Рассеяние частиц. Формула Резерфорда

В предыдущем подразделе рассмотрено упругое рассеяние частиц, взаимодействующих только при столкновении. Рассмотрим подобную задачу для частиц, взаимодействующих на расстоянии, в случае, когда между ними действуют силы отталкивания.

В соответствии с общим правилом рассматриваем сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы массой в поле неподвижного силового центра, расположенного в центре инерции системы частиц.

 

 

 

Рисунок 4.5.1

Траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой, проведенной из полюса к ближайшей точке траектории (ОА на рисунке 4.5.1). Обе асимптоты траектории пересекают эту прямую под одинаковыми углами . Угол отклонения частицы при ее пролете мимо силового центра (рисунок 4.5.1

. (4.5.1)

Используя общую формулу (4.2.18), для угла запишем:

. (4.5.2)

Здесь интеграл берется между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениями частицы. При имеющем здесь место инфинитном движении удобно ввести вместо постоянных Е и L другие: скорость частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние , на котором частица пролетела бы мимо центра, если бы силовое поле отсутствовало (рисунок 4.5.1). Энергия и момент импульса выражаются через эти величины:

, . (4.5.3)

Тогда . (4.5.4)

Вместе с (4.5.1), эта формула определяет зависимость от .

При рассеянии пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающий центр с одинаковой скоростью , разные частицы пучка имеют разные прицельные расстояния и, соответственно, разные углы рассеяния. Пусть – число частиц, рассеиваемых в единицу времени на углы в интервале . Если n – число частиц, проходящих в единицу времени через единицу площади поперечного сечения падающего (однородного по сечению) пучка, то величина

(4.5.5)

имеет размерность площади и называется дифференциальным сечением рассеяния. Эта величина всецело определяется видом рассеивающего поля и является важной характеристикой процесса рассеяния.

Считаем, что угол рассеяния – монотонно убывающая функция прицельного расстояния . Тогда в заданный интервал углов рассеиваются лишь те частицы, которые летят в интервале прицельных расстояний . Число таких частиц (произведение n на площадь кольца с радиусами и ). Тогда . (4.5.6)

Для нахождения зависимости от перепишем (4.5.6) в виде:

, (4.5.7)

или, используя телесный угол ,

. (4.5.8)

Заметим, что если функция многозначна, то под понимают сумму таких выражений по всем ветвям функции .

Выражение (4.5.7) определяет дифференциальное сечением рассеяния в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения дифференциального сечения в зависимости от угла рассеяния в л-системе необходимо выразить через по формулам (4.4.14). При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка, так и для первоначально покоившихся частиц.

Одно из важнейших применений полученных выше формул – рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. При интеграл в (4.5.4) берется: (4.5.9)

откуда . (4.5.10)

Учитывая, что , имеем:

. (4.5.11)

Дифференцируя по и подставляя в (4.5.7) или (4.5.8), находим:

(4.5.12) или . (4.5.13)

Это так называемая формула Резерфорда. Полученный результат не зависит от знака , т. е. применим как для поля отталкивания, так и для поля притяжения. Формулы (4.5.12) и (4.5.13) получены в ц-системе.

В л-системе для первоначально покоившихся частиц, подставляя в (4.5.12), получаем:

. (4.5.14)

Для двигавшихся первоначально частиц преобразование в общем случае дает громоздкую формулу для . При имеем , и , (4.5.15)

где – энергия двигавшейся первоначально частицы. При имеем , и

(4.5.16)

Если не только массы равны, но и частицы тождественны, то не имеет смысла различать после рассеяния первоначально двигавшиеся и покоившиеся частицы. Общее дифференциальное сечение рассеяния для всех частиц в этом случае

(4.5.17)

где – общий угол рассеяния.

С помощью общей формулы (4.5.12) можно получить также выражение для дифференциального сечения рассеяния как функции потери энергии (см. подробнее в [2, с. 69]): . (4.5.18)

Заметим, что вычисление дифференциального сечения рассеяния значительно упрощается для больших прицельных расстояний (поле слабое и углы отклонения малы).