Обобщенные координаты и обобщенные силы

Как уже отмечалось, механическая система из частиц, на которую наложены связей, имеет степеней свободы. Этим степеням свободы соответствуют так называемых свободных координат. Остальные координат могут быть выражены как однозначные функции свободных координат.

Выберем независимых параметров так, чтобы свободные координаты были их однозначными функциями:

(2.3.1)

 

Т. к. несвободные координаты – однозначные функции свободных, то они также однозначные функции параметров и, в общем случае, времени , т. е. все декартовы координаты частиц системы могут быть выражены по формулам преобразования через параметров и время (см. 2.3.1). При этом уравнения связей удовлетворяются тождественно. Параметры называют обобщенными координатами механической системы. Время входит в (2.3.1), если связи нестационарные.

Выбор обобщенных координат может осуществляться разными способами. Пусть, например, частица движется по окружности радиусом в плоскости . Тогда уравнение связей: и ; здесь одна степень свободы. Логично в качестве обобщенной координаты выбрать угловую: . При этом . Если известна сила, действующая на частицу, то можно составить динамическое уравнение движения для координаты и найти зависимость .

Пространство, образованное совокупностью обобщенных координат , называют пространством конфигураций ( -мерное пространство). В нем систему частиц изображает одна точка с координатами в данный момент времени Т. е. вместо точек с координатами рассматривается одна точка с координатами , причем . Задача математически упрощается.

Обратимся к принципу виртуальных перемещений (условие Лагранжа (2.2.20)):

(2.3.2)

В отсутствие связей вариации всех координат независимы, и из (2.3.2) непосредственно следуют условия равновесия системы:

(2.3.3)

Если имеются идеальные связи, то (2.3.2) по-прежнему имеет место, но из него в общем случае условия равновесия (2.3.3) не следуют, т. к. не все вариации координат независимы, и поэтому не все коэффициенты при вариациях в (2.3.2) обращаются в нуль. Например, для частицы, перемещающейся равномерно и прямолинейно по горизонтальной плоскости (или покоящейся, т. е. в обоих случаях находящейся в равновесии) имеет место условие Лагранжа , но , и условие равновесия вовсе не следует из условия Лагранжа.

Для получения уравнений равновесия системы с идеальными связями из принципа виртуальных перемещений (из условия Лагранжа) используют метод обобщенных координат. Выбираем обобщенные координаты для данной системы частиц. Декартовы координаты выражаются через обобщенные (и время) в соответствии с (2.3.1). Варьируя (2.3.1), находим:

(2.3.4)

Вариации обобщенных координат независимы. Подставляя (2.3.4) в (2.3.2) и изменяя порядок суммирования, получаем:

(2.3.5)

Коэффициенты при вариациях обобщенных координат – обобщенные силы:

(2.3.6)

Принцип виртуальных перемещений в обобщенных координатах:

(2.3.7)

Поскольку величины произвольны и независимы, то из (2.3.7) следуют условия равновесия системы частиц:

(2.3.8)

– обобщенное понятие силы в механике. Произведение всегда имеет размерность работы; размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты .

Известно, что консервативное силовое поле (работа сил которого по перемещению частицы не зависит от формы траектории последней, а сами силы зависят только от координат частицы) характеризуется потенциалом:

(2.3.9)

Частица в таком поле обладает потенциальной энергией

– масса частицы. (2.3.10)

Потенциальная энергия системы частиц

(2.3.11)

силы связаны с потенциальной энергией соотношениями:

(2.3.12)

В обобщенных координатах

(2.3.13)

Тогда

(2.3.14)

Если , то , т. е. потенциальная энергия в равновесии имеет экстремум.

Сделаем несколько замечаний по поводу использованного выше понятия потенциальной энергии, поскольку в различных пособиях это понятие вводится и трактуется по-разному.

Механической энергией называют величину, характеризующую способность тела (или системы) совершать механическую работу. Другими словами, если два различных состояния тела характеризуются однородными величинами и , а разность этих величин равна работе по переводу тела из одного состояния в другое, то сама величина имеет смысл энергии. Как известно, элементарная работа определяется скалярным произведением силы на элементарное перемещение: . Здесь знак подчеркивает, что работа не является функцией состояния, и не является полным дифференциалом.

Используя второй закон Ньютона для частицы, запишем: умножая скалярно на , получаем: или . Итак, мы получили выражение для известной из курса общей физики теоремы об изменении кинетической энергии (в дифференциальной форме):

(2.3.15)

где – кинетическая энергия, присущая движущемуся телу. Интегральная запись этой теоремы:

(2.3.16)

Кинетическая энергия тела (системы тел) зависит от выбора системы отсчета. Кинетическая энергия системы тел подчиняется теореме Кёнига и может быть представлена в виде суммы кинетической энергии системы как целого с массой, сосредоточенной в центре масс и движущейся вместе с ним, и суммарной кинетической энергии всех тел системы в системе отсчета, связанной с центром масс.

Перейдем к понятию потенциальной энергии. Пусть на частицу действует сила , удовлетворяющая условию , где – потенциальная функция (некоторая функция координат и времени). Полный дифференциал этой функции

(2.3.17)

Отсюда

(2.3.18)

 

Легко видеть, что в общем случае , т. е. функция не соответствует определению механической энергии, приведенному выше. Но если явно от времени не зависит (т.е. ), то . В этом случае имеет смысл механической энергии и называется потенциальной энергией. В частности, потенциальной энергией обладает тело в поле консервативных сил, зависящих только от координат, работа которых на любом замкнутом участке траектории равна нулю (т.е. не зависит от формы траектории).

Если же поле нестационарное, или если силы зависят от скорости (даже если они гироскопические, т. е. перпендикулярные направлению перемещения в каждой точке траектории, например, сила Лоренца), то говорить о потенциальной энергии не приходится.

Для поля консервативных сил

или (2.3.19)

откуда следует:

(2.3.20)

Это закон сохранения полной механической энергии

9 Уравнения Лагранжа (второго рода)

Как отмечалось выше, задача о движении механической системы из частиц с голономными связями сводится к системе скалярных уравнений с неизвестными, дополняя которую независимыми соотношениями между координатами частиц и реакциями связей, можно получить решаемую систему уравнений Лагранжа первого рода.

Метод обобщенных координат позволяет заменить систему скалярных уравнений вида (2.1.10) системой дифференциальных уравнений в независимых обобщенных координатах, не содержащих явно сил реакций и называемых уравнениями Лагранжа второго рода (или просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения позволяют найти закон движения системы частиц, а затем с помощью (2.1.10) можно определить неизвестные реакции связей. Уравнения Лагранжа имеют инвариантную скалярную форму во всех СК, что позволяет составлять уравнения в наиболее удобной СК, не пользуясь громоздкими формулами перехода.

Для механической системы с идеальными связями задача математически заключается в преобразовании к обобщенным координатам общего уравнения механики

(2.4.1)

Используя соотношения (2.3.1), выражающие декартовы координаты частиц системы через обобщенные координаты, а также понятие обобщенной силы (2.3.6), из (2.4.1) с помощью довольно громоздких преобразований (см. подробнее в [4, с. 181–182]) получим

(2.4.2)

где – кинетическая энергия отдельной частицы, – обобщенные скорости. Кинетическая энергия системы частиц , тогда

(2.4.3) и

, . (2.4.4)

Это и есть искомые уравнения Лагранжа. Для их составления необходимо знать выражение для кинетической энергии системы частиц в выбранных обобщенных координатах и значения обобщенных сил. Каждой обобщенной координате соответствует свое уравнение Лагранжа.

Особый интерес представляют уравнения Лагранжа, описывающие движение системы частиц с обобщенно-потенциальными силами. Сила называется обобщенно-потенциальной, если она зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей, времени и удовлетворяет условию:

, , (2.4.5)

где – обобщенно-потенциальная функция (обобщенный потенциал). Подставляя (2.4.5) в (2.4.4), находим:

, , (2.4.6)

где – функция Лагранжа (лагранжиан). Уравнения (2.4.6) справедливы также, если – потенциальная функция, или если – потенциальная энергия (частный случай консервативных сил).

Итак, для составления уравнений Лагранжа в случае обобщенно-потен-циальных сил достаточно знать выражение для лагранжиана системы частиц. При этом уравнения (2.4.6) инвариантны по отношению к выбору системы отсчета. Лагранжиан задается неоднозначно: добавление к нему любой величины, не зависящей явно от , не изменяет уравнений (2.4.6).

При наличии диссипативных сил уравнения Лагранжа принимают вид:

, . (2.4.7)

Заметим, что если диссипативные силы линейно зависят от скоростей частиц, то они могут быть выражены (см. подробнее в []) через скалярную функцию:

(2.4.8)

где – диссипативная функция Рэлея.