Силы, действующие в сплошных средах. Тензор напряжения

Выделим в сплошной среде объем V, ограниченный поверхностью . Все силы, действующие на выделенную часть сплошной среды, можно разделить на два класса.

Массовые силы – силы, действующие на каждый элемент объема dV независимо от того, существуют ли рядом с ним другие части среды (например, силы тяготения). Если – массовая сила в расчете на единицу массы, то на объем dV с массой действует массовая сила ; главный вектор этих сил .

Поверхностные силы – силы взаимодействия между отдельными частями сплошной среды. Внутри выделенного объема V эти силы и их моменты уравновешиваются в соответствии с III законом Ньютона, т. е. эти силы остаются приложенными лишь к поверхностным частям объема V (к поверхности ). Поверхностную силу, действующую на единицу площади, ориентация которой в пространстве задана внешней нормалью , обозначают и называют напряжением сил на рассматриваемом элементе поверхности. На элемент поверхности действует поверхностная сила ; главный вектор поверхностных сил, действующих на объем V, равен . Проекция на – нормальное напряжение (или нормальное давление), проекция на площадку, к которой приложено – сдвигающее (касательное) напряжение.

Выделим мысленно в среде элементарную треугольную пирамиду, три грани которой параллельны координатным плоскостям, т. е. внешние нормали к этим граням направлены противоположно осям 0 x, 0 y, 0 z декартовой СК. Внешняя нормаль к четвертой грани составляет с этими осями углы, косинусы которых обозначим . Если площадь этой грани равна , то площади остальных граней равны . Пусть объем пирамиды dV. Тогда на нее действуют массовые силы , а массовые силы инерции равны , где – ускорение пирамиды. Поверхностные силы, действующие на грани пирамиды, равны: , , , . Условие равновесия пирамиды:

. (8.6.1)

Объем , где h – высота пирамиды. Тогда

, (8.6.2) и при имеем:

, (8.6.3)

Величина вида определяет воздействие на соответствующую грань частиц среды, находящихся вне пирамиды. На эти частицы со стороны пирамиды действует сила . Тогда напряжение при произвольной ориентации внешней нормали может быть определено, если известны напряжения в той же точке для площадок, внешние нормали которых сонаправлены с осями координат 0 x, 0 y, 0 z:

. (8.6.4)

Проецируя (8.6.4) на координатные оси, получим:

(8.6.5)Здесь – компоненты напряжения. Пусть – проекция на произвольное направление , характеризуемое направляющими косинусами . Тогда

. (8.6.5)

Проделав то же самое, что и при получении тензора деформации, получим тензор напряжения:

. (8.6.6)

Тензор симметричный, т. е. , , . Итак, напряжение в данной точке – функция 6 величин: , , , , , .

Существуют три взаимно перпендикулярные оси, для которых

. (8.6.7)

 

Здесь – главные напряжения.

, (8.6.8)

т. е. сумма нормальных напряжений на три взаимно перпендикулярные площадки не зависит от ориентации последних.

Заметим, что компоненты напряжения выражаются в переменных Эйлера, т. е. являются функциями переменных x, y, z, t.

Необходимые уравнения движения сплошных сред

Выделим мысленно объем V сплошной среды. Для него , , – главные векторы массовых сил, сил инерции и поверхностных сил. Необходимые уравнения движения выделенного объема

, (8.7.1)

. (8.7.2)

В уравнении (8.7.2) первое слагаемое – главный момент массовых сил и сил инерции, второе слагаемое – главный момент поверхностных сил.

Известно, что

. (8.7.3)

Тогда , (8.7.4) и из (8.7.1) получаем:

, (8.7.5)

откуда . (8.7.6)

Учитывая (8.7.3) и то, что , , , уравнение (8.7.2) можно преобразовать к виду (см. подробнее в [1, с. 40]):

, (8.7.7)

откуда

. (8.7.8)

Здесь первое слагаемое равно нулю (см. (8.7.6)). Из равенства нулю остальных слагаемых (8.7.8) следует:

(8.7.9)

и , , . (8.7.10)

Таким образом, второе необходимое уравнение движения сплошной среды указывает, что тензор напряжения симметричен.

Уравнения движения сплошной среды в напряжениях в векторной и скалярной формах имеют вид:

; (8.7.11)

(8.7.12)

При исследовании движения сплошной среды под действием заданных сил компоненты известны, а величины подлежат определению. В системе (8.7.12) 3 уравнения с 10 неизвестными, т. е. это необходимые, но не достаточные уравнения. Недостающие уравнения в принципе не могут быть найдены методами классической механики – необходимо знание характеристик среды.