Уравнение движения частицы относительно ИСО. Принцип

Механической причинности

Дифференциальное уравнение движения частицы массой m в силовом поле в векторной форме записи имеет вид:

. (1.7.1)

Это основное уравнение нерелятивистской динамики частицы. Оно может рассматриваться как исходное положение (постулат), из которого путем математических преобразований получают как общие следствия и выводы классической механики, так и решения ее конкретных задач. Все механические движения подчиняются этому уравнению, в котором m – скалярный параметр, характеризующий свойства частицы, – радиус-вектор, – некоторая однозначная, конечная и непрерывная функция координат, скорости и времени, которая может быть определена независимо. Постулируется именно этот общий вид уравнения (то, что его правую часть называют силой, ничего от объективности закона движения не отнимает).

С помощью данного уравнения ставятся и решаются две важнейшие задачи динамики частицы.

Первая задача (или прямая задача): дан закон движения частицы массой m; требуется найти действующую на частицу силу.

Задача решается двойным дифференцированием по времени кинематического уравнения движения и подстановкой полученного выражения в основное уравнение динамики. В результате получаем некоторую функциональную зависимость . Используя уравнения и , можно, в принципе, найти значения силы в различных точках пространства, т. е. определить вид силового поля. Прямая задача динамики сравнительно простая, требует применения методов только дифференциального исчисления и всегда имеет решение.

Вторая (обратная) задача: известно силовое поле, в котором движется частица массой m; требуется найти закон движения частиц.

Приведем алгоритм решения обратной задачи динамики частицы в декартовых координатах. Известно , т. е. известны проекции в зависимости от координат, проекций скорости и времени. Проецируя основное уравнение динамики на оси декартовой системы координат, получим систему ньютоновых дифференциальных уравнений движения:

(1.7.2)

Общее решение этой системы уравнений имеет вид:

(1.7.3)

где – произвольные постоянные. В простейших случаях переменные в уравнениях (1.7.2) разделяются, и решение сводится к последовательному взятию двух неопределенных интегралов (квадратурам). Поэтому общее решение иногда называют интегралом уравнений, хотя в общем случае решение к квадратурам не сводится.

Наличие произвольных постоянных в общем интеграле показывает, что он представляет не конкретное движение, а дает кинематические уравнения непрерывного семейства движений с одинаковыми ускорениями. Например, кинематические уравнения и траектории движения частицы под действием силы тяжести зависят от начальных условий (тела, брошенные вертикально вверх, горизонтально, под углом к горизонту движутся по-разному), хотя динамическое уравнение движения одно и то же для всех случаев. Таким образом, задание силы не определяет однозначно движение частицы: под действием одной и той же силы частица может совершать любые движения из семейства, описанного формулами (1.7.3). Чтобы обратная задача динамики имела определенное решение, необходимы добавочные начальные условия, например: , , , , , . Положив в (1.7.3) t = 0 и используя начальные условия, получаем:

(1.7.4)

а также

(1.7.5)

(1.7.4) и (1.7.5) образуют систему из шести независимых уравнений, из которых можно выразить постоянные через начальные координаты и скорости: и т. д. Подстановка найденных значений в общее решение (1.7.3) дает частное решение системы дифференциальных уравнений (1.7.2). Это и есть искомые кинематические уравнения движения частицы:

(1.7.6)

Таким образом, обратная задача динамики частицы решена.

Заметим, что зачастую дифференциальные уравнения движения можно решить лишь с использованием численных методов.

Полное решение второй задачи динамики не требуется, если известны первые интегралы движения. Рассмотрим смысл первых интегралов. Добавляя к (1.7.3) уравнения

(1.7.7)

получим систему уравнений относительно неизвестных . Предположим, что эта система решена:

(1.7.8)

Выражая из последнего уравнения время t и подставляя его значение в остальные уравнения, получим:

(1.7.9)

Поскольку – постоянные, то функции сохраняют свои значения при движении частицы. Они называются первыми интегралами движения и выражают законы сохранения некоторых величин с. Из (1.7.9) следует существование шести независимых первых интегралов. Любая функция первых интегралов также интеграл движения (зависимый). Если все шесть первых интегралов известны, то из них можно без интегрирования получить полное решение второй задачи динамики. Знание одного первого интеграла позволяет упростить решение исходной системы дифференциальных уравнений.

Знание некоторых интегралов движения сразу дает ответы на частные вопросы. Поэтому установление признаков существования интегралов дви-жения и их нахождение – важная задача динамики частицы.

Основное уравнение динамики и общий анализ его решения позволяют установить причинно-следственные связи при механическом движении. Состояние механической системы считается в данный момент заданным, если известны массы каждой частицы, координаты и скорости. Можно утверждать, что состояние в данный момент времени предопределяет (причем однозначно) состояние данной системы в любой другой момент времени. Такая однозначная связь причины и следствия носит название динамической закономерности. Классическая механика относится к теориям с динамической закономерной связью между причинами и следствиями. Принцип механической причинности в классической механике: состояние системы материальных точек однозначно определяется их взаимодействием и начальными условиями.