Структурная схема цифровых фильтров.

 

Уравнение цифровой свертки:

Z-преобразование:

где Y(z) – z-преобразование выходной последовательности,

X(z) - z-преобразование входной последовательности,

H(z) - z-преобразование импульсной характеристики фильтра.

Тогда:

Выразим H(z) в виде дробно-рационального полинома от переменной z^-1, т.е.:

причем b₀ д.б. равно 1.

Приведем к общему знаменателю:

 

Или:

Взяв обратное z-преобразование от левой и правой части (обратное преобразование – не вводилось понятие) можно перейти к последовательностям.

т.к. b₀=1, тогда:

 

- уравнение цифрового фильтра.

Простая форма 1 его реализации:

 

Запишем:

Обозначив первый и второй множители за H1(z) и H2(z) соответственно, можно получить два фильтра:

 

 

*Прямая форма 2 (неканоническая)

 

Очевидно, что можно использовать один набор элементов задержки, т.к. задерживается один и тот же сигнал:

 

*Прямая форма 2 или каноническая форма

Можно записать:

Получим третью структуру построения цифрового фильтра. Множители Hi(z) соответствуют либо блокам второго порядка:

либо блокам первого порядка, т.е.:

 

Последовательная (каскадная) форма.

Разложим на простые дроби:

где Hi(z) – соответствуют или блокам второго порядка:

или блокам первого порядка:

Структурные схемы фильтров без полюсов

В частном случае знаменатель дроби:

может быть постоянным. Для простоты приравняем его к единице. При этом разностное уравнение становится нерекурсивным, т.е. значение отклика y(n) зависит только от текущего и конечного числа предшествующих значений входной последовательности. В этом случае правую часть преобразуют таким образом, чтобы выразить H(z) непосредственно через импульсную характеристику фильтра:

Разностное уравнение:

т.е. является нерекурсивным уравнением.

 

Прямая форма фильтра с КИХ.

 

Дискретное преобразование Фурье

Методы описания последовательностей или дискретных систем:

- дискретная свертка

- преобразование Фурье

- z-преобразование.

 

Когда последовательность периодична или конечна, то ее можно представить рядом Фурье:

Рассмотрим последовательность x(n) – периодическую с периодом N отсчетов.

Тогда можно представить:

(*)

причем частоты спектральных составляющих могут принимать значение только:

, где

т.к. периоды других частот не кратны N.

В уравнении (*) коэффициенты Xp(k) – амплитуды синусоид с частотами ω_р

Учитывая избытычность записи (*), т.е.:

, где 0<n<

можно записать:

,

т.е. наличие всего N (k=0…n-1) – комплексных синусоид с периодом N-отсчетов.

Для удобства можно записать:

(**)

- операция нормировки не изменяет способа представления.

 

Соотношение (**) – носит название обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Можно показать, что коэффициенты определяются:

(***)

Это соотношение (***) называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Из (**) и (***) видно, что обе последовательности и периодичны с периодом N-отсчетов.

Ясно также, что X_p(k) полностью определяется одним периодом x_p(n).

Рассмотрим последовательность конечной длины:

при

при других n.

Z-преобразование:

Вычисляя эту сумму при , т.е. в точках на единичной окружности с полярным углом , получим:

,

т.е. учитывая, что x_p(n)=x(n) на интервале , получим:

 

Вывод 1:

Коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой же последовательности в N-точках, равномерно распределенных по единичной окружности.

Вывод 2:

Коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, т.к. по ним можно точно восстановить саму последовательность, используя обратное ДПФ.

Вывод 3:

Хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для периодических последовательностей, важно, что через них можно представлять последовательности конечной длины.

 

Свойства ДПФ

1. Линейность

x_p(n) и y_p(n) – периодичные последовательности с периодом N каждая.

X_p(к) и Y_p(к) – их ДПФ.

Тогда для последовательности: x_p(n)+y_p(n) ДПФ будет равно:

X_p(к)+Y_p(к)

Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.

 

 

2. Сдвиг

x_p(n) c периодом N

тогда для x_p(n-n₀)

3. Свойство симметрии

Если x_p(n) периодическая последовательность в N отсчетов и является действительной, то ее ДПФ удовлетворяет условиям симметрии:

Аналогичные равенства справедливы и для конечной последовательности x(n), имеющей N-течное ДПФ X(k).

Если будет дополнительное условие симметрии:

то окажется, что может быть только действительной.

Примечание: вычислив одно ДПФ можно получить ДПФ двух последовательностей.

x_p(n) и y_p(n) – действительные последовательности с периодом N отсчетов.

Рассмотрим последовательность комплексную:

Ее ДПФ равно:

 

Действительные части и симметричны, а мнимые – антисимметричны, поэтому получим:

Если эти две последовательности x(n) и y(n) являются еще и симметричными, то можно сократить еще большее число операций.

Нерекурсивные цифровые фильтры.

 

 

Порядок расчета фильтров. Свойства КИХ-фильтров. Характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.