Где Т – интервал между отсчетами

n – целые числа, -5, -4, -3,…, 0, 1, 2, 3,…

Обозначения последовательностей:

1. {h(n)},

 

2. {h(nT)},

 

3. h(n),

 

4. h(nT),

 

1 и 3 – Применяются при неравномерном распределении отсчетов.

2 и 4 – Применяются при равномерном расположении отсчетов.

 

Способы получения последовательностей.

 

1)
Взять набор чисел и расположить их в виде последовательности – 0,1,2,3,…,(N-1) Это образует последовательность:

2) Использование рекуррентного соотношения:

 

h(n)=h(n-1)/2

 

С начальным условием h(0)=1

Это последовательность:

 

3) Взять отсчеты равноотстоящие из непрерывного сигнала, т.е. положить.

 

 

где Т – интервал дискретизации.

 

Для получения такой последовательности используется

 

АЦП – аналого-цифровой преобразователь.

 

Графические изображения последовательностей:

 

1 – элемент последовательности, изображающийся отрезком соответствующей длины.

2 – Изображается только огибающая последовательности.

 

Некоторые важные последовательности.

 

1)
Цифровой единичный импульс (единичный отсчет)

 

Его роль такая же, как аналоговый единичный импульс (дельта функция Дирака) в аналоговых системах.

 

Отличие их: - физически реализуема.

- обобщенная функция или распределение.

 

Единичный импульс, задержанный на отсчетов.

 

2) Единичный скачок:

 

Единичный скачок выражается через единичный импульс:

3) Убывающая экспонента.

4) Косинусоида

 

5) Комплексная экспонента

Для ее изображения необходимы раздельные графики вещественной и мнимой части.

Можно изобразить в виде вектора, вращающегося с частотой омега.

 

Многие из этих последовательностей играют важную роль в теории цифровой обработки сигналов.

 

Представление произвольных последовательностей.

 

Рассмотрим последовательность

а(0), а(1), а(2), …, а(n);

 

где а(n) – величина n-го элемента.

 

Такую последовательность можно представить:

Дискретная система.

Алгоритм преобразования

 

y(n)=Ф[x(n)]

 

Линейная система.

 

x1(n) y1(n)

x2(n) y2(n)

 

Тогда, если на входе

 

ax1(n)+bx2(n), а на выходе будет.

ay1(n)+by2(n), то система называется линейной.

 

Система с постоянными параметрами (ЛПП).

x(n) y(n)

x(n-n0) y(n-n0) – при любых n0

 

где n0 – величина задержки.

 

h(n) – импульсная характеристика системы или отклик на единичный отсчет.

 

Тогда:

 

Т.к. h(n) – отклик системы на, а параметры системы постоянны,

 

h(n-m) – отклик системы на

 

Из свойств линейности:

Откликом системы на

Должна быть последовательность

Поэтому отклик на x(n) будет равен:

Заменой переменной можно представить.

 

Это уравнение представляет собой цифровую свертку.

Т.О., чтобы вычислить выходную последовательность системы на заданную входную, необходимо вычислить цифровую свертку входной последовательности и импульсной характеристики системы.

 

Физическая реализуемость.

ЛПП – система физически реализуема, если отклик при n=n0 зависит только от отсчетов входной последовательности с номерами

Это означает, что импульсная характеристика h(n) системы равна нулю, при всех

 

Примеры систем физически нереализуемых.

- Идеальный ФНЧ

- Идеальный дифференциатор.

 

Устойчивость ЛПП.

 

Если при любой ограниченной входной последовательности выходная последовательность так же ограничена.

 

Необходимое и достаточное условие.

 

Устойчивость системы:

(*)

 

Доказательство необходимости.

 

Пусть (*) не удовлетворяется:

 

 

Рассмотрим входную последовательность.

 

Тогда отклик при n=0 равен:

Т.о. последовательность y (0) не ограничена, так, что неравенство (*) является необходимым условием устойчивости.

Доказательство достаточности.

 

Пусть (*) выполняется. На вход поступает ограниченная последовательность

Тогда:

 

Последовательность y(n) ограничена, поэтому система устойчива, что и требовалось доказать.

 

Примеры импульсных характеристик.

1) Пример устойчивой системы.

2) Пример неустойчивой системы.

Разностные уравнения.

В общем виде линейное разностное уравнение М-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

 

,где коэффициенты {ai} и {bi} полностью описывают конкретную систему, как и импульсная характеристика. При любом входном сигнале можно определить выходной.

 

Разностные уравнения – это алгоритм функционирования системы.

Зная входную последовательность x(m) и начальные условия:

x(n-1), x(n-2), …, y(n-1), y(n-2), …

Всегда можно определить соответствующую ей выходную последовательность y(n).

 

Рассмотрим разностное уравнение первого порядка.

 

Этому уравнению соответствует система, схема реализации которой имеет вид:

Элемент задержки осуществляет задержку последовательности на один отсчет.

 

Разностное уравнение второго порядка:

Схема имеет вид:

Частотная характеристика.

 

При подаче на вход последовательностей вида:

 

На выходе ЛПП - систем последовательность y(n) будет совпадать с входной, умноженной на некоторый комплексный коэффициент, зависящий только от частоты гармонического сигнала.

 

Выходная последовательность:

 

 

Множитель называется частотной характеристикой ЛПП – систем, т.к. он представляет коэффициент передачи ЛПП – систем для каждого значения частоты.

 

Пример:

 

Пусть

Частотная характеристика:

Т.к. , то сумма геометрической прогрессии будет равна:

Свойства частотной характеристики:

1. Частотная характеристика является периодической функцией.

2. Ее период равен

3. Достаточно ее знать на интервале

4. Для действительных h(n) (что часто бывает на практике) модуль

- симметричен, а фаза антиметрична на интервале

5. Поэтому часто частотную характеристику задают на интервале