Первый постулат (принцип относительности): все законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета (ИСО).

Второй постулат (постоянство скорости света): свет распространяется в пустом пространстве со скоростью с = 3·10⁸ м/с, не зави­сящей от скорости движения источника или наблюдателя.

Пусть система отсчета K является неподвижной, а система K’ движется относи­тельно нее вдоль оси x со скоростью υ.

Уравнения преобразования координат и времени для т. m при переходе от одной ИСО к другой, полученные Лоренцем, имеют вид:

 

Следствия из преобразований Лоренца.

1. Сокращение длины. Пусть вдоль оси x’ в движущейся системе отсчета K’ лежит стержень длины ℓ _o (это собственная длина или длина предмета (стержня) в той системе отсчета, в которой он покоится). Тогда ℓ – длина стержня относительно неподвижной системы отсчета K – равна:

Таким образом, движущийся предмет кажется наблюдателю более коротким, чем покоящий­ся. Сокращение происходит только в направле­нии относительного движения и становится за­метным лишь при υ, близкой к скорости света в вакууме с.

2. Замедление времени. ,

где Δ t₀ – собственное время, т.е. промежу­ток времени в системе, где часы покоятся, Δ t соответствует промежутку времени в системе, относительно которой часы движутся, причем Δ t > Δ t₀. Таким образом, движущиеся часы идут медленнее покоящихся.

3. Относительность одновременности. События, одновременные в одной ИСО, оказываются неодновременными по отношению к другой ИСО.

4. Релятивистские формулы преобразо­вания скоростей (закон сложения скоростей) получаются дифференцированием по времени преобразований Лоренца:

;

;

.

Здесь и_х, и_у, u_z, u’_x, u ’ _y и и'_г — проекции скорости движущейся частицы на оси неподвижной и по­движной систем отсчета, соответственно. Отсюда следует, что скорость света, равная u’_x = с относительно системы отсчета K’, и относительно K будет равна и_х = с.

Физические величины, которые не меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой, называются инвариантами теории относительности. К инвариантам, например, относятся скорость света в вакууме, масса и электрический заряд частицы, пространственно-временной интервал .

А. Эйнштейн показал, что закон природы – основное уравнение динамики – будет инвариантен к преобразованиям Лоренца, если импульс тела будет иметь вид: .

Из этой формулы видно, что тело, обладающее массой, не может двигаться со скоростью, большей или равной скорости света с. Из этой же формулы следует, что со скоростью света может двигаться, обладая конечным импульсом, только безмассовая частица (m =0). Это, например, фотон.

Основное уравнение динамики в СТО принимает, т.о., вид:

.

Если сила совершает работу, разгоняя тело от нулевой скорости до некоторой релятивистской скорости , то эта работа целиком идет на создание кинетической энергии, т.е.: . Вычисление интеграла приводит к выражению: .

Если истолковывать как полную энергию тела, то отсюда следует, что когда тело покоит­ся и его кинетическая энергия равна нулю, оно тем не менее обладает энергией т_·с². В соот­ветствии с этим т_·с² называют энергией покоя тела: Е₀ = m·c². Это знаменитая формула Эйнштейна, говорящая о том, что масса тела является не только мерой инертно­сти или мерой гравитационного действия, но и мерой энергосодержания тела. Используя выражения для импульса и энергии тела можно получить еще одно часто используемое выражение для полной энергии тела:

.

Согласно СТО, пространство и время являются относительными, зависят друг от друга, образуя единый 4-х мерный пространственно-временной континуум.

Несколько позже в общей теории относительности А. Эйнштейн показал, что на пространство и время влияет тяготение, а именно, вблизи очень массивных тел пространство искривляется, а время замедляется.

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Движение, которое повторяется через равные промежутки времени, называется колебатель­ным. Промежуток времени T, по истечение кото­рого движение повторяется, называется перио­дом колебания. В моменты времени t и t + Т частица имеет одно и то же положение и одну и ту же скорость. Величина ν, обратная периоду, называется частотой: ν = 1/ Т. Она определяет, сколько раз в секунду повто­ряется движение, и измеряется в герцах (Гц). Круговой (циклической) частотой называ­ется величина ω = 2 π v.

Свободные (собственные) колебания –колебания, происходящие без внешних воздей­ствий за счет первоначально полученной телом энергии. Рассмотрим горизонтальный пружинный маятник жесткостью k и массой m, помещенный в среду с коэффициентом сопротивления r, на который вдоль оси х действует переменная внешняя сила F(t), изменяющаяся со временем, например, по гармоническому закону F(t) = F₀ · cosΩt с некоторой частотой Ω.

Уравнение движения маятника:

(1), где сила упругости F_УПР пропорциональна смещению х, а сила трения (сопротивления) F_ТР среды – скорости υ= dx/dt. Перепишем (1) по другому:

(2),

где введены обозначения

Проанализируем уравнение (2).

 

1. Свободные гармонические незатухающие колебания.

Маятник в отсутствие силы трения (r =0) и внешней силы (F₀= 0) отведен от положения равновесия и отпущен. Уравнение движения имеет вид:

(3).

Его решением является гармоническая функция: (4),

в чем легко убедиться, подставив (4) в (3).

В (4) x_m, ω ₀ и φ₀ – постоянные величины. x_m – амплитуда – величина, указывающая максимальное значе­ние координаты х при отклонении от положения равновесия, ω ₀ – собственная частота, аргумент косинуса носит название фазы колебания; φ₀ — начальная фаза коле­бания (в момент t = 0).

Частота колебаний зависит только от свойств колеблю­щейся системы, но не от амплитуды, а амплиту­да и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями ее движения, выводя­щими систему из состояния покоя.

Скорость колеблющейся частицы равна: (5).

Ускорение частицы при таком движении: (6). На рис. приведены зависимости x(t), υ(t) и a(t) для φ₀ =0.

Складывая кинети­ческую энергию с потенциальной, найдем полную энергию частицы, колеблющейся под действием упругой силы:

(7).

Т.о., полная энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Кинетическая и потен­циальная энергии изменяются со временем, как sin²(ω₀·t + φ₀) и cos²(ω₀·t + φ₀), так что когда одна из них увеличивает­ся, другая – уменьшается, т.е. процесс колеба­ний связан с периодическим переходом энергии из потенциальной в кинетическую и обратно. Сред­ние за период колебания значения потенциальной и кинетической энергии одинаковы и равны W/2. Т.о., если на тело действует сила, пропорциональная величине смещения час­тицы х и направленная в сторону, противоположную этому смещению (таковы, например, упругая сила, F=– k·x, действующая на пружинный маятник, или сила тяжести, действующая на математический или физический маятники), то оно совершает т.н. гармонические колебания (движение совершается по закону синуса или косинуса).

Примечание: В механике обычно рассматривают колебания: – математического маятника с периодом , где ℓ– длина маятника;

– физического маятника с периодом , где J– момент инерции маятника, a – расстояние от точки подвеса маятника до его центра масс;

– пружинного маятника с периодом , где k– жесткость пружины.