Тензоры деформации и скоростей деформации

Рассмотрим деформацию малой частицы сплошной среды, имеющей первоначально шаровую форму. Деформация определяется вектором

, (8.3.1)

т. е. если до деформации радиус-вектор точки был , то после деформации . Относительные координаты точки до деформации , а после деформации

(8.3.2)

Эти формулы несложно вывести, зная f. Т. к. деформации малые, то соответствующие относительные координаты до и после деформации отличаются незначительно. Тогда (8.3.3) и

8.3.4)

Таким образом, если точки малой частицы сплошной среды располагались сначала на сфере радиусом А, уравнение которой

, (8.3.5)

то после деформации они перейдут на поверхность второго порядка, уравнение которой (с точностью до членов второго порядка малости) запишется в виде:

(8.3.6)

Это так называемый эллипсоид деформации. Если оси координат совпадают с осями этого эллипсоида (с главными осями эллипсоида деформации), то (8.3.6) принимает вид:

(8.3.7)

где – относительные удлинения отрезков, параллельных осям новой СК. Новые оси замечательны тем, что смещения частиц, расположенных первоначально на этих осях, происходят только вдоль этих осей, т. е. точки на главных осях до деформации остаются на этих осях и после деформации.

Вектор деформации определяется шестью компонентами деформации, которые записаны в переменных Лагранжа.

Рассмотрим движение сплошной среды с точки зрения переменных Эйлера и выразим через них компоненты деформации. Для малых деформаций , , .Относительные удлинения:

(8.3.8)

а для сдвигов запишем:

(8.3.9)

Таким образом, все компоненты деформации – функции координат x, y, z точек пространства. Покажем, как изменяются эти компоненты при изменении СК xyz на СК . Учитывая, что

(8.3.10) и используя то, что скалярное произведение

(8.3.11) не зависит от выбора СК, можно получить:

. (8.3.12)

Вводя обозначения: , , и т. д.; а также , , , , , , можно представить формулы преобразований координат в виде:

(l, k = 1, 2, 3). (8.3.13)

Величины Ф, зависящие от x, y, z и удовлетворяющие (8.3.13), образуют афинный ортогональный тензор второго ранга – тензор деформации:

. (8.3.14)

Этот тензор в каждой точке пространства характеризует деформацию сплошной среды, окружающей данную точку. Если выбраны вдоль главных осей деформации, то тензор диагональный:

. (8.3.15)

Если смещение точки малой частицы , где , то для скоростей запишем: , где – скорость поступательного движения частицы, – вращательная скорость частицы относительно начала СК, – скорость деформации. Тогда естественно обозначить:

(8.3.16) В этом случае

. (8.3.17)

Величины – компоненты скоростей деформации. Тогда можно построить тензор скоростей деформации:

. (8.3.18)

Закон сохранения массы и уравнение непрерывности

Важная характеристика сплошной среды – ее плотность. Выделим в среде малый объем , охватывающий точку, в которой ищется плотность. Если его масса , то плотность

. (8.4.1)

Это определение имеет смысл только для сплошной среды. Последнее накладывает ограничения на перемещения и плотности точек среды, а в случае конечных перемещений - на скорости точек среды.

Используя переменные Лагранжа, запишем условие того, что выделенный объем V сплошной среды в начальный момент и в конечный момент имеет одинаковую массу:

, (8.4.2) где , , . Заменяя во втором интеграле переменные Эйлера переменными Лагранжа, получим:

. (8.4.3) Здесь

(8.4.4)

Для малых перемещений

, (8.4.5)

и из (8.4.2) и (8.4.3) следует:

, (8.4.6)

и, поскольку выбранный объем произволен, то

(8.4.7)или

. (8.4.8)

Это уравнение непрерывности в переменных Лагранжа или переменных Эйлера.

Собственно, уравнение непрерывности в переменных Лагранжа – (8.4.7). Равенство (8.4.8) представляет собой выражение для относительного объемного расширения при деформации (при неизменной массе и ). Из (8.4.8) вытекает:

. (8.4.9)

Это равенство связывает плотность в двух точках пространства и , которые точка сплошной среды занимает в моменты времени t и , смещаясь на малый вектор .

Разделив последнее равенство на и переходя к пределу при , получим закон сохранения массы (условие неизменности массы выделенного в среде объема; см. подробнее в [1, с. 29]):

. (8.4.10)

Уравнение непрерывности в переменных Эйлера:

. (8.4.11)