Определение скорости и ускорения точки при различных

способах задания её движения

 

Траекторией точки называется геометрическое место последовательных положений этой точки в пространстве.

Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный.

При векторном способе задания движения положение точки М определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого заданного центра О (рис. 1):

. (1.1)

Выражение (1.1) является законом движения при векторном способе. Скорость точки равна первой производной от радиус-вектора точки по времени

. (1.2)

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости по времени или второй производной от радиус-вектора по времени

. (1.3)

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлен в сторону её вогнутости.

При координатном способе задания движения положение точки М в системе отсчёта Оxyz определяется тремя координатами x, y, z. При движении точки её координаты изменяются с течением времени, следовательно, они являются функциями от времени (рис. 2)

. (1.4)

y

Уравнение (1.4) называется уравнением движения точки в декартовых координатах. Для определения скорости точки определяются проекции скорости на оси координат как первые производные от соответствующих координат точки по времени

. (1.5)

После вычисления проекций скоростей определяются модуль и направление вектора скорости точки

, (1.6)

и направляющие косинусы вектора

. (1.7)

Скорость точки измеряется в м/с.

Проекции ускорения на оси координат равны первым производным от соответствующих проекций скорости по времени или вторым производным от соответствующих координат точки по времени

. (1.8)

Вычислив проекции ускорения на оси координат, можно определить модуль и направление вектора ускорения точки:

(1.9)

(1.10)

Ускорение точки измеряется в м/с².

При естественном способе задания движения точки известны (рис. 3):

1. Траектория точки АВ.

2. Начало отсчёта О с указанием положительного «+» и отрицательного «-» направлений отсчёта дуговой координаты .

3. Закон изменения дуговой координаты .

Выражение является законом движения при естественном способе задания движения точки.

Модуль скорости при естественном способе равен первой производной от дуговой координаты S по времени

. (1.11)

Если , то вектор направляем в сторону положительного отсчёта дуговой координаты S, если , то – в противоположную сторону.

Вектор ускорения при естественном способе предстаёт как геометрическая сумма векторов касательного и нормального ускорений

. (1.12)

Касательное ускорение есть составляющая вектора ускорения, которая получается проектированием вектора на касательную к траектории в точке . Касательное ускорение характеризует изменение модуля вектора скорости во времени. Модуль касательного ускорения равен первой производной от скорости точки по времени или второй производной от дуговой координаты по времени

. (1.13)

Если , то вектор направляется в сторону положительного отсчёта дуговой координаты S, если , то – в противоположную сторону.

Нормальное ускорение есть составляющая вектора ускорения, которая получается путём проектирования вектора на направление главной нормали траектории в точке . Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению. Модуль нормального ускорения равен

, (1.14)

где – радиус кривизны траектории в точке M.

Вектор нормального ускорения направлен всегда к центру кривизны траектории.

Учитывая, что ,модуль ускорения точки:

. (1.15)

Рассмотрим частные случаи движения точки:

1. Равномерное прямолинейное движение. В этом случае .

Тогда касательное ускорение

, так как ;

нормальное ускорение

,

так как радиус кривизны прямолинейной траектории . Значит, согласно выражению (1.15), ускорение точки .

Учитывая, что , .

После интегрирования ,

получаем

. (1.16)

Выражение (1.16) является законом движения точки в рассматриваемом случае.

2. Равномерное криволинейное движение. В этом случае .

Тогда ; .

Ускорение точки , т.е. по модулю и направлению совпадает с нормальным ускорением . Закон движения точки по траектории в этом случае определяется выражением (1.16).

3. Равнопеременное прямолинейное движение. В этом случае (знак «+» соответствует ускоренному движению точки, знак «–» соответствует замедленному движению).

Учитывая, что , .

После интегрирования получается

, (1.17)

где – скорость при . Выражение (1.17) определяет закон изменения скорости в этом случае.

В рассматриваемом случае нормальное ускорение

, так как .

В этом случае ускорение точки , т.е. по модулю и направлению совпадает с касательным ускорением . После повторного интегрирования (1.17) получается выражение, которое описывает закон движения в этом случае

. (1.18)

4. Равнопеременное криволинейное движение. В этом случае, в отличие от рассмотренного в п. 3, , ускорение . Закон изменения скорости и закон движения точки определяется соответственно выражениями (1.17) и (1.18).

5. Общий случай движения. В этом случае . Тогда закон изменения скорости определяется выражением

. (1.19)

Закон движения точки

. (1.20)

Рассмотрим переход от координатного способа к естественному. Пустьдвижения точки заданы координатным способом, т.е. известны функции (1.4). Найдем закон движения . Дифференциал дуги равен

(1.21)

где , , – дифференциалы координат точки: , , .

Подставляем значения и интегрируем выражение (1.21)

.

Окончательно получаем

, (1.22)

где S ₀ – дуговая координата при .

Введём понятие о годографе скорости точки.

Точка , двигаясь по криволинейнойтраектории (рис. 4), занимаетна ней последовательные положения . Скорость точки в этих положениях равна соответственно .

Выбираем в пространстве некоторую точку и откладываем от этой точки векторы, геометрически равные скоростям . Если от точки отложить векторы скорости, соответствующие всем положениям точки на траектории , и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, которая является годографом скорости. Таким образом, годограф скорости представляет собой геометрическое место, где находятся концы векторов скорости движущейся точки, отложенных от одной и той же точки пространства.

Если точку , от которой откладываются скорости движущейся точки, совместить с началом отсчёта системы координат , то уравнения

, , (1.23)

являются параметрическими уравнениями годографа скорости.

В главе «Кинематика точки» можно выделить два основных класса задач:

- определение уравнений движения точки, её траектории, а также скорости, ускорения и радиуса кривизны траектории в заданный момент времени;

- частные случаи движения точки.

 

Первый класс задач рассмотрим на следующем примере.

Пример 1. Кривошип м кривошипно-ползунного механизма (рис. 5) вращается вокруг оси по закону ( – в радианах, – в секундах). Для точки шатуна и :

1. Найти уравнения движения в системе координат .

Для определения уравнений движения точки выбираем произвольное положение механизма (когда и )в системе отсчёта и выражаем координаты точки шатуна

, ,

где – выражены в метрах.

2. Определить траекторию точки, построить траекторию и указать положение точки на траектории при с.

Для определения траектории точки необходимо из полученных уравнений движения , исключить параметр времени . В рассматриваемом случае это можно сделать следующим образом. Перепишем уравнения движения

; .

Возводя в квадрат эти выражения и складывая, получим уравнение траектории точки:

.

Таким образом, траектория точки представляет собой эллипс с полуосями a = 0,6 м, b = 0,2 м (рис. 6).

Находим положение точки при с. Для этого в полученные уравнения движения подставляем заданное время

, .

Указываем точку на траектории.

3. Для момента времени с найти скорость точки и построить вектор скорости .

Определяем проекции скорости точки на оси координат

, .

При с ; .

Скорость точки

Зная проекции скорости и при с, строим вектор на рис. 6. Вектор направлен по касательной к траектории в точке .

4. Для момента времени с найти ускорение точки и построить вектор на рисунке.

Определяем проекции ускорения точки на оси координат

, .

При с м/с², .

Ускорение точки .

Зная проекции ускорения и , строим вектор ускорения .

5. В момент времени с найти радиус кривизны траектории , нормальное a_n и касательное a_τ ускорения точки.

Радиус кривизны определяем из выражения для нормального ускорения , откуда .

Нормальное ускорение

,

где касательное ускорение

.

При с

.

Находим нормальное ускорение

.

Тогда радиус кривизны траектории

.

Покажем на рис. 6 векторы касательного ускорения , спроектировав ускорение на направление касательной, и нормального ускорения , спроектировав на направление нормали.

Методику решения задач на частные случаи движения точки рассмотрим на следующих двух примерах.

Пример 2. Точка начинает двигаться равноускоренно из состояния покоя по окружности радиусом R = 0,5 м и за первые 5 с проходит путь, равный 2 м. Определить закон движения точки по окружности, приняв за начало отсчёта начальное положение точки, а также её скорость и ускорение в конце 5 с.

Для решения задачи записываем выражения, по которым определяются скорость и закон движения точки при равноускоренном движении:

; .

По условию данной задачи , .

Отсюда , .

При с м. Тогда .

Скорость точки при с равна .

Находим нормальное ускорение точки

.

Ускорение точки при с равно

.

Пример 3. Точка движется так, что её касательное ускорение . Определить закон её движения, если при , и .

Касательное ускорение , откуда .

 

 

Интегрируем данное выражение

.

Отсюда (м/с).

С другой стороны, . Значит, .

Интегрируя данное выражение, получаем:

.

Закон движения точки в данном примере (м).

Примечание. Дуговую координату (рис. 3) не следует путать с проходимым точкой расстоянием. Путь за время есть величина всегда положительная и равная сумме проходимых точкой отрезков за данный промежуток времени, в то время как координата ,характеризующая положение точки на траектории, может быть в данный момент времени и отрицательной. Это отличие видно из следующего примера.

 

Пример 4. Точка (рис. 7) движется по некоторой криволинейной траектории согласно закону , – в метрах, – в секундах. Определить путь , пройденный точкой за время с.

Находим моменты времени остановки точки

.

Корни полученного квадратного уравнения

;

с;

с.

Находим положения точки на траектории в моменты времени

, ;

с, ;

с, ;

с, .

Путь за время с равен сумме криволинейных отрезков

.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Как задаётся движение точки при векторном, координатном и естественном способах?

2. Что называется траекторией точки?

3. Как определяется скорость точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения?

4. Как определяется ускорение точки при векторном, координатном и естественном способах задания движения?

5. Что называется годографом скорости точки?