Свободные и вынужденные одномерные колебания

Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы и исследуем ее малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия. Система имеет только одну обобщенную координату . Пусть в положении равновесия . Тогда соответствующая координате обобщенная сила при обращается в нуль. Если сила потенциальная, то

(5.1.1) где – потенциальная энергия, имеющая экстремум в положении равновесия. При устойчивом равновесии и .

При малом отклонении от положения равновесия , и потенциальная энергия

(5.1.2)

Выбор нулевого состояния для произволен, поэтому можно положить

. Равновесие при , , т. е. (5.1.3)

Это означает, что на систему действует квазиупругая сила

(5.1.4)

Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы

(5.1.5)

где – коэффициент инерции (постоянная или медленно меняющаяся функция ). Для малых смещений можно считать . Подчеркнем, что совпадает с массой только в том случае, когда – декартова координата частицы, характеризующей (заменяющей) движущуюся систему.

Функция Лагранжа для системы, совершающей малые гармонические колебания (для одномерного гармонического осциллятора), имеет вид:

(5.1.6)

Подставляя в уравнение Лагранжа , находим уравнение движения: (5.1.7) или

(5.1.8)

Общее решение уравнения (5.1.8) может быть представлено в виде

(5.1.9) или

(5.1.10)

Произвольные постоянные и связаны с постоянными и соотношениями: (5.1.11)

Итак, вблизи положения равновесия система совершает гармонические колебания с амплитудой , фазой ; – начальное значение фазы, зависящее от выбора начала отсчета времени, – циклическая частота колебаний (в теоретической физике ее называют обычно просто частотой).

Частота – основная характеристика колебаний, не зависящая от начальных условий движения и всецело определяемая свойствами механической системы как таковой (см. (5.1.8)). Отметим, что это свойство частоты связано с малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям. С математической точки зрения это свойство связано с квадратичной зависимостью от .

Энергия системы при малых колебаниях

(5.1.12)

т. е. энергия пропорциональна квадрату амплитуды.

Иногда удобно записывать зависимость в виде вещественной части комплексного выражения: (5.1.13) где – комплексная амплитуда. Записав ее в виде (5.1.14)

вернемся к выражению (5.1.10). Модуль совпадает с обычной амплитудой, аргумент – с начальной фазой.

Перейдем к рассмотрению колебаний в системе, подверженной действию внешнего переменного поля; такие колебания называют вынужденными в отличие от рассмотренных выше свободных колебаний. Т. к. рассматриваются малые колебания, то и внешнее поле полагаем достаточно слабым (иначе оно могло бы вызывать большие ).

Итак, наряду с собственной потенциальной энергией необходимо рассматривать еще некоторое слагаемое , связанное с действием внешнего поля. При малых имеем (5.1.15)

Первое слагаемое в (5.1.15) можно не включать в выражение для лагранжиана (его можно рассматривать как полную производную по от некоторой другой функции времени). Во втором слагаемом есть внешняя «сила», действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее . Тогда лагранжиан системы (5.1.16)

Подставляя в уравнение Лагранжа, находим уравнение движения:

(5.1.17)или (5.1.18)

Здесь – по-прежнему частота свободных колебаний.

Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (5.1.18) с постоянными коэффициентами имеет вид: (5.1.19)где – общее решение соответствующего однородного уравнения (см. (5.1.10)), – частное решение уравнения (5.1.18).

Особый интерес представляет случай, когда вынуждающая сила – простая периодическая функция времени с частотой :

(5.1.20)Тогда частотный интеграл (5.1.18) ищем в виде: (5.1.21)Подстановка в (5.1.18) дает: (5.1.22) и (5.1.9) можно переписать в виде: (5.1.23)

Произвольные постоянные и определяются из начальных условий.

Итак, под действием периодической вынуждающей силы система совершает движение, представляющее совокупность двух колебаний – с собственной частотой системы и с частотой вынуждающей силы .

Решение (5.1.23) неприемлемо при (так называемый резонанс – ). Это вполне естественно, т. к. при больших значениях колебания перестают быть малыми, и вся изложенная выше теория перестает быть применимой.

Рассмотрим малые колебания вблизи резонанса, т.е. при , где . Тогда

. (5.1.24)

В простейшем случае полагаем в (5.1.23) . Тогда

(5.1.25)

Если , то и

(5.1.26)

Поскольку , то функцию (5.1.27)

можно считать медленно изменяющейся по синусоидальному закону амплитудой колебаний системы с собственной частотой . Это так называемые биения, полученные при сложении колебаний с близкими частотами. Нечто подобное, хотя математически и более сложное, получается при и .

При резонансе вид функции изменяется:

(5.1.28) и (5.1.29)

Амплитуда таких колебаний линейно расчет со временем, и при отклонения могут быть сколь угодно большими – система разрушается.

 

Затухающие колебания

До сих пор мы подразумевали, что движение тел происходит в пустоте или, по крайней мере, можно пренебречь влиянием среды на это движение. В действительности при движении тела в среде последняя оказывает сопротивление, стремящееся замедлить движение; механическая энергия движущегося тела при этом переходит в тепловую энергию (диссипируется). В этих условиях процесс движения уже не чисто механический, а его рассмотрение требует учета движения среды и внутреннего теплового состояния как среды, так и тела. В общем случае задача о движении тела в среде выходит за рамки механики.

Однако в ряде случаев движение тела в среде может быть описано с помощью механических уравнений движения путем введения в них некоторых дополнительных членов. Сюда относятся колебания с частотами, малыми по сравнению с характерными для внутренних диссипативных процессов в среде частотами. При выполнении этого условия можно считать, что на тело действует сила трения, зависящая только от его скорости для заданной однородной среды. При малых скоростях эта сила трения пропорциональна скорости. Тогда дифференциальное уравнение движения в случае малых колебаний имеет вид:

(5.3.1)

где – коэффициент сопротивления (определяется свойствами среды и формой тела; например, в формуле Стокса , где – вязкость, – радиус движущегося в вязкой среде шара). При решением (5.3.1) будет , где , – начальная фаза (см. (5.1.10)).

Обозначим (5.3.2)

тогда (5.3.3)

– коэффициент затухания. Это однородное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого можно представить в виде

(5.3.4)

где – корни характеристического уравнения

(5.3.5)

При этом возможны следующие случаи: 1) ; 2) ; 3) . Рассмотрим каждый из них.

1) – силы трения меньше квазиупругих сил.

(5.3.6)

 

(5.3.7)

Здесь (5.3.8)

комплексно-сопряженные числа. Тогда

(5.3.9)(использована формула Эйлера ). Полученное уравнение описывает колебательное движение тела (частицы), амплитуда которого (5.3.10)

убывает с течением времени по экспоненциальному закону (рисунок 5.3.1).

 

 

Рисунок 5.3.1

Скорость убывания амплитуды характеризуется коэффициентом затухания ; за время релаксации амплитуда уменьшается в раз. Это не периодический процесс, т. к. нельзя указать период , для которого . Но периодичность есть в том смысле, что через равные промежутки времени система проходит через положение равновесия, двигаясь в одну и ту же сторону. – условный период затухающих колебаний:

(5.3.11)

При малых значениях и

(5.3.12)

Таким образом , что вполне очевидно, действие сил трения замедляет движение.

Затухающие колебания характеризуются декрементом затухания – отношением двух значений амплитуды, измеренных в моменты времени, разделенные условным периодом : (5.3.13)

 

Но чаще используют логарифмический декремент затухания

(5.3.14)

Несложно убедиться, что логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний за время релаксации :

(5.3.15)

Полная энергия системы

(5.3.16) где – начальное значение энергии. При имеем

(5.3.17)т. е. запас энергии убывает быстрее амплитуды.

2) – силы трения больше квазиупругих сил. Оба корня характеристического уравнения вещественны и отрицательны. Движение системы состоит в асимптотическом приближении к положению равновесия по закону

(5.3.18)

Такое движение называют апериодическим затуханием. Два возможных варианта такого движения представлены на рисунке 5.3.2.

 

 

 

 

Рисунок 5.3.2 Рисунок 5.3.3

3) – особый случай апериодического затухания (см. рисунок 5.3.3):

(5.3.19)

Для системы с несколькими степенями свободы обобщенные силы трения, соответствующие координатам , являются линейными функциями скоростей вида (5.3.20)

Механические соображения не позволяют сделать вывод о симметричности коэффициентов по индексам, но в статистической физике доказывается, что (5.3.21)

Тогда выражения (5.3.20) могут быть записаны в виде производных

от квадратичной формы, называемой диссипативной функцией (5.3.23)

Силы (5.3.23) должны быть добавлены к правой части уравнений Лагранжа:

(5.3.24)

Диссипативная функция определяет интенсивность диссипации энергии в системе (можно показать, что скорость изменения энергии ). Поскольку при уменьшении энергии , то квадратичная форма (5.3.23) существенно положительна.

Уравнения колебаний при наличии трения имеют вид:

(5.3.25)

Положив в этих уравнениях (5.3.26)

получим систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных :

(5.3.27)

Характеристическое уравнение этой системы – уравнение степени относительно :

(5.3.28)

Поскольку все коэффициенты этого уравнения вещественны, то его корни либо вещественны, либо попарно комплексно сопряжены. При этом вещественные корни непременно отрицательны, а комплексные имеют отрицательную вещественную часть (в противном случае координаты и скорости, а значит, и энергия возрастали бы экспоненциально, в то время как наличие диссипативных сил должно приводить к уменьшению энергии).