Относительном движении систем отсчета

Рассмотрим следующую задачу, имеющую важные приложения в механике: зная кинематические характеристики частицы в некоторой системе отсчета, найти соответствующие характеристики в другой системе отсчета, относительно которой первая система движется известным образом. Решим данную задачу для общего случая движения системы отсчета и частицы в ней.

Назовем условно систему отсчета 0₁ XYZ, относительно которой надо определить характеристики движения т. М (рисунок 1.4.1), неподвижной, а движение т. М относительно нее абсолютным; систему отсчета 0 xyz подвижной, а движение т. М относительно нее относительным (характеристики этого движения считаем в данной задаче известными); движение покоящейся в системе 0 xyz точки относительно системы 0₁ XYZ назовем переносным. Переносное движение включает перемещение начала 0 относительно начала 0₁ и поворот осей СК 0 xyz в пространстве относительно осей СК 0₁ XYZ; характеристики переносного движения также считаем известными.

 

Рисунок 1.4.1

 

 

Из рисунка 1.4.1 видно, что для радиус-векторов выполняется соотношение:

. (1.4.1)

Физически это равенство далеко не тривиально, т. к. величины измеряются в разных системах отсчета. Равенство основано на допущении о том, что длина и направление отрезка не зависят от скорости и характера его движения в данной системе отсчета. Это вытекает из постулата о бесконечно быстрых сигналах и возможной синхронизации с их помощью часов в движущихся системах. Все дальнейшие рассуждения основаны на допущении, что момент времени, в который происходит какое-либо событие, одинаков во всех системах отсчета, а значит и одинаковы промежутки времени между двумя событиями в разных системах отсчета:

. (1.4.2)

Тогда длина данного отрезка (расстояние между одновременно определенными положениями его концов) во всех системах отсчета одинакова. В рассматриваемой нами задаче – модуль (длина) вектора как в подвижной, так и в неподвижной системах отсчета; равенство (1.4.1) можно рассматривать в проекциях на оси обеих систем координат. В силу этого равенство (1.4.1) служит основанием для всех кинематических соотношений сложного движения частицы в нерелятивистской классической механике.

Разложим в (1.4.1) радиус-вектор по ортам подвижной СК и продифференцируем (1.4.1) по времени:

(1.4.3)

где – угловая скорость вращения СК 0 xyz. Здесь учтено, что , , . Таким образом,

, (1.4.4)

т. е. скорость абсолютного движения складывается из скоростей переносного и относительного движений. Первое слагаемое переносной скорости представляет собой скорость поступательного движения частицы вместе с СК 0 xyz относительно СК 0₁ XYZ (скорость начала 0 относительно начала 0₁), второе слагаемое – скорость частицы, обусловленная вращением СК 0 xyz относительно СК 0₁ XYZ.

Для нахождения ускорений продифференцируем (1.4.3) по времени:

. (1.4.5)

Здесь ускорение абсолютного движения частицы (относительно СК 0₁ XYZ). Относительное ускорение получаем, полагая постоянными величинами:

. (1.4.6)

Для выделения переносного ускорения полагаем относительные координаты x, y, z постоянными. Это дает (см. подробнее в [4, с. 59]):

(1.4.7)

Здесь – переносное поступательное ускорение (ускорение начала 0 относительно начала 0₁); – переносное вращат ельное (тангенциальное) ускорение (обусловлено неравномерностью вращения СК 0 xyz относительно СК 0₁ XYZ); – переносное центростремительное ускорение (см. подробнее в [4, с. 59]). Таким образом,

. (1.4.8)

В правой части (1.4.5) остались слагаемые, не отнесенные к относительному или переносному ускорениям. Это ускорение Кориолиса

. (1.4.9)

Легко видеть, что ускорение Кориолиса имеет место только при движении частицы под углом к оси вращения во вращающейся системе координат.

Теорема Кориолиса: абсолютное ускорение определяется геометрической суммой переносного, относительного и кориолисова ускорений, т. е.

. (1.4.10)

Если подвижная СК движется относительно неподвижной равномерно, прямолинейно и поступательно ср скоростью , то

, . (1.4.11)

В силу изотропности пространства без ограничения общности можно выбрать направления осей 0₁ Х и 0 х совпадающими со скоростью движения точки 0 в системе 0₁ XYZ, а за начальный момент времени принять момент совпадения точек 0 и 0₁. Тогда в координатном представлении имеем:

(1.4.12)

Это формулы преобразований Галилея для координат и скоростей. Ускорение инвариантно относительно преобразований Галилея:

 

. (1.4.13)