Задача двух тел. Движение в центральном поле

Полное решение в общем виде допускает чрезвычайно важная задача о движении замкнутой системы из двух взаимодействующих частиц (задача двух тел). Решение этой задачи используется в небесной механике, при изучении столкновений частиц, в статистической физике и т. д. Задача двух тел существенно упрощается при разложении движения системы на движение ее центра инерции и движение частиц относительно центра инерции.

Итак, рассмотрим консервативную систему двух частиц. Потенциальная энергия их взаимодействия зависит от расстояния между частицами (и, естественно, от масс, зарядов и т. д.). Введем вектор относительно расстояния (радиус-вектор первой частицы относительно второй):

(4.2.1)

Тогда потенциальная энергия и функция Лагранжа

(4.2.2)

В системе центра инерции (4.2.3)

что совместно с (4.2.1) дает:

(4.2.4) и

(4.2.5)

где – приведенная масса: (4.2.6)

(4.2.5) формально совпадает с функцией Лагранжа для одной частицы массой , движущейся в поле . По решению этой задачи уравнения и для каждой из частиц с массами и в отдельности (в системе их общего центра инерции) получаются по формулам (4.2.4).

Таким образом, уравнение (4.2.5) описывает движение изображающей точки массой в поле , зависящем от расстояния этой точки до центра инерции рассматриваемой системы тел; – радиус-вектор этой изображающей точки. Векторы и всегда в одной плоскости. Из (4.2.4) следует, что траектории частиц системы и изображающей точки – подобные относительно центра инерции кривые (см. подробнее [4, с. 145]).

Поскольку начало координат связано с центром инерции, – радиус-вектор изображающей точки относительно центра инерции, то и действующая на эту точку сила

(4.2.7)

центральная, причем равная по модулю силе взаимодействия между частицами системы (других сил здесь нет). По третьему закону Ньютона

(4.2.8)

Итак, задача о движении двух тел сводится к задаче о движении одной частицы в центральном поле, в котором потенциальная энергия этой частицы зависит только от расстояния до определенной неподвижной точки (полюса). Сила, действующая на такую частицу, по модулю зависит только от и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора.

Момент центральной силы относительно полюса равен нулю, поэтому момент импульса рассматриваемой частицы сохраняется. Из сохранения направления вектора следует, что движение частицы происходит в одной плоскости, т. е. ее траектория – плоская кривая. Далее сохраним обычное обозначение массы рассматриваемой частицы. Для плоского движения целесообразно применять полярные координаты . Тогда функция Лагранжа запишется в виде:

(4.2.9)

Лагранжиан не зависит явно от координаты , т. е. эта координата циклическая. Для такой координаты

(4.2.10)

т. е. соответствующий ей обобщенный импульс является интегралом движения, что существенно упрощает задачу интегрирования уравнений движения. В нашем случае обобщенный импульс совпадает с моментом импульса, и мы возвращаемся к уже упомянутому закону сохранения

(4.2.11)

Для плоского движения одной частицы в центральном поле закон сохранения момента импульса допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Обозначив ее как , запишем выражение для момента импульса частицы в виде

(4.2.12)

где – секториальная скорость. Сохранение момента импульса означает постоянство секториальной скорости: за любые равные промежутки времени радиус-вектор частицы описывает равные площади (закон площадей Кеплера). Закон сохранения момента импульса частицы в центральном поле связан, таким образом, с так называемым интегралом площадей.

Имеется еще один интеграл движения – в поле консервативных сил сохраняется механическая энергия частицы:

(4.2.13)

Подставляя (4.2.11) в (4.2.13), находим:

(4.2.14)

Отсюда

(4.2.15)

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

(4.2.16)

Вычислив интеграл (4.2.16), можно получить первое уравнение движения (к сожалению, далеко не всегда в явном виде). Используя далее (4.2.11), имеем: (4.2.17)

(4.2.18)

 

что дает (при условии возможности взять интеграл) уравнение траектории , а из (4.2.17) при известном получаем второе уравнение движения .

Итак, в зависимости от вида задача решается (аналитически или численно). Заметим, что угол всегда изменяется со временем монотонно (из (4.2.11) видно, что никогда не меняет знак).

(4.2.14) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией

(4.2.19)

Второе слагаемое в (4.2.19) иногда называют центробежной энергией. Вполне понятно, что .

Значения , при которых , определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении этого равенства радиальная скорость обращается в нуль, что не означает остановки частицы (как при истинно одномерном движении), поскольку угловая скорость не обращается в нуль при этом. Равенство соответствует «точке поворота» траектории, в которой функция переходит от увеличения к уменьшению или наоборот. Если область движения имеет одну границу – движение инфинитное, если две границы – движение финитное (траектория целиком лежит внутри кольца, ограниченного радиусами и ). За время, в течение которого изменяется от до и снова до , радиус-вектор частицы повернется на угол (см. (4.2.18))

(4.2.20)

Условие замкнутости траектории заключается в том, что угол равен рациональной части от , т. е.

(4.2.21)

 

где и – целые числа. Тогда, сделав полных оборотов и повторив эту операцию раз, радиус-вектор частицы совпадает с первоначальным значением, и траектория замкнется. Существуют только два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты: и . Первый будет рассмотрен в следующем подразделе (задача Кеплера).

При движении с наличие центробежной энергии, обращающейся в бесконечность при , обычно приводит к невозможности проникновения частицы к центру поля, даже если последнее имеет характер притяжения. «Падение» в центр возможно, если потенциальная энергия достаточно быстро стремится к при . Поскольку

(4.2.22) или

(4.2.23)

 

то может принимать сколь угодно малые значения лишь при условии

(4.2.24)

 

т. е. функция должна стремиться к либо как с , либо пропорционально , где .

Рассмотрим этот вопрос на качественном уровне. В большинстве случаев , где (определяется характеристиками поля и частицы); для поля притяжения и для поля отталкивания. Пусть . Рассмотрим частные случаи:

1) (слабо сингулярное поле притяжения).

(4.2.25)

Легко видеть, что при отрицательных значениях энергии Е движение происходит в области (при частица движется по окружности с радиусом ) по траекториям эллиптического типа; при траектории параболического или гиперболического типа, т. е. частица не может попасть на силовой центр (), но может удалиться от силового центра на бесконечно большое расстояние. При траектория незамкнутая, например, траектория Меркурия, для которого наблюдается заметное смещение перигелия.

Если при , то . Тогда при любых начальных условиях движение частицы чисто радиальное (одномерное), причем при любых возможен захват частицы силовым центром (рисунок 4.2.2), если . При и происходит уход частицы на бесконечность. При и частица уходит от центра, а затем при поворачивает и начинает падение на центр.

 

 

 

Рисунок 4.2.2

Чисто эллиптические (параболические, гиперболические) траектории имеют место при , т. е. . Это утверждение носит наименование теорема Бертрана (часть теоремы, т. к. эллиптические траектории имеют место и при ).

2) (4.2.26)

В этом случае имеет место ситуация, очевидная из рисунка 4.2.3.

 

 

Рисунок 4.2.3

3) (сильно сингулярное поле притяжения)

(4.2.27)

Этот случай иллюстрирует рисунок 4.2.4.

Рисунок 4.2.4

 

 

Задача Кеплера

Частный случай задачи о движении частицы в центральном поле – задача о движении в поле притяжения кулоновского типа (например, задача о движении в поле тяготения). В этом случае , где . Найдем траекторию частицы массой в таком поле в дифференциальной и интегральной формах.

Известно, что в рассматриваемом случае

(4.3.1)

Тогда функцию Лагранжа можно представить в виде: (4.3.2)

т. е. рассматривается движение частицы с обобщенной координатой и обобщенной скоростью в поле с потенциалом . Подставляя (4.3.2) в уравнение Лагранжа, получаем:

 

(4.3.3)

 

Заметим, что (4.3.3) можно получить и непосредственным дифференцированием механической энергии по времени (учитывая, что ). Учтем далее, что и (4.3.4)

Тогда из (4.3.3) находим:

 

(4.3.5) или

(4.3.6)

где – проекция силы на направление . Обозначим . При этом и

(4.3.7) (4.3.8)

Это формула Бине – дифференциальной уравнение траектории при заданной силе. Если , то

(4.3.9)

знак показывает, что это сила притяжения. Дифференциальное уравнение траектории в поле притяжения кулоновского типа:

(4.3.10)

Постоянная зависит от масс (зарядов) тел и выбора системы единиц.

Учитывая, что

(4.3.11)

где – удвоенная секториальная скорость, для любого поля притяжения кулоновского типа имеем:

(4.3.12)

В частности, для поля тяготения

(4.3.13)

 

где – гауссова постоянная, – постоянная тяготения, – масса тела, в поле тяготения которого движется частица массой (тело неподвижно).

Для описания движения двух тел с массами и в системе их центра инерции используют понятие изображающей точки с массой , расстояние которой от центра инерции . Уравнение траектории этой точки (4.3.14) или (4.3.15)

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, общее решение которого

(4.3.16)

где и – произвольные постоянные, – общее решение соответствующего (4.3.15) однородного уравнения, – частное решение (4.3.15). Тогда (4.3.17)

В полярных координатах уравнение конического сечения

(4.3.18)

 

где – параметр кривой, – эксцентриситет. Итак, в поле тяготения (в поле притяжения кулоновского типа) частица (или изображающая точка для замкнутой системы двух частиц) движется по траектории, представляющей собой одно из конических сечений. В нашем случае

(4.3.19)

Вид траектории определяют константы и , причем , а полная энергия определяет величину .

Заметим, что интегральное уравнение траектории можно легко получить из (4.3.18), подставляя и интегрируя:

(4.3.20)

Если , то

(4.3.21)

что при , , совпадает с (4.3.17); при этом

(4.3.22)

(4.3.23)

Постоянная задает положение траектории на плоскости; при точка с – ближайшая к полюсу (перигелий орбиты).

При эксцентриситет , траектория – эллипс; если его полуоси и , то параметр , площадь , секториальная скорость , где – период (время одного полного оборота частицы). Точки и – соответственно перигелий и афелий (для спутника Земли – перигей и апогей).

Используя известные формулы аналитической геометрии, выразим полуоси эллипса:

(4.3.24)

(4.3.25)

 

Наименьшее и наибольшее расстояния от центра поля (фокуса эллипса):

(4.3.26)

Зная , вычислить и можно легко (эти величины могут быть найдены также как корни уравнения ). Период движения изображающей точки по эллипсу определяется энергией:

(4.3.27)

В частном случае движения по окружности .

При движение инфинитное ( – парабола, – гипербола). Гиперболической траектории соответствует энергия . При этом расстояние перигелия от центра поля

, (4.3.28)

где «полуось» орбиты . (4.3.29)

 

Для параболической траектории , и

(4.3.30)

Последний случай может осуществляться, если частица (изображающая точка) начинает движение из состояния покоя на бесконечности.

Вычислим теперь скорость движения изображающей точки в разных местах траектории (конического сечения). В полярных координатах

. (4.3.31)

Учитывая, что , , находим:

. (4.3.32)

Используя уравнение для , получаем:

. (4.3.33)

Для эллипса . Исследуя на экстремум выражение

, (4.3.34)

находим:

при , (4.3.35)

при . (4.3.35)

Для параболы ,

, (4.3.36)

при , (4.3.37)

при . (4.3.38)

Для гиперболы , при этом и в случае .