Порядок расчета цифрового фильтра

1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов фильтра, при которых фильтр удовлетворяет заданным требованиям:

 

2. Выбор конкретной схемы построения фильтра и квантование значений его коэффициентов в соответствии с фиксированной длиной слова:

 

 

3. Квантование переменных величин фильтра, т.е. выбор длины слова входных, выходных и промежуточных переменных (т.е. разрядная сетка входного АЦП, сумматоров и умножителей)

4. Проверка работы фильтра моделированием на ЭВМ, удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.

После этапа 4, если требования не удовлетворяются, приходится возвращаться к этапам 2 и 3.

 

 

Конечно, желательно бы выполнять три первых этапа одновременно, т.е. решать задачу аппроксимации для произвольной схемы фильтра и для слов произвольной длины, однако маловероятно, что в ближайшем будущем такой подход будет разработан. В настоящее время эта задача не решена.

 

Свойства КИХ-фильтров.

 

Основные достоинства этих фильтров:

1) Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой. (Линейная фазовая характеристика особенно важна при обработке речевых сигналов, изображений, а также передаче данных).

2) КИХ-фильтры можно эффективно строить как по рекурсивной, так и по нерекурсивной схемам.

3) КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, всегда устойчивые.

4) Нерекурсивные КИХ-фильтрыпозволяют минимизировать шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью (разрядностью).

 

Недостатки КИХ-фильтры:

1) Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N. Поэтому при реализации необходимо выполнять большой объем вычислений.

 

2) Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.

 

Характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.

Пусть - физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале . Это конечная импульсная характеристика (КИХ).

Преобразование Фурье от {h(n)} – частотная характеристика фильтра:

является периодической по частоте с периодом , т.е.:

, где

Рассмотрим действительные последовательности. Тогда (ранее рассматривали), можно получить, что:

, при

т.е. модуль АЧХ – симметричная функция, а ФЧХ – симметричная.

На практике часто требуется строго линейная ФЧХ, т.е.:

где ;

- постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации.

 

Можно показать, что для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

(*)

(**) h(n)=h(N-1-n) ;

Уравнение (**) - означает условие симметрии, чтобы ФЧХ была строго линейна.

Уравнение (*) – постоянная фазовая задержка.

Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие условию симметрии (**) при четно и нечетном N.

 

 

Уравнение при означает, что фильтр имеет постоянные как групповую (производная от ФЧХ по частоте), так и фазовую (отношение фазы к частоте) задержки.

Если постоянной будет только групповая задержка, можно определить еще один тип фильтра с ЛФХ, т.е.:

тогда условие ЛФХ:

h(n)=h(N-1-n) ;

Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие этим условиям:

 

 

 

Т.о. существуют 4 различных вида КИХ-фильтров с ЛФХ.

 

Частотные характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.

Фильтр вида 1: (симметричная импульсная характеристика, нечетное N)

Можно сказать, что ЧХ:

Фильтр вида 2: (симметричная импульсная характеристика, четное N)

Можно показать, что ЧХ:

Т.о. отметим, что у таких фильтров:

при независимо от значений b(n) bkb h(n), т.е. нельзя построить ФВЧ.

 

Фильтр вида 3: (антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N)

 

В том случае ЧХ – ряд синусов:

Фильтр вида 4. (антисимметричная импульсная характеристика, четное N)

Частотная характеристика:

при .

 

 

Методы расчета КИХ-фильтров c ЛФХ

3 класса методов расчета:

1) Метод взвешивания с помощью окна

2) Методы постоянной выборки

3) Методы расчета оптимальных (по Чебышеву) фильтров

 

Прямоугольное окно

N-точечное прямоугольное окно

Весовая функция

при

при других n.

Предполагается, что N – четное для простоты.

Частотная характеристика – преобразование Фурье:

можно получить:

 

Метод взве шивания

Т.к. частотная характеристика ЦФ – периодическая функция частоты, ее можно представить рядом Фурье:

(*) , где

Коэффициенты ряда Фурье, т.е. h(n) – совпадает с коэффициентами импульсной характеристики ЦФ.

 

Трудности использования соотношения (*):

1) Импульсная характеристика h(n) – получается имеет бесконечную длину, т.к. суммирование в пределах .

2) Фильтр – физически нереализуем,. Т.к. h(n) начинается в , т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

 

Один из методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию - усечение (ограничение) бесконечного ряда Фурье (*) за .

Однако простое усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций до и после разрывов в аппроксимируемой частотной характеристике и в увеличении переходной полосы.

Простое увеличение числа отсчетов h(n), т.е. увеличение M, не всегда приводит к желаемому результату, хотя иногда это приводит к улучшению аппроксимации частотной характеристики.

Лучшие результат дает метод, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины a(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (*) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.

 

 

 

Вывод: с увеличением N – уменьшается полоса пропускания ФНЧ.

Нельзя получить боковой лепесток с подавлением больше чем –13 дБ.

 

Обобщенное окно Хэмминга

Окно имеет вид:

при

при других n.

Если - окно Ханна.

Частотная характеристика:

Выводы:

1) Ширина главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга в 2 раза больше, чем для прямоугольного окна.

2) Уровень боковых лепестков в случае окна Хэмминга значительные ниже, чем у характеристики прямоугольного окна.

Так при , 99,96% общей энергии спектра (площадь) содержится в главном лепестке, а максимум боковых лепестков на –40 дБ ниже главного лепестка (у прямоугольного –13,… дБ).

 

Окно Кайзера

Задача расчета хороших окон практически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот.

Для решения этих задач в непрерывном времени был введен класс так называемых вытянутых сфероидальных волновых функций.

Эти функции имеют сложный вид.

Кайзер – для их аппроксимации ввел окно, которое называется окном Кайзер:

, где

Здесь - константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка.

- функция Бесселя нулевого порядка.

Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замкнутом виде не получена.

 

Окно Кайзера является по существу оптимальным в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

 

ФНЧ с различными окнами

 

Рассмотрим идеальный фильтр нижних частот. Будем использовать 3 окна:

- прямоугольное

- Хэмминга

- Кайзера

(в каждом по n=257 отсчетов)

 

 

Коэффициенты ряда Фурье:

 

 

Частотные характеристики:

 

 

Метод частотной выборки (2-й метод)

 

Метод частотной выборки

Это второй метод проектирования КИХ-фильтров.

КИХ-фильтр может быть однозначно задан как коэффициентами импульсной характеристики {h(n)}, так и коэффициентами ДПФ от импульсной характеристики {H(k)}, т.е.

Они связаны соотношениями:

(*) - ДПФ

(**) - ОДПФ

Кроме того:

- z-преобразование.

Тогда можно получить следующее выражение:

…

меняя порядок суммирования, получим:

 

Т.к. , то:

Необходимо:

1) Произвести дискретизацию по частоте непрерывной частотной характеристики в N равноотстоящих точках, т.е. взять частотную выборку.

Получаемая при этом интерполяционная формула для расчета частотной характеристики фильтра в функции непрерывной частоты имеет вид:

т.е. частотная характеристика фильтра является линейной комбинацией частотных отсчетов интерполирующих функций.

 

со значениями отсчетов H(k) в качестве коэффициентов.

 

Недостаток:

Необходима дальнейшая оптимизация коэффициентов фильтра для улучшения частотной характеристики.

 

Метод частотной выборки (2-й метод). Свойства БИХ-фильтров(АЧХ, фазовая характеристика и групповая задержка). Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтров. Расчет БИХ-фильтров по аналоговым прототипам. Метод отображения.

Свойства БИХ-фильтров.

БИХ-фильтры – это цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, при условии, что фильтры являются физически реализуемы:

, при

Форма записи Z-преобразования импульсной характеристики БИХ-фильтров имеет вид:

(*)

здесь по крайней мере хотя бы один из коэффициентов аi отличен от нуля.

Фильтр с передаточной эарактеристикой (*) имеет конечное число нулей (М) и полюсов (N).

Нули H(z) могут располагаться на всей z-плоскости, но полюсы H(z) в соответствии с условием устойчивости фильтра обязаны находиться внутри круга единичного радиуса.

В большинстве случаев, особенно при расчете цифровых фильтров по характеристикам аналоговых фильтров, (M) (N).

 

Такие системы (или фильтры) называются системами (или фильтрами) N-го порядка.

В отличие от КИХ-фильтров устойчивые, физически реализуемые БИХ-фильтры не обладают строго линейной фазовой характеристикой.