Глава 3. Сложное движение точки

 

В главе введены понятия относительного, переносного и абсолютного движений точки, кориолисова ускорения, изложена методика определения скоростей и ускорений точки в сложном движении.

 

Точка движется по некоторой траектории относительно тела , которое, в свою очередь, движется относительно условно неподвижной системы осей , обычно связанных с Землёй (рис. 35). Для изучения движения точки относительно тела вводим подвижную систему осей , связанную с телом. Движение точки относительно подвижной системы отсчёта называют относительным движением точки.

Скорость и ускорение точки в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением. Движение подвижной системы отсчёта и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчёта является для точки переносным движением.

Скорость и ускорение той точки тела , где в данный момент времени находится точка , называют переносной скоростью и переносным ускорением точки .

Движение точки относительно неподвижной системы отсчётаназывают абсолютным движением точки.

Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки.

Согласно теореме о сложении скоростей, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме её переносной скорости и относительной скорости

. (3.1)

По теореме Кориолиса о сложении ускорений абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного , относительного и кориолисова ускорений

. (3.2)

Кориолисово ускорение равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки

. (3.3)

Векторное равенство определяет модуль ускорения Кориолиса

, (3.4)

где – меньший угол между векторами и и его направление (рис. 36).

Из векторного произведения (3.3) следует, что ускорение Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, образованной векторами и , в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на угол представляется происходящим против хода часовой стрелки.

Для определения направления ускорения Кориолиса удобно пользоваться правилом Жуковского: проецируем вектор относительной скорости на плоскость, перпендикулярную вектору , далее поворачиваем полученную проекцию на угол 90° в направлении вращения переносной угловой скорости , получаем направление кориолисова ускорения .

Из выражений (3.4) вытекают условия, при выполнении которых ускорение Кориолиса равно 0.

 

Очевидно, , если:

1) ; учитывая, что , где – угол поворота тела , движение которого для точки является переносным (рис. 36). Производная в двух случаях: а) , то есть переносное движение является поступательным; б) и , угол поворота тела имеет экстремальное значение (в моменты времени изменения направления переносной угловой скорости );

2) ; так как , где – дуговая координата в относительном движении точки , то также в двух случаях: а) (нет относительного движения точки); б) и (моменты изменения направления относительного движения точки);

3) ; значит, , либо , то есть это случай, когда векторы и параллельны.

Рассмотрим характерные примеры решения задач на сложное движение точки.

 

Пример 1. Точка (рис. 37) движется по жёлобу радиусом м звена АВ механизма шарнирного четырёхзвенника по закону , – в м. Заданное положение механизма соответствует моменту времени с, и в этом положении угловая скорость и угловое ускорение кривошипа мравны рад/с, рад/с². Определить абсолютные скорость и ускорение точки в данный момент времени, если и .

Решение задач на сложное движение точки надо начинать с установления её относительного движения, далее найти переносное и наконец абсолютное движение. В некоторых задачах, к которым относится и данный пример, это можно сделать сразу без дополнительных исследований. Подробно определение движений приведено в примере 3. В рассматриваемом примере движение точки по звену – движение относительное, движение звена – переносное движение для точки , сумма относительного и переносного движений даёт абсолютное движение точки.

Находим положение точки на звене в заданный момент времени с

м, тогда (рис. 38).

Абсолютная скорость точки равна

. (3.5)

Переносная скорость равна скорости той точки звена , где находится точка в данный момент времени. Так как в рассматриваемой задаче дано, что и , то звено четырёхзвенника движется поступательно. Значит, согласно основной теореме поступательного движения тела ,

м/с.

направлена в сторону вращения . Для угла скорость направлена перпендикулярно радиусу траектории относительного движения точки.

Относительная скорость точки равна

.

При с м/с.

направлена по касательной к траектории относительного движения, то есть в заданном положении точки скорости и направлены по одной линии (рис. 38). Поэтому для заданного положения точки абсолютная скорость

м/с.

Абсолютное ускорение точки равно

. (3.6)

Переносное ускорение

.

Так как относительное движение точки криволинейное, то относительное ускорение равно

.

Тогда

Рис.38

. (3.7)

Находим модули и направляем составляющие абсолютного ускорения м/с²; направлен в сторону .

м/с²; направлен по от к .

; при с м/с².

Знак «минус» в показывает, что вектор направлен в сторону уменьшения дуговой координаты . Далее м/с².

м/с².

направлен по к центру (рис. 38).

Ускорение Кориолиса

,

так как звено движется поступательно, то .

Поскольку все векторы составляющих абсолютного ускорения в рассматриваемом примере расположены в плоскости чертежа, для определения его модуля выбираем две любые перпендикулярные оси, например ,и находим две проекции абсолютного ускорения на эти оси:

м/с²,

м/с².

Тогда

м/с².

 

Пример 2. Точка движется с постоянной скоростью м/с по жёлобу квадратной пластины со стороной м от к . Пластина вращается вокруг оси ускоренно. В данный момент времени угловая скорость рад/с, угловое ускорение рад/с² и точка занимает на пластине положение, указанное на рис. 39. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

Для решения задачи зададим направление и . Абсолютная скорость точки равна

. (3.8)

Относительная скорость . Вектор направлен по касательной к траектории относительного движения точки (рис. 40).

Переносная скорость

,

где – угловая скорость движения пластины (), – радиус вращения той точки пластины, где находится точка М в данный момент времени.

м.

Тогда м/с.Вектор направлен на нас. Так как в данном примере , то

м/с.

Абсолютное ускорение точки равно

. (3.9)

Так как переносное движение – вращательное, а относительное – криволинейное, то имеем

. (3.10)

Переносное вращательное ускорение равно

м/с².

Вектор направлен на нас.

Переносное центростремительное ускорение равно

м/с².

Вектор направлен вниз.

Касательное ускорение

,

так как по условию задачи .

Нормальное ускорение

м/с².

Вектор направлен к центру кривизны траектории относительного движения, то есть к O ₁.

Ускорение Кориолиса . Вектор направлен по оси OO, и его направление можно найти, используя правило буравчика.

Переносим вектор в точку . Тогда меньший угол между векторами и равен 120º. Значит

м/с².

Используя правило векторного произведения или правило Жуковского, находим, что вектор направлен в противоположную от нас сторону (против ) (рис. 40).

Выбираем систему перпендикулярных осей и находим три проекции абсолютного ускорения на выбранные оси:

м/с²;

м/с²;

м/с².

Тогда абсолютное ускорение точки равно

м/с².

 

x 1

Пример 3. В кулисном механизме (рис. 41) кривошип вращается вокруг оси O с угловой скоростью рад/с, угловым ускорением рад/с² и приводит в движение кулису , вращающуюся вокруг оси .

Считая вращение кривошипа ускоренным, определить в заданном положении механизма угловую скорость и угловое ускорение кулисы , если OA = 4 м, , .

y 1

В этой задаче точка совершает сложное движение: точка кривошипа ОА вращается вместе с ним вокруг оси О; точка А кулисы , вращается вместе с ней вокруг оси ; точка ползуна движется вместе с ним по кулисе.

Рис.42

Для определения относительного движения выбираем подвижную систему осей , связанную с кулисой . Поскольку расстояние меняется при вращении кривошипа , то, согласно определению относительного движения, движение ползуна по кулисе есть движение относительное. Тогда вращение кулисы – движение переносное. Оставшееся движение – вращение точки вместе с кривошипом – движение абсолютное.

Абсолютная скорость точки

. (3.11)

Определяем абсолютную скорость

м/с.

направлена в сторону вращения . Строим параллелограмм скоростей, чтобы была его диагональю, одна из сторон направлена по , вторая перпендикулярна ей (рис. 42).

x 1

Из треугольника скоростей

м/с,

м/с,

тогда рад/с.

y 1

Указываем направление . Записываем выражение для абсолютного ускорения точки

. (3.12)

Или с учётом вида абсолютного, переносного и относительного движений

. (3.13)

Составляющие абсолютного ускорения, подчеркнутые в векторном равенстве (3.13) двумя чертами, известны по модулю и направлению, одной чертой – только по направлению.

м/с², направлен по ;

м/с², направлен в сторону ;

, так как относительное движение – прямолинейное, значит ;

м/с², направлен по , от B к O ₁.

Ускорение Кориолиса .

По модулю м/с².

Используя правило Жуковского, указываем направление вектора . Задаём направления ускорений (перпендикулярно ) и (по ) (рис. 42).

Проектируем векторное равенство (3.13) на ось

.

Отсюда

м/с².

Так как получилось со знаком «+», то на рис. 42 указано верное направление вектора .

Тогда угловое ускорение кулисы O ₁ B равно:

рад/с².

Ускорение направлено в сторону, куда вращает кулису вокруг оси O ₁.

Проектируя векторное равенство (3.13) на ось , можно найти относительное ускорение .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Что такое сложное движение точки?

2. Что называется относительным, переносным и абсолютным движением?

3. Как определяется скорость точки при сложном движении?

4. Как определяется ускорение точки при сложном движении?

5. В каких случаях при сложном движении точки ускорение Кориолиса равно нулю?