Метод отображения дифференциалов

 

Один из наиболее простых методов дискретизации системы – замена дифференциалов в ее дифференциальном управлении на конечные разности, что дает возможность получить разностное уравнение.

(**) à (***) ;

 

,где x(n) – последовательности на входе ЦФ.

y(n) – последовательность на выходе фильтра

i-е разности и определяются:

 

Причем:

- обратная разность;

- прямая разность.

 

Производная в точках приравнивается (n) или к прямой (справа), или к обратной (слева) разностям.

 

 

При использовании обратных разностей:

При использовании обратных разностей:

 

С точки зрения операторов это соответствует:

или

при , получим:

 

Действительная и мнимая части z:

 

 

Вывод: при использовании обратных разностей устойчивый аналоговый фильтр будет отображаться в устойчивый цифровой фильтр но избирательные свойства аналогового фильтра не будут сохраняться.

Прямые разности – можно показать, что ось не отображется в окружность, и что все точки не лежат внутри единичной окружности, т.е. ЦФ получается не всегда устойчивым и его избирательные свойства неизвестны.

Поэтому используется метод обобщенных разностей. (Более сложаня методика дискретизации аналоговых фильтров).

Первая производная:

;

 

где – порядок используемых разностей.

 

Такое соотношение описывает отображение:

 

Выбирая значения коэффициентов ai, можно добиться практически любой точности аппроксимации.

Однако основная трудность – нахождение этих коэффициентов,

поэтому этот метод не нашел практического применения и теоретически не разработан.

 

 

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Билинейное Z – преобразование. Согласованное Z – преобразование. Обзор методов расчета аналоговых фильтров НЧ (Баттерворта, Бесселя, Чебышева типа 1 и 2, эллиптические фильтры).

 

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.

 

Этот метод также называется методом стандартного преобразования.

 

В качестве импульсной характеристики рассчитываемого цифрового фильтра используется дискретизированная импульсная характеристика соответствующего аналогового фильтра.

 

Передаточная характеристика аналогового фильтра:

 

(*) Разложим на простые дроби,

где

Предположение, что M<N (* - разложение на простые дроби) – является в данном случае обязательным, в противном случае наложения в частотной области станут недопустимыми.

 

Импульсная характеристика h(t) аналогового фильтра:

 

Дискретизируя ее получим.

 

,

где Т – период дискритизации.

 

Найдем Z – преобразование.

 

Изменим порядок суммирования.

 

 

(**)

 

 

Сравним (*) (**), переход от H(s) к H(z) осуществляется с помощью отображения, при котором используется замена:

 

Частотная характеристика цифрового фильтра, рассчитанная методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, образуется путем положения частотной характеристики дискретизуемого аналогового фильтра.

Т.о.

,

где

- угловая частота дискретизации цифрового фильтра

 

Каждая горизонтальная полоса, шириной из S – плоскости отображается на Z – плоскость.

 

Все смежные полосы из S – плоскости будут при отображении накладываться друг на друга в Z – плоскости.

 

Отсюда следует, что для того что бы частотные характеристики исходного аналогового фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобразования импульсной характеристики цифрового фильтра соответствовали друг другу, необходимо что бы полоса пропускания аналогового фильтра находилась в пределах диапазона.

Для выполнения этого условия необходимо до начала преобразования (т.е. до АЦП) вводить дополнительный фильтр нижних частот, гарантирующий соответствующее ограничение полосы пропускания аналогового фильтра.

 

Билинейное Z – преобразование.

 

Вся ось jw перейдет в единичную окружность, левая полуплоскость окажется внутри единичного круга, правая вне его.

Учитывая, что:

Можно получить обратную подстановку:

 

При билинейном преобразовании передаточная функция цифрового фильтра H(z) рассчитывается по формуле.

(***)

 

 

Из формулы (***) видно, что порядки знаменателей функций H(z) H(s) совпадают, но порядки числителей могут отличаться.

 

Согласованное Z – преобразование.

 

Непосредственное отображение полюсов и нулей из S – плоскости в полюсы и нули на Z – плоскости.

Полюс (или нуль) в точке s = - a плоскости s отображается в полюс (или нуль) в точке , где Т – период дискретизации.

Т.о. имеет место замена:

Если полюсы или нули комплексные, тогда:

 

 

 

Обзор методов расчета аналоговых фильтров нижних частот.

 

Стандартные типы аналоговых фильтров:

- Баттерворта

- Чебышева 1 типа

- Чебышева 2 типа

- Кауэра (эллиптические фильтры)

 

Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра является рациональной функцией переменной S.

 

Фильтр нормированный с частотой среза, равной

Фильтры Баттерворта.

 

Апроксимация по Баттерворту – фильтры НЧ имеют максимально гладкую амплитудную характеристику в начале координат в S – плоскости.

Для частоты среза:

 

, (*)

где n – порядок фильтра.

Или.

 

Все полюсы находятся на единичной окружности на одинаковом расстоянии друг от друга в S – плоскости.

Можно выразить H(s):

 

 

(**)

где

-

а К₀ - константа нормирования.

 

Из формул (*) и (**) – свойства фильтров Баттерворта.

 

1. Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули уходят в бесконечность)

2. На частоте 1 рад/сек, коэффициент передачи фильтров равен:

Т.е. АЧХ спадает на 3 дб (0,707)

3. Порядок фильтра n определяет весь фильтр.

 

На практике порядок фильтра рассчитывается из условия определения ослабления на некоторой частоте .

Порядок фильтра определяется по условию уровня АЧХ=1/А на частоте Ω = Ω_t по формуле:

 

Например:

 

Округлим n в большую сторону до целого числа, получим n=7

 

 

Фильтр Чебышева.

 

Отличительная черта – наименьшая величина максимальной аппроксимации в заданной полосе частот.

 

Различают поэтому фильтры Чебышева первого и второго типов (максимизируется ошибка аппроксимации в полосе пропускания и в полосе не пропускания)

 

Фильтры 1 типа.

 

 

где T_n (Ω) - полином Чебышева n – го порядка, равный по определению.

 

а ε - параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

 

Фильтр Чебышева первого порядка имеет только полюса.

 

 

Фильтры второго типа.

 

 

где Ω_r - наименьшая частота, на которой достигается заданный уровень ослабления.

 

Фильтры второго типа имеют и полюсы и нули.

 

Фильтры Чебышева 1 и 2 типов определяются любыми из четырех параметров.

 

1. n – порядок фильтра.

2. ε - параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

3. Ω_r – наименьшая частота в полосе не пропускания, достигающая заданного ослабления.

4. А – параметр, характеризующий ослабления в полосе пропускания.

 

Порядок фильтра определяется:

 

,

где

Пример:

 

Получим:

Эллиптические фильтры.

 

Характеризуются тем, что их амплитудная характеристика имеет равновеликие пульсации в полосе пропускания и в полосе не пропускания.

Можно показать, что с точки зрения минимальной ширины переходной полосы эллиптические фильтры являются оптимальными, т.е. для заданных порядка фильтра и уровней пульсации не существует других фильтров с более быстрым переходом от полосы пропускания к полосе не пропускания.

 

где R_n (Ω,L) - рациональная функция Чебышева.

L – параметр, характеризующий пульсации функции R_n (Ω,L)

 

 

Переходное отношение:

где Ω_p – граничная частота полосы пропускания, а Ω_s – граничная частота полосы непропускания. Если ввести параметр K₁, равный

то порядок фильтра эллиптического, удовлетворяющего условию заданных значений ε, A, Ω_p, Ω_s, рассчитывается по формуле:

 

,

где K (▪) – полный зллиптический интеграл 1-го рода.

 

Существуют расчетные диаграммы – по проектированию фильтров нижних частот рассмотренных аппроксимаций (Б,Ч,Э)

 

 

Частотные преобразования. Прямые методы расчета цифровых БИХ – фильтров (расчет по квадрату амплитудной характеристики, расчет во временной области). Методы оптимизации при расчете БИХ – фильтров (Минимизация среднеквадратической и Lp – ошибок, оптимизация в W – плоскости с использованием всепропускающих цепей, расчет методом линейного рограммирования).

 

Частотные преобразования.

 

Рассмотрим методы расчета ФНЧ непрерывных во времени, а так же методы их дискретизации. При расчете цифровых фильтров ВЧ, ПФ и режекторных, используются два подхода:

 

1.

- Расчет аналогичного ФНЧ

- Преобразование полосы частот

- Дискретизация фильтра

Получаем цифровой фильтр с заданными характеристиками.

 

2.

- Расчет аналогичного ФНЧ

- Дискретизация фильтра

- Преобразование полосы частот.

Получаем цифровой фильтр с заданными характеристиками.

 

Преобразование полосы частот аналоговых фильтров.

ФНЧ ФНЧ

 

ФНЧ ФВЧ

 

ФНЧ ППФ

 

ФНЧ ПЗФ

 

 

где

Преобразование полосы для ЦФ.

 

ФНЧ с частотой среза в другой ФН с частотой среза а так же

В ФВЧ, ППФ и ПЗФ

 

ФНЧ в ФНЧ

где

 

ФНЧ в ФВЧ

 

 

где

 

ФНЧ в ППФ

 

где - центральная частота полосового фильтра.

 

ФНЧ в ПЗФ

где - центральная частота режекторного фильтра.

 

Прямые методы рассчета цифровых фильтров.

 

Существуют так же прямые методы расчета цифровых фильтров в частотной или временной областях, без аналоговых прототипов.