Импульса механической системы

Рассмотрим свободную от связей (все связи заменены соответствующими силами) механическую систему, на частицы которой действуют потенциальные силы. Обобщенными координатами для такой системы могут служить декартовы координаты ее частиц.

Центром масс или центром инерции механической системы называется воображаемая точка, которая как бы обладает массой всей системы, и положение которой определяется радиус-вектором

(3.2.1)

где – масса всей системы, и – масса и радиус-вектор -й частицы. Скорость и ускорение центра масс даются формулами:

(3.2.2)

(3.2.3)

Импульсом механической системы называется величина, определяемая суммой импульсов всех частиц системы:

(3.2.4)

Легко видеть, что (3.2.5)

В ИСО величина, определяемая произведением массы частицы на ее ускорение, равна силе, приложенной к частице (второй закон Ньютона):

(3.2.6)

тогда (3.2.7)

где – геометрическая сумма всех сил, действующих на частицы системы. Различают внешние и внутренние силы, причем геометрическая сумма внутренних сил равна нулю, в соответствии с третьим законом Ньютона. Тогда в (3.2.7) – геометрическая сумма только внешних сил (главный вектор внешних сил), действующих на частицы системы.

Теорема об изменении импульса системы: производная импульса механической системы по времени равна главному вектору внешних сил

(3.2.8)

Отсюда следует закон сохранения импульса: если главный вектор внешних сил равен нулю, то импульс механической системы сохраняется:

(3.2.9)

В частности, это выполняется для замкнутой системы.

Если равна нулю какая-либо проекция главного вектора внешних сил, то сохраняется соответствующая проекция импульса механической системы .

Следствие закона сохранения импульса – постоянство скорости центра инерции замкнутой системы (или постоянство проекции скорости центра инерции при сохранении соответствующей проекции импульса):

(3.2.10)

Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно (или покоится), а внутренние потенциальные силы не могут изменить его скорость.

Импульс механической системы имеет различные значения в разных системах отсчета. Если система отсчета движется относительно системы отсчета со скоростью поступательно, то скорости -й частицы по отношению к этим системам отсчета связаны соотношением . Тогда

(3.2.11)

Легко видеть, что если импульс в некоторой системе отсчета равен нулю, то скорость этой системы отсчета совпадает со скоростью центра масс системы тел: (3.2.12)

Таким образом, в системе центра инерции (СЦИ) импульс системы тел равен нулю (что полезно для упрощения решения ряда задач механики).

Моментом импульса механической системы называется величина, определяемая геометрической суммой моментов импульсов всех частиц системы (относительно общего начала):

(3.2.13)

Момент импульса частицы зависит от выбора начала отсчета (полюса). Если полюс совпадает с началом координат, то

(3.2.14)

где – моменты импульсов -й частицы относительно координатных осей (проекции момента импульса на координатные оси).

Если , то

(3.2.15)

 

Используем (3.2.15) для нахождения зависимости момента импульса системы частиц от выбора полюса см рисунок. Легко видеть, что момент импульса системы (3.2.16), где - импульс системы частиц.

Если – центр масс системы, то , , , и момент импульса системы частиц

(3.2.17)

Второе и третье слагаемые в (3.2.17) равны нулю, т. к. и (импульс с СЦИ и координаты центра инерции в СЦИ раны нулю). Тогда

(3.2.18)

 

где – собственный момент импульса системы частиц (относительно центра инерции), – момент импульса, выражающий движение системы частиц как целого.

Теорема об изменении момента импульса отдельной частицы выражается формулой:

(3.2.19)

где – суммарный момент сил, действующих на частицу

(3.2.20)

(3.2.21)

В системе частиц суммарный момент внутренних сил равен нулю. Суммируя (3.2.19), находим:

(3.2.22)

где – главный момент внешних сил, действующих на механическую систему . Теорема об изменении момента импульса системы: производная момента импульса механической системы по времени равна главному моменту внешних сил.

Закон сохранения момента импульса: если главный момент внешних сил равен нулю, то момент импульса механической системы сохраняется:

(3.2.23)

В частности, это выполняется для замкнутой системы. Очевидно, что если , то .

Итак, из законов сохранения импульса и момента импульса имеем шесть первых интегралов движения:

(3.2.24)

Для замкнутой системы имеют место все шесть интегралов движения (3.2.24); для незамкнутой системы могут иметь место некоторые из них.

Рассмотренные здесь законы сохранения импульса и момента импульса – частные случаи закона сохранения обобщенного импульса.