, т. е. наиболее вероятной скорости , надо это выражение продифференцировать и приравнять производную нулю. Получится (14).

При повышении температуры кривая деформируется, смещается в сторону больших скоростей (более вероятны боль­шие скорости). Это показано на рисунке пунктиром.

Распределение Больцмана

Молекулы газа, находящиеся в поле тяготения, участвуют в тепловом движении и испытывают действие силы тяжести. Это приводит к стационарному состоянию, при котором наблюдается уменьшение концентрации n и давления p газа с возрастанием высоты над Землей.

К этому выводу можно прийти путем таких рассуждений. На рисунке пока­зан столб газа. На высоте h выделим слой толщиной dh. Слой dh давит своей тяжестью dm·g = ρ·S·dh·g на нижний слой. В результате давление (сила на единицу площади) над слоем будет на dp = ρ·g·dh меньше, чем под слоем и связь между ρ и h будет такой: –dp= ρ·g·dh. Перед dp поставлен знак «минус», так как с увеличением h давление р не возрастает, а убывает, прираще­ния dh и dp имеют разные знаки. Если заменим, использовав (8), dp на k·T·dn и плотность ρ на m₀·n, то получим:

(15). Вычислив определенный интеграл от (15),

(16) получим выражение (17),

где n₀– концентрация молекул у поверхности (h=0), ε_П – потенциальная энергия молекулы (в общем случае не только в поле силы тяжести).

(17) справедливо, если Т с высотой не меняется, что не всегда так.

Это очень важное не только для этого раздела выражение – формула Больцмана – распределение числа частиц по энергии.

 

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ

Термодинамика – учение о превращениях одного вида энер­гии в другой, о передаче энергии от тела к телу. Термодинамика изучает свойства макроскопических тел без рассмотрения их молекулярной структуры. Термодинамическая система (ТС) – макроскопические тела, которые могут обмениваться энергией как друг с другом, так и с внешней средой. Равновесное состояние ТС - состояние, при котором термодинамические параметры (давление, температура и объем) остаются постоянными сколь угодно долго при неизменных внешних условиях. Термодинамический процесс – изменение состояния ТС, характеризующееся изменением ее параметров. Состояние ТС характеризуют также внутренней энергией, которая равна сумме кинетических энергий беспорядочного движения всех молекул и потенциальных энергий взаимодействия молекул друг с другом.

Система тел называется изолированной, или замкнутой, если нет обмена энергией с окружающей средой.

Первое начало термодинамики

Тела и системы могут обмениваться энергией друг с другом. Существует два вида обмена энергией. Это может быть работа, произведенная одним телом (системой) над другим телом (сис­темой). Примером мо­жет служить перемещение тела или его частей под действием упругих, электрических или других сил.

Другой способ обмена энергией – путем передачи энергии неупорядоченного, хаотического движения молекул. Тогда гово­рят о передаче тепла. Например, передача энергии от нагретого тела к холодному происходит за счет передачи кинетической энергии хаотически движущихся молекул одного тела хаотичес­кому движению молекул другого тела. В обоих этих случаях изменяется внутренняя энергия U.

Сказанное выше можно записать как: Δ U = Q + А’, где Q – энергия,

поступающая в систему при теплообмене, а А’ – работа, совершаемая внешними

телами над системой. Исторически принято это соотношение записывать как:

Q = ΔU + А (18),

где А = – А’ –работа, совершаемая самой системой.

(18), представляющее собой закон сохранения энер­гии, получило название первого начала термодинамики: «Подведенное к телу количе­ство теплоты идет на увеличение внутренней энергии тела и на работу, которую тело производит».

Очень важно отметить различие между величинами U с одной стороны, и А и Q – с другой. Внутренняя энергия U – это функция состояния системы. Если в состоянии 1 внутренняя энергия равна U₁, то что бы ни происходило с системой, какую бы работу она ни соверша­ла, какие бы количества теплоты к ней ни подводились, если систе­ма вернулась в то же состояние 1 (т. е. процесс оказался круговым, совершен цикл), ее внутренняя энергия будет снова U₁ (Δ U =0).

В то же время Q и А – это только передаваемые телу или получаемые от тела порции энергии. Они связаны с передачей энергии, а не с каким-то запасом их в теле. Бессмысленно гово­рить о запасе работы в теле. И так же бессмысленно говорить о запасе теплоты в теле. Работа и теплота не являются функция­ми состояния тела.

Переходя к бесконечно малым порциям энергии, запишем первое начало в дифференциальной форме: δQ = dU + δA. (19).

Здесь специально даны разные обозначения бесконечно малых («d...» и «δ …»), чтобы отразить то обстоятельство, что U – функ­ция состояния, a Q и А – нет.