Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

 

Пространственная система сил приведена к равнодействующей в точке О (рис. 43), значит, главный момент системы сил .

Тогда, согласно выражению (2.29), главный момент этой системы относительно нового центра А равен .

Согласно выражению (2.13),

Окончательно получается

(2.30)

Равенство (2.30) выражает теорему Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра.

Момент равнодействующей пространственной системы сил относительно любого центра А равен геометрической сумме моментов всех сил относительно этого центра.

Спроектировав векторное равенство (2.30) на координатные оси, например на ось Ox, получаем выражение (2.31) теоремы Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси:

(2.31)

Момент равнодействующей относительно оси равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этой оси.

Частный случай теоремы Вариньона для плоской системы сил.

Так как для плоской системы сил моменты на плоскости суммируются алгебраически (см. выражение (2.9)), то теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно центра А имеет вид:

(2.32)

Момент равнодействующей плоской системы сил относительно любого центра А равен алгебраической сумме моментов всех сил относительно этого центра.

 

Системы статически определимые

И статически неопределимые

 

При действии на тело различных систем сил можно составить различное число уравнений равновесия. Так, для пространственной системы сходящихся сил можно составить три уравнения, для плоской системы сходящихся сил – два, пространственной системы пар – три, плоской системы пар – одно, плоской произвольной системы сил – три, плоской системы параллельных сил – два, пространственной произвольной системы сил – шесть, пространственной системы параллельных сил – три.

Механические системы, в которых число неизвестных равно числу уравнений равновесия для данной системы сил, называются статически определимыми (статически определённые задачи).

Механические системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений равновесия для данной системы сил, называются статически неопределимыми (статически неопределённые задачи).

Разница между числом неизвестных N и числом уравнений равновесия n для данной системы сил даёт степень статической неопределимости данной системы

(2.33)

 

Пример 1

На двухшарнирную арку (рис. 44) действует плоская система сил. Неизвестных N в этой задаче – 4 (по два в каждом шарнире А и В). Уравнений равновесия n для плоской произвольной системы сил – 3. Задача статически неопределённая. Степень статической неопределимости согласно выражению (2.33)

 

Пример 2

На трёхшарнирную арку (рис. 45) действует плоская система сил . Неизвестных N в этой задаче – 6 (по два в каждом шарнире А, B, С). Уравнений равновесия n – 6 (по три для каждой части арки АС и СВ). Задача статически определённая.

 

 

Примеры решения задач на плоскую систему сил

 

Пример 1

На плоскую конструкцию ABCD (рис. 46а), состоящую из горизонтального стержня AB = a, вертикального стержня BC = b в полуокружности радиуса r, действуют вертикальная равномерно распределённая нагрузка , горизонтальная нагрузка , меняющаяся по закону треугольника, и на дуге DK с центральным углом DOK = 60° радиальная распределённая нагрузка .

Определить реакции заделки A.

Решение

1. Объект равновесия – рама ABCD (рис. 46б).

2. Активные силы:

а) – равнодействующая нагрузки , меняющейся по закону прямоугольника, численно равна площади этого прямоугольника

б) – равнодействующая нагрузки на участке BC, меняющейся по закону треугольника, численно равна площади этого треугольника

приложена в центре тяжести треугольника;

в) – равнодействующая нагрузки направлена по биссектрисе угла и по модулю .

Поскольку где KD – хорда, то

Рис. 46

Реакции связей: .

3. На раму действует плоская произвольная система сил.

Составляем три уравнения равновесия:

Пример 2

Найти реакции опор A и C и давление в промежуточном шарнире B составной конструкции, если P ₁=9 кН, P ₂=10 кН, M =29 кН·м, q = 1,5 кН/м (рис. 47).

Решение

Конструкция состоит из двух балок АВ и ВD. Для определения реакций в заделке А, шарнире В и катковой опоре С надо составить шесть уравнений равновесия. Объекты равновесия системы можно выбирать двумя способами:

1. Всю конструкцию в целом и далее любую балку (либо АВ, либо BD).

2. Разрезать конструкцию по внутреннему шарниру В и отдельно рассмотреть балки АВ и ВD.

Эта задача будет решаться более рационально, если воспользоваться вторым способом выбора объекта равновесия.

Объект равновесия – левая балка ВD (рис. 48а).

Активные силы: Реакции связей: .

На балку BD действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

,

откуда

.

Объект равновесия – правая балка AB (рис. 48б).

Активные силы: .

Реакции связей: причём . Составляющие реакции направлены против (аксиома: действие равно противодействию).

На балку AB действует плоская произвольная система сил. Составляем три уравнения равновесия:

–

Так как реакции получились со знаком "минус", то действительные направления этих реакций противоположны указанным на рис. 48б направлениям.

 

Примеры решения задач на пространственную систему сил

 

Пример 1

На пространственную конструкцию (рис. 49а), конец которой жёстко заделан, действует вертикальная сила , пара с моментом М в плоскости, параллельной координатной плоскости yAz, и распределённая нагрузка в той же плоскости интенсивностью q, изменяющаяся по закону треугольника. Пренебрегая весом конструкции, определить момент M_A и реакцию R_A заделки.

 

Решение

1. Объект равновесия – вся конструкция (рис. 49б).

2. Активные силы: .

Реакции связей:

 

3. На конструкцию действует пространственная система сил.

Составляем шесть уравнений равновесия:

 

Пример 2

Найти реакции опор конструкции (рис. 50а) и Р, если Т = 4 кН, G = 3 кН, а = 0,15 м, b = 0,2 м, c = 0,15 м; R = 0,15 м, r = 0,1 м, T = 2 t,

 

Решение

1. Объект равновесия – вся конструкция (рис. 50б).

2. Активные силы: (параллельна оси Ах),

Реакции связей: (опора А – подпятник), (опора В – подшипник).

3. На конструкцию действует пространственная произвольная система сил. Составляем шесть уравнений равновесия:

так как t = 0,5 T, то

 

;

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Что называется моментом силы относительно точки?

2. Как направлен вектор момента силы относительно точки и как определяется его модуль?

3. В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

4. Как определяется числовое значение и знак момента силы относительно оси?

5. При каких условиях момент силы относительно оси равен нулю?

6. Какая зависимость существует между моментом силы относительно точки и моментом той же силы относительно оси, проходящей через эту точку?

7. Каковы аналитические выражения моментов силы относительно координатных осей?

8. Какая система сил называется парой сил?

9. Как определяется численное значение и знак момента пары сил?

10. Как читаются теоремы об эквивалентных парах?

11. Каковы условия равновесия системы пар сил, расположенных в одной плоскости и в пространстве?

12. Как читается лемма Пуансо о параллельном переносе силы?

13. Как читается теорема о приведении пространственной произвольной и плоской систем сил к одному центру?

14. Что называется главным моментом системы сил относительно данной точки?

15. В чём выражаются геометрические условия равновесия пространственной системы сил?

16. Назовите аналитические условия равновесия пространственной произвольной и пространственной системой параллельных сил, плоской произвольной и плоской системой параллельных сил?

17. Какие механические системы называются статически определимыми и статически неопределимыми?

18. Как читаются теоремы о моменте равнодействующей пространственной произвольной системы сил относительно точки и оси?