Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей.

Сложным называется такое движение точки, при котором она одновременно участвует в нескольких движениях. Абсолютным движением называется движение точки по отношению к неподвижной системе отсчета. Относительным называется движение точки по отношению к подвижной системе отсчета. Переносным называется движение той точки подвижной системы отсчета, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной. Проще можно сказать: относительным движением называется движение точки по телу, а переносным движением - движение точки вместе с телом.

Скорость и ускорение точки по отношению к неподвижной системе отсчета называются абсолютными (v, а). Скорость и ускорение точки по отношению к подвижной системе отсчета называются относительными (v , а _r). Скорость и ускорение той точки подвижной системы, в которой находится движущаяся точка, по отношению к неподвижной системе называются переносными (v , а ).

Теорема: скорость точки в абсолютном движении геометрически складывается из переносной и относительной скорости.

Например, на рис. 21 точка М совершает сложное движение: вращается вместе с диском – переносное движение, и двигается по хорде диска - относительное движение. При этом переносная скорость v_e направлена перпендикулярно отрезку ОМ в сторону переносной угловой скорости ω_e, а ее величина может быть найдена по формуле: v_e = ω_e ∙OM. Абсолютную скорость точки М можно найти по теореме косинусов: , где: α – угол между векторами v_e и v_r.

20. Теорема о сложении ускорений при сложном движении.

Теорема: абсолютное ускорение точки геометрически складывается из переносного, относительного и Кориолисова ускорений.

,

где: - переносное ускорение, - относительное ускорение, - ускорение Кориолиса: . модуль ускорения можно найти по формуле:

=2| ω_e |∙|v_r |∙sinβ, где: β – угол между векторами и , в рассматриваемом случае этот угол равен 90º, так как вектор угловой скорости направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас. Для определения направления можно пользоваться, правилом векторного умножения или правилом Жуковского: для определения направления ускорения Кориолиса надо спроецировать вектор относительной линейной скорости на плоскость | оси переносного вращения и повернуть эту проекцию в этой плоскости на угол 90° в направлении переносной угловой скорости.

Ускорение Кориолиса равно нулю если:

1. = 0; т.е. переносное движение будет поступательным.

2. = 0; т.е. точка неподвижна по отношению к подвижной системе отсчета.

3. - точка движется параллельно оси переносного вращения.

Задача К1

По заданным уравнениям движения точки в плоскости xy: (табл. К1) требуется найти уравнение траектории и для момента времени t₁ = π/6 c определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Построить на рисунке все найденные скорости и ускорения в соответствующих масштабах.

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются касательное и нормальное ускорения точки. В данной задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = π/6 c. В некоторых вариантах задачи при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует применить известные из тригонометрии формулы:

При выборе масштабов построения траектории, скоростей и ускорений следует учитывать, что они должны быть стандартными, то есть из ряда: 1, 2, 25, 4, 5. При этом изображаемые вектора должны быть достаточно крупными (50 - 100 мм).

Таблица К1

Последняя цифра шифра	Предпоследняя цифра шифра
	3sin(2t) + 1		2 - 2cos(2t)
	2sin^2(2t) -2		3cos^2(2t)-1
	4sin(2t) - 1		2cos(4t) +2
	3 -4 cos(2t)		3sin(2t) - 1
	4cos^2(2t)-2		2sin^2(2t) + 1
	cos(4t) +1		2sin(2t) - 3
	2sin^2(2t) -1		3 - 2cos(2t)
	2cos(4t) + 1		2cos(4t) +1
	3cos^2(2t)-2		2sin^2(2t)+1
	2+3cos(4t)		2 – 2cos(4t)

 

Пример К1. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

, (x, y – в сантиметрах, t - в секундах).

Определить уравнение траектории точки; для момента времени t₁=1c найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу.

или

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (1). Получим:

следовательно:

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (рис. К1):

2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:

и при t = 1c:

3. Аналогично найдем ускорение точки:

.

и при t = 1c: a_x = 0,87 см/с², a_y = - 0,12 см/с², a = 0,88 см/с².

4. Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство: . Получим:

Подставив полученные ранее значения, найдем, что при t = 1c: a_τ = 0,66 см/с².

5. Нормальное ускорение точки: Подставляя сюда найденные числовые значения a₁ и a_1τ, получим, что при t = 1 c: a_n = 0,58 см/с².

6. Радиус кривизны траектории: Подставляя сюда числовые значения υ ₁ и a _{1 n}, найдем, что при t = 1 c: ρ = 3,05 см.

При построении скоростей следует в данном случае выбрать масштаб:

μ _v = 0,02 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,02 ≈ 56 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,02 ≈ 37 мм; или

μ _v = 0,01 , тогда:

l _vx = │v_x │ / μ _v = 1,11/0,01 = 111 мм, l _vy = │v_y │ / μ _v = 0,73/0,01 = 73 мм.

При построении ускорений следует выбрать масштаб:

μ _a = 0,01 , тогда:

l _ax = │ a _x │ / μ _a = 0,87/0,01 = 87 мм, l _ay = │ a _y │ / μ _a = 0,12/0,01 = 12 мм;

l _aτ = │ a_τ │ / μ _a = 0,66/0,01 = 66 мм, l _an = │ a_n │ / μ _a = 0,58/0,01 = 58 мм.

Найденные длины отрезков откладываем из точки с координатами:

при t = 1c:

Замечание: при построении следует учесть, что l _ay необходимо отложить вниз, так как: a_y < 0, а a_τ – по направлению скорости, так как a_τ > 0.

Задача К2

Механизм состоит из ступенчатых колес 2-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 1, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней равны соответственно: у колеса 2 – r₂=6 см, R₂=8 см, у колеса 3 – r₃=12 см, R₃ = 16 см. На ободьях колес расположены точки А и В.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где: - закон вращения колеса 2, s₄(t) – закон движения рейки 4, ω₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, υ₁(t) – закон изменения скорости груза 1 и т.д. (везде φ - выражено в радианах, s - в сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₁, s₄ и υ₁, υ₄ – вниз.

Определить в момент времени t ₁ = 2 c указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (υ – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (υ₁ – скорость груза 1 и т.д.).

Указания. Задача К2 – на исследование вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. При решении задачи учесть, что когда два колеса находятся в зацеплении, скорость точки зацепления каждого колеса одна и та же, а когда два колеса связаны ременной передачей, то скорости всех точек ремня и, следовательно, точек, лежащих на ободе каждого из этих колес, в данный момент времени численно одинаковы; при этом считается, что ремень по ободу колеса не скользит.

Таблица К2

Номер условия	Дано	Найти
скорости	ускорения
		υ B, υ1
		υ A, υ4
		υ4, ω3
		υ1, ω3
		υ4, ω2
		υ1, υB
		υ4, ω3
		υA, ω3
		υB, ω2
		υ1, υB

 

 

 

 

 

Пример К2. Рейка 1, ступенчатое колеса 2 с радиусами R₂ и r₂ и колесо 3 радиуса R₃, скрепленное с валом радиуса r₃, находятся в зацеплении; на вал намотана нить с грузом 4 на конце (рис. К2). Рейка движется по закону s₁=f(t).

Дано: R₂=6 см, r₂=4 см, R₃=8 см, r₃=3 см, s₁=3t³ (s- в сантиметрах, t – в секундах), А – точка обода колеса 3, t₁ = 3 c. Определить: ω₃, υ₄, ε₃, α_A в момент времени t = t₁.

Решение. Условимся обозначать скорости точек, лежащих на внешних ободах колес (радиуса R_i), через υ_i, а точек, лежащих на внутренних ободах (радиуса r_i), - через u_i.

1. Определим сначала угловые скорости всех колес как функции времени t. Зная закон движения рейки 1, находим ее скорость (1)

Так как рейка и колесо 2 находятся в зацеплении, то υ₂= υ₁ или ω₂R₂= υ₁. Но колеса 2 и 3 тоже находятся в зацеплении, следовательно, u₂= υ₃ или ω₂r₂= ω₃R₃. Из этих равенств находим:

Тогда для момента времени t₁ = 3 c получим: ω₃ =6,75c^-1.

2. Определим υ₄. Так как υ₄ = υ_B = ω₃r₃, то при t₁=3 c: υ₄ =20,25 см/с.

3. Определяем ε₃. Учитывая, что ε₃= = 1,5 t. Тогда при t ₁=3 с получим:

ε₃=4,5 с^-2.

4. Определяем a_A. Для точки А: , где численно Тогда, для момента времени t₁=3 с, имеем:

Все скорости и ускорения точек, а также направления угловых скоростей показаны на рис. К2.

Задача К3

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В или Е (рис. К3.0 – К3.7) или из стержней 1, 2, 3 и ползунов В и Е (рис. К3.8, К3.9), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длина стержней: l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, l ₄ = 0,6 м. Положение механизма определяется углами α, β, γ, φ, θ. Значения этих углов и других заданных величин указаны в табл. К3а (для рис. 0-4) или в табл. К3б (для рис. 5-9); при этом в табл. К3а ω₁ и ω₄ – величины постоянные.

Определить величины, указанные в таблицах в столбцах «Найти».

Дуговые стрелки на рисунках показывают, как при построении чертежа механизма должны откладываться соответствующие углы: по ходу или против хода часовой стрелки (например, угол γ на рис. 8 следует отложить от DB по ходу часовой стрелки, а на рис. 9 – против хода часовой стрелки и т.д.). Построение чертежа начинать со стержня, направление которого определяется углом α; ползун с направляющими для большей наглядности изобразить так, как в примере К3 (см. рис. К3, б). Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направленными против хода часовой стрелки, а заданные скорость и ускорение - от точки В к b (на рис. 5-9).

Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движения твердого тела. При ее решении для определения скоростей точек механизма и угловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекциях скоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяя эту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности. При определении ускорений точек механизма исходить из векторного равенства , где А – точка, ускорение которой или задано, или непосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дуге окружности, то ; В – точка, ускорение которой нужно определить (если точка В движется по дуге окружности радиуса l, то , где численно ; входящая сюда скорость υ_B определяется так же, как и скорости других точек механизма).

Таблица К3а (к рис. К3.0 – К3.4)

Номер условия	Углы, град	Дано	Найти
α	β	γ	φ	θ	ω1, 1/с	ω4, 1/с	υ точек	ω звена	a точки	ε звена
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	AB	A	AB
							-	B, E	DE	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB
							-	D, E	AB	B	AB
						-		A, E	DE	A	AB

 

Таблица К3б (к рис. К3.5 – К3.9)

Номер условия

Углы, град

Дано

Найти

α

β

γ

φ

θ

ω1, 1/с

ε1, 1/с^2

υВ, м/с

a В, м/с^2

v точек

ω звена

a точки

ε звена

-

-

B, E

AB

B

AB

-

-

A,E

DE

A

AB

-

-

B, E

AB

B

AB

-

-

A,E

AB

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

D,E

DE

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

A,E

AB

A

AB

-

-

B, E

DE

B

AB

-

-

D,E

AB

A

AB

Пример К3. Механизм (рис. К3, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁ и О₂ шарнирами.

Дано: a=60º, b=150º, g=90º, j=30º, q=30º, AD = DB, l ₁ = 0,4 м, l ₂ = 1,2 м, l ₃ = 1,4 м, w₁ = 2 с^-1, e₁ = 7 с^-2 (направление w₁ и e₁ – против хода часовой стрелки). Определить: u_B, u_E, w₂, a_B, e₃.

Решение.

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами (рис. К3, б).

2. Определяем u_В. Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти u_В, надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление w₁, можем определить ; численно

 

(1)

Направление найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

(2)

3. Определяем . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки D, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня AB; это точка С₃, лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восстановленных из точек А и В (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня АВ вокруг МЦС С₃. Вектор перпендикулярен отрезку С₃D, соединяющему точки D и C₃, и направлен в сторону поворота. Величину u_D найдем из пропорции

(3)

Чтобы вычислить С₃D и C₃B, заметим, что прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30 и 60º, и что C₃B=АВsin30º=0,5AB=BD. Тогда является равносторонним и C₃B= С₃D. В результате равенство (3) дает

(4)

Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О₂Е, вращающемуся вокруг О₂, то . Тогда, восставляя из точек Е и D перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС С₂ стержня DE. По направлению вектора определяем направление поворота стержня DE вокруг центра С₂. Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3,б видно, что Составив теперь пропорцию, найдем, что: (5)

4. Определяем w₂. Так как МЦС стержня 2 известен (точка С₂) и

(6)

5. Определяем Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. По данным задачи можем определить где числено:

(7)

Вектор направлен вдоль АО₁, а перпендикулярно ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и . Для определения воспользуемся равенством: (8)

Изображая на чертеже векторы (вдоль ВА от В к А) и (в любую сторону перпендикулярно ВА); числено Найдя w₃ с помощью построенного МЦС - С₃ стержня 3, получим:

(9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения a _B и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на какие-нибудь две оси.

Чтобы определить a _B, спроектируем обе части равенства (8) на направление АВ (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору . Тогда получим:

(10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

а _В = 0,72 м/с². (11)

Так как а _В > 0, то, следовательно, вектор направлен, как показано на рис. К3, б.

6. Определяем e₃. Чтобы найти e₃, сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у). Тогда получим:

(12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что = -3,58 м/с². Знак указывает, что направление противоположно показанному на рис. К3, б.

Теперь из равенства = e₃ l₃ получим:

Ответ: u_В = 0,46 м/с; u_Е = 0,46 м/с; w₂ = 0,67 с^-1; а _В = 0,72 м/с²; e₃ = 2,56 с^-2.

 

Задача К4

Прямоугольная пластина (рис. К4.0–К4.5) или круглая пластина радиуса R=60 см (рис. К4.6-К4.9) вращается вокруг неподвижной оси по закону j=f₁(t), заданному в табл. К4. Положительное направление отсчета угла j показано на рисунках дуговой стрелкой. На рис. 0, 1, 2, 6, 9 ось вращения перпендикулярна плоскости пластины и проходит через точку О (пластина вращается в своей плоскости); на рис. 3, 4, 5, 7, 8 ось вращения ОО₁ лежит в плоскости пластины (пластина вращается в пространстве). По пластине вдоль прямой BD (рис. 0-5) или по окружности радиуса R (рис. 6-9) движется точка М; закон ее относительного движения, т.е. зависимость s=AM=f₂(t) (s выражено в сантиметрах, t - в секундах), задан в таблице отдельно для рис. 0-5 и для рис. 6-9; там же даны размеры b и l. На рисунках точка М показана в положении, при котором s = AM > 0 (при s < 0 точка М находится с противоположной стороны). Требуется определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁=1c.

Указания. Задача К4 – на сложное движение точки. Для ее решения необходимо воспользоваться теоремами о сложении скоростей и ускорений при сложном движении. Прежде чем производить все расчеты, следует по условиям задачи определить, где находится точка М на пластине в момент времени t ₁=1c, и изобразить точку именно в этом положении (а не в произвольном, показанном на рисунках к задаче). В случаях, относящихся к рис. 6-9, при решении задачи не подставлять числового значения R, пока не будут определены положение точки М в момент времени t ₁=1 c (с помощью угла между радиусами СМ и СА в этот момент).

ЗАМЕЧАНИЕ. В задачах на рис. 3,4,7,8 вектора и направлены перпендикулярно плоскости рисунка, поэтому в этих вариантах следует выбрать оси xyz, считая ось z направленной на нас. Направление на нас изображается значком , а от нас: .

 

Таблица К4

Номер условия	Для всех рисунков j=f1(t)	Для рис. 0-5	Для рис. 6-9
b, см	s=AM=f2(t)	l	s=AM=f2(t)
	4(t^2-t)	12	50(3t-t^2)-64	R	2πR (4t^2-2t^3)/3
	3t^2-8t	16	40(3t^2-t^4)-32	4/3 R	3πR (2t^2-t^3)/2
	6t^3-12t^2	10	80(t^2-t)+40	R	2πR (2t^2-1)/3
	t^2-2t^3	16	60(t^4-3t^2)+56	R	5πR (3 t-t^2)/6
	10t^2-5t^3	8	80(2t^2-t^3)-48	R	2πR (t^3-2t)/3
	2(t^2-t)	20	60(t^3-2t^2)	R	πR (t^3-4t)/6
	5t-4t^2	12	40(t^2-3t)+32	4/3 R	πR (t^3-2t^2)/2
	15t-3t^3	8	60(t-t^3)+24	R	πR (t-5t^2)/6
	2t^3-11t	10	15(5t^3-t)-30	R	2πR (3 t^2-1)/3
	6t-3t^3	20	40(t-2t^2)-40	4/3 R	4πR (t^2-2t^3)/3

 

 

 

 

Пример К4. Диск радиуса R (рис. К4) вращается вокруг оси О перпендикулярной плоскости рисунка по закону j = f₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К4 дуговой стрелкой.) По ободу ADB движется точка М по закону s = AM = f₂(t); положительное направление отсчета s от A к D.

Дано: R = 0,5 м, j = 2 t ³ - 4 t ², s = (pR/6)(7 t – 2 t ²)

(j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах). Определить: u_аб и а_аб в момент времени t ₁=1c.

Решение. Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по дуге ADB относительным, а вращение диска – переносным движением. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(1)

где, в свою очередь,

Определим все характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. Это движение происходит по закону:

s = AM = (pR/6)(7 t – 2 t ²). (2)

Сначала установим, где находится точка М на дуге ADB в момент времени t₁. Полагая в уравнении (2) t = 1 c, получим:

или

Изображаем на рис. К4 точку М₁ в положении, определяемом этим углом.

Теперь находим числовые значения u_ОТ,

где: r_ОТ – радиус кривизны относительно траектории, т.е. дуги ADB. Для момента времени t ₁ = 1c, учитывая, что R = 0,5 м, получим:

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительно отсчета расстояния s, а вектор - в противоположную сторону; направлен к центру О дуги ADB. Изображаем все эти векторы на рис. К4 и К4а.

2. Переносное движение. Это движение (вращение) происходит по закону:

j = 2 t ³ - 4 t ². Найдем угловую скорость ω и угловое ускорение ε переносного вращения: ω = = 6 t ²-8 t, ε = = 12 t - 8 и при t ₁ = 1 c: . (4)

Знаки указывают, что при t ₁ = 1 c направление ε совпадает с направлением положительного отсчета угла φ, а направление ω ему противоположно; отметим это на рис. К4 соответствующими дуговыми стрелками. Тогда в момент времени t ₁ = 1 c, учитывая равенства (4), получим:

(5)

Изображаем на рис. К4 и К4а векторы и с уч