Последовательности и их представления.

Последовательности и их представления.

 

Дискретные сигналы определяются для дискретных значений независимой переменной - времени.

Время квантуется обычно равномерно:

 

T=nT;

 

Где Т – интервал между отсчетами

n – целые числа, -5, -4, -3,…, 0, 1, 2, 3,…

Обозначения последовательностей:

1. {h(n)},

 

2. {h(nT)},

 

3. h(n),

 

4. h(nT),

 

1 и 3 – Применяются при неравномерном распределении отсчетов.

2 и 4 – Применяются при равномерном расположении отсчетов.

 

Способы получения последовательностей.

 

1)

Взять набор чисел и расположить их в виде последовательности – 0,1,2,3,…,(N-1) Это образует последовательность:

2) Использование рекуррентного соотношения:

 

h(n)=h(n-1)/2

 

С начальным условием h(0)=1

Это последовательность:

 

3) Взять отсчеты равноотстоящие из непрерывного сигнала, т.е. положить.

 

 

где Т – интервал дискретизации.

 

Для получения такой последовательности используется

 

АЦП – аналого-цифровой преобразователь.

 

Графические изображения последовательностей:

 

1 – элемент последовательности, изображающийся отрезком соответствующей длины.

2 – Изображается только огибающая последовательности.

 

Некоторые важные последовательности.

 

1)

Цифровой единичный импульс (единичный отсчет)

 

Его роль такая же, как аналоговый единичный импульс (дельта функция Дирака) в аналоговых системах.

 

Отличие их: - физически реализуема.

- обобщенная функция или распределение.

 

Единичный импульс, задержанный на отсчетов.

 

2) Единичный скачок:

 

Единичный скачок выражается через единичный импульс:

3) Убывающая экспонента.

4) Косинусоида

 

5) Комплексная экспонента

Для ее изображения необходимы раздельные графики вещественной и мнимой части.

Можно изобразить в виде вектора, вращающегося с частотой омега.

 

Многие из этих последовательностей играют важную роль в теории цифровой обработки сигналов.

 

Представление произвольных последовательностей.

 

Рассмотрим последовательность

а(0), а(1), а(2), …, а(n);

 

где а(n) – величина n-го элемента.

 

Такую последовательность можно представить:

Дискретная система.

Алгоритм преобразования

 

y(n)=Ф[x(n)]

 

Линейная система.

 

x1(n) y1(n)

x2(n) y2(n)

 

Тогда, если на входе

 

ax1(n)+bx2(n), а на выходе будет.

ay1(n)+by2(n), то система называется линейной.

 

Система с постоянными параметрами (ЛПП).

x(n) y(n)

x(n-n0) y(n-n0) – при любых n0

 

где n0 – величина задержки.

 

h(n) – импульсная характеристика системы или отклик на единичный отсчет.

 

Тогда:

 

Т.к. h(n) – отклик системы на, а параметры системы постоянны,

 

h(n-m) – отклик системы на

 

Из свойств линейности:

Откликом системы на

Должна быть последовательность

Поэтому отклик на x(n) будет равен:

Заменой переменной можно представить.

 

Это уравнение представляет собой цифровую свертку.

Т.О., чтобы вычислить выходную последовательность системы на заданную входную, необходимо вычислить цифровую свертку входной последовательности и импульсной характеристики системы.

 

Физическая реализуемость.

ЛПП – система физически реализуема, если отклик при n=n0 зависит только от отсчетов входной последовательности с номерами

Это означает, что импульсная характеристика h(n) системы равна нулю, при всех

 

Примеры систем физически нереализуемых.

- Идеальный ФНЧ

- Идеальный дифференциатор.

 

Устойчивость ЛПП.

 

Если при любой ограниченной входной последовательности выходная последовательность так же ограничена.

 

Необходимое и достаточное условие.

 

Устойчивость системы:

(*)

 

Доказательство необходимости.

 

Пусть (*) не удовлетворяется:

 

 

Рассмотрим входную последовательность.

 

Тогда отклик при n=0 равен:

Т.о. последовательность y (0) не ограничена, так, что неравенство (*) является необходимым условием устойчивости.

Доказательство достаточности.

 

Пусть (*) выполняется. На вход поступает ограниченная последовательность

Тогда:

 

Последовательность y(n) ограничена, поэтому система устойчива, что и требовалось доказать.

 

Примеры импульсных характеристик.

1) Пример устойчивой системы.

2) Пример неустойчивой системы.

Разностные уравнения.

В общем виде линейное разностное уравнение М-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

 

,где коэффициенты {ai} и {bi} полностью описывают конкретную систему, как и импульсная характеристика. При любом входном сигнале можно определить выходной.

 

Разностные уравнения – это алгоритм функционирования системы.

Зная входную последовательность x(m) и начальные условия:

x(n-1), x(n-2), …, y(n-1), y(n-2), …

Всегда можно определить соответствующую ей выходную последовательность y(n).

 

Рассмотрим разностное уравнение первого порядка.

 

Этому уравнению соответствует система, схема реализации которой имеет вид:

Элемент задержки осуществляет задержку последовательности на один отсчет.

 

Разностное уравнение второго порядка:

Схема имеет вид:

Частотная характеристика.

 

При подаче на вход последовательностей вида:

 

На выходе ЛПП - систем последовательность y(n) будет совпадать с входной, умноженной на некоторый комплексный коэффициент, зависящий только от частоты гармонического сигнала.

 

Выходная последовательность:

 

 

Множитель называется частотной характеристикой ЛПП – систем, т.к. он представляет коэффициент передачи ЛПП – систем для каждого значения частоты.

 

Пример:

 

Пусть

Частотная характеристика:

Т.к. , то сумма геометрической прогрессии будет равна:

Свойства частотной характеристики:

1. Частотная характеристика является периодической функцией.

2. Ее период равен

3. Достаточно ее знать на интервале

4. Для действительных h(n) (что часто бывает на практике) модуль

- симметричен, а фаза антиметрична на интервале

5. Поэтому часто частотную характеристику задают на интервале

Дискретный ряд Фурье

 

Рассмотрим частотную характеристику системы с импульсной характеристикой h(n):

 

(*) ; - периодическая функция частоты

- можно рассматривать как разложение в ряд Фурье, причем коэффициенты разложения являются одновременно отсчетами импульсной характеристики системы. Согласно теории рядов Фурье, коэффициенты h(n) можно выразить:

 

(**)

Т.о. эти два равенства (*) и (**) представляют собой пару преобразований Фурье.

h(n) – суперпозиция синусоид с амплитудами .

Для произвольной входной последовательности x(n):

И

Можно показать, что:

Ранее получали:

Т.о. отклик системы во временной области y(n) есть цифровая свертка импульсной характеристики h(m) и входной последовательности x(n) или

В частотной области: преобразование Фурье от выходной последовательности есть умножение преобразования Фурье от входной последовательности и частотной характеристики системы .

 

Единицы измерения частоты

Запись:

x(n), y(n), h(n) - опускается период дискретизации Т или – частота дискретизации.

Тогда запись:

 

 

 

Функция - периодична по частоте с периодом равным . Частота выражается в относительных единицах.

Если записать:

x(nT), y(nT), h(nT) - где Т – период дискретизации,

- частота дискретизации.

Тогда запись:

- периодична по частоте с периодом, равным . Т.о. частота выражается в радианах в секунду (рад/сек).

Или можно выразить:

 

Тогда частота f – измеряется в Герцах (Гц).

- периодическая функция частоты f с периодом, равным Герц.

- периодическая функция частоты f с периодом, равным Герц.

Свойства ДПФ

1. Линейность

x_p(n) и y_p(n) – периодичные последовательности с периодом N каждая.

X_p(к) и Y_p(к) – их ДПФ.

Тогда для последовательности: x_p(n)+y_p(n) ДПФ будет равно:

X_p(к)+Y_p(к)

Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.

 

 

2. Сдвиг

x_p(n) c периодом N

тогда для x_p(n-n₀)

3. Свойство симметрии

Если x_p(n) периодическая последовательность в N отсчетов и является действительной, то ее ДПФ удовлетворяет условиям симметрии:

Аналогичные равенства справедливы и для конечной последовательности x(n), имеющей N-течное ДПФ X(k).

Если будет дополнительное условие симметрии:

то окажется, что может быть только действительной.

Примечание: вычислив одно ДПФ можно получить ДПФ двух последовательностей.

x_p(n) и y_p(n) – действительные последовательности с периодом N отсчетов.

Рассмотрим последовательность комплексную:

Ее ДПФ равно:

 

Действительные части и симметричны, а мнимые – антисимметричны, поэтому получим:

Если эти две последовательности x(n) и y(n) являются еще и симметричными, то можно сократить еще большее число операций.

Нерекурсивные цифровые фильтры.

 

 

Порядок расчета фильтров. Свойства КИХ-фильтров. Характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ. Частотные характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.

 

Свойства КИХ-фильтров.

 

Основные достоинства этих фильтров:

1) Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой. (Линейная фазовая характеристика особенно важна при обработке речевых сигналов, изображений, а также передаче данных).

2) КИХ-фильтры можно эффективно строить как по рекурсивной, так и по нерекурсивной схемам.

3) КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, всегда устойчивые.

4) Нерекурсивные КИХ-фильтрыпозволяют минимизировать шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью (разрядностью).

 

Недостатки КИХ-фильтры:

1) Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N. Поэтому при реализации необходимо выполнять большой объем вычислений.

 

2) Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.

 

Прямоугольное окно

N-точечное прямоугольное окно

Весовая функция

при

при других n.

Предполагается, что N – четное для простоты.

Частотная характеристика – преобразование Фурье:

можно получить:

 

Метод взве шивания

Т.к. частотная характеристика ЦФ – периодическая функция частоты, ее можно представить рядом Фурье:

(*) , где

Коэффициенты ряда Фурье, т.е. h(n) – совпадает с коэффициентами импульсной характеристики ЦФ.

 

Трудности использования соотношения (*):

1) Импульсная характеристика h(n) – получается имеет бесконечную длину, т.к. суммирование в пределах .

2) Фильтр – физически нереализуем,. Т.к. h(n) начинается в , т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

 

Один из методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию - усечение (ограничение) бесконечного ряда Фурье (*) за .

Однако простое усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций до и после разрывов в аппроксимируемой частотной характеристике и в увеличении переходной полосы.

Простое увеличение числа отсчетов h(n), т.е. увеличение M, не всегда приводит к желаемому результату, хотя иногда это приводит к улучшению аппроксимации частотной характеристики.

Лучшие результат дает метод, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины a(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (*) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.

 

 

 

Вывод: с увеличением N – уменьшается полоса пропускания ФНЧ.

Нельзя получить боковой лепесток с подавлением больше чем –13 дБ.

 

Обобщенное окно Хэмминга

Окно имеет вид:

при

при других n.

Если - окно Ханна.

Частотная характеристика:

Выводы:

1) Ширина главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга в 2 раза больше, чем для прямоугольного окна.

2) Уровень боковых лепестков в случае окна Хэмминга значительные ниже, чем у характеристики прямоугольного окна.

Так при , 99,96% общей энергии спектра (площадь) содержится в главном лепестке, а максимум боковых лепестков на –40 дБ ниже главного лепестка (у прямоугольного –13,… дБ).

 

Окно Кайзера

Задача расчета хороших окон практически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот.

Для решения этих задач в непрерывном времени был введен класс так называемых вытянутых сфероидальных волновых функций.

Эти функции имеют сложный вид.

Кайзер – для их аппроксимации ввел окно, которое называется окном Кайзер:

, где

Здесь - константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка.

- функция Бесселя нулевого порядка.

Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замкнутом виде не получена.

 

Окно Кайзера является по существу оптимальным в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

 

ФНЧ с различными окнами

 

Рассмотрим идеальный фильтр нижних частот. Будем использовать 3 окна:

- прямоугольное

- Хэмминга

- Кайзера

(в каждом по n=257 отсчетов)

 

 

Коэффициенты ряда Фурье:

 

 

Частотные характеристики:

 

 

Метод частотной выборки (2-й метод)

 

Метод частотной выборки

Это второй метод проектирования КИХ-фильтров.

КИХ-фильтр может быть однозначно задан как коэффициентами импульсной характеристики {h(n)}, так и коэффициентами ДПФ от импульсной характеристики {H(k)}, т.е.

Они связаны соотношениями:

(*) - ДПФ

(**) - ОДПФ

Кроме того:

- z-преобразование.

Тогда можно получить следующее выражение:

…

меняя порядок суммирования, получим:

 

Т.к. , то:

Необходимо:

1) Произвести дискретизацию по частоте непрерывной частотной характеристики в N равноотстоящих точках, т.е. взять частотную выборку.

Получаемая при этом интерполяционная формула для расчета частотной характеристики фильтра в функции непрерывной частоты имеет вид:

т.е. частотная характеристика фильтра является линейной комбинацией частотных отсчетов интерполирующих функций.

 

со значениями отсчетов H(k) в качестве коэффициентов.

 

Недостаток:

Необходима дальнейшая оптимизация коэффициентов фильтра для улучшения частотной характеристики.

 

Метод частотной выборки (2-й метод). Свойства БИХ-фильтров(АЧХ, фазовая характеристика и групповая задержка). Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтров. Расчет БИХ-фильтров по аналоговым прототипам. Метод отображения.

Свойства БИХ-фильтров.

БИХ-фильтры – это цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, при условии, что фильтры являются физически реализуемы:

, при

Форма записи Z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид:

(*)

здесь по крайней мере хотя бы один из коэффициентов аi отличен от нуля.

Фильтр с передаточной эарактеристикой (*) имеет конечное число нулей (М) и полюсов (N).

Нули H(z) могут располагаться на всей z-плоскости, но полюсы H(z) в соответствии с условием устойчивости фильтра обязаны находиться внутри круга единичного радиуса.

В большинстве случаев, особенно при расчете цифровых фильтров по характеристикам аналоговых фильтров, (M) (N).

 

Такие системы (или фильтры) называются системами (или фильтрами) N-го порядка.

В отличие от КИХ-фильтров устойчивые, физически реализуемые БИХ-фильтры не обладают строго линейной фазовой характеристикой.

 

Фильтры второго типа.

 

 

где Ω_r - наименьшая частота, на которой достигается заданный уровень ослабления.

 

Фильтры второго типа имеют и полюсы и нули.

 

Фильтры Чебышева 1 и 2 типов определяются любыми из четырех параметров.

 

1. n – порядок фильтра.

2. ε - параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускания.

3. Ω_r – наименьшая частота в полосе не пропускания, достигающая заданного ослабления.

4. А – параметр, характеризующий ослабления в полосе пропускания.

 

Порядок фильтра определяется:

 

,

где

Пример:

 

Получим:

Эллиптические фильтры.

 

Характеризуются тем, что их амплитудная характеристика имеет равновеликие пульсации в полосе пропускания и в полосе не пропускания.

Можно показать, что с точки зрения минимальной ширины переходной полосы эллиптические фильтры являются оптимальными, т.е. для заданных порядка фильтра и уровней пульсации не существует других фильтров с более быстрым переходом от полосы пропускания к полосе не пропускания.

 

где R_n (Ω,L) - рациональная функция Чебышева.

L – параметр, характеризующий пульсации функции R_n (Ω,L)

 

 

Переходное отношение:

где Ω_p – граничная частота полосы пропускания, а Ω_s – граничная частота полосы непропускания. Если ввести параметр K₁, равный

то порядок фильтра эллиптического, удовлетворяющего условию заданных значений ε, A, Ω_p, Ω_s, рассчитывается по формуле:

 

,

где K (▪) – полный зллиптический интеграл 1-го рода.

 

Существуют расчетные диаграммы – по проектированию фильтров нижних частот рассмотренных аппроксимаций (Б,Ч,Э)

 

 

Частотные преобразования. Прямые методы расчета цифровых БИХ – фильтров (расчет по квадрату амплитудной характеристики, расчет во временной области). Методы оптимизации при расчете БИХ – фильтров (Минимизация среднеквадратической и Lp – ошибок, оптимизация в W – плоскости с использованием всепропускающих цепей, расчет методом линейного рограммирования).

 

Частотные преобразования.

 

Рассмотрим методы расчета ФНЧ непрерывных во времени, а так же методы их дискретизации. При расчете цифровых фильтров ВЧ, ПФ и режекторных, используются два подхода:

 

1.

- Расчет аналогичного ФНЧ

- Преобразование полосы частот

- Дискретизация фильтра

Получаем цифровой фильтр с заданными характеристиками.

 

2.

- Расчет аналогичного ФНЧ

- Дискретизация фильтра

- Преобразование полосы частот.

Получаем цифровой фильтр с заданными характеристиками.

 

Преобразование полосы частот аналоговых фильтров.

ФНЧ ФНЧ

 

ФНЧ ФВЧ

 

ФНЧ ППФ

 

ФНЧ ПЗФ

 

 

где

Преобразование полосы для ЦФ.

 

ФНЧ с частотой среза в другой ФН с частотой среза а так же

В ФВЧ, ППФ и ПЗФ

 

ФНЧ в ФНЧ

где

 

ФНЧ в ФВЧ

 

 

где

 

ФНЧ в ППФ

 

где - центральная частота полосового фильтра.

 

ФНЧ в ПЗФ

где - центральная частота режекторного фильтра.

 

Прямые методы рассчета цифровых фильтров.

 

Существуют так же прямые методы расчета цифровых фильтров в частотной или временной областях, без аналоговых прототипов.

 

Последовательности и их представления.

 

Дискретные сигналы определяются для дискретных значений независимой переменной - времени.

Время квантуется обычно равномерно:

 

T=nT;